1、微分中值定理及其應用分類號 UDC 單位代碼 密 級 公 開 學 號 2006040223 四川文理學院 學士學位論文 論文題目：微分中值定理及其應用論文作者： XXX指導教師： XXX學科專業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學提交論文日期： 2010年4月20日 論文答辯日期： 2010年4月28日 學位授予單位： 四川文理學院 中 國 達 州2010年4月目 錄摘要ABSTRACT引言第一章 微分中值定理歷史11.1 引言11.2 微分中值定理產(chǎn)生的歷史2第二章 微分中值定理介紹42.1 羅爾定理42.2 拉格朗日中值定理42.3 柯西中值定理6第三章 微分中值定理應用73.1 根的存在性的證明73.2

2、一些不等式的證明83.3 求不定式極限103.3.1 型不定式極限103.3.2 型不定式極限113.4 利用拉格朗日定理討論函數(shù)的單調(diào)性12第四章 結論14參考文獻15致謝16微分中值定理及其應用學生：XXX 指導老師：XXX摘要 微分中值定理是微分學的基本定理之一,在微分學有著重要的地位，其發(fā)展經(jīng)歷了幾百年費馬作為微積分的創(chuàng)立者,提出了費馬定理，羅爾在方程的解法中又有了羅爾定理的前身，拉格朗日在解析函數(shù)論一書中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在微分計算教程中給出最初的柯西定理在本論文第二章分別詳細的介紹了微分中值定理的三大派別微分中值定理的應用很廣，在很多領域都可以看到其理論知識在第三章微分

3、中值定理的應用中分別從證明根的存在性問題、證明一些不等式、不定式極限三個方向簡要說明其應用，并用一些經(jīng)典的例題來詮釋關鍵詞：羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式極限DIFFERENTIAL MEAN VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONstudent: Hu Zhanhong Supervisor: Hu RongABSTRACT Mean Value Theorem is one of the fundamental theorem of differential calculus, the differential calculus p

4、lays an important role. Its development through the centuries, Fermat as the founder of calculus proposed Fermats theorem, Rolle in Equation Solution in the former, there has been Rolles theorem, Lagrange in the theory of analytic functions the first time a book Lagrange mean value theorem, Cauchy i

5、n the differential Computer Course given in the initial Cauchys theorem. In the second chapter presented a detailed description of the Mean Value Theorem of the three major factions. Mean Value Theorem is very broad, can be seen in many areas of their theoretical knowledge. Chapter III Application o

6、f Mean Value Theorem to prove the root, respectively, from the existence of the problem, that some of inequality, a brief description of the infinitive limit its application in three directions, and with some classic examples to explain.Key words: Rolles theorem，Lagrange theorem，Cauchy mean value th

7、eorem，Root of，Infinitive Limit16微分中值定理及其應用第一章 微分中值定理歷史11.1 引言微分中值定理是微分學的基本定理之一,是研究函數(shù)的有力工具. 微分中值定理有著明顯的幾何意義和運動學意義.以拉格朗日(Lagrange)中值定理為例,它的幾何意義：一個定義在區(qū)間上的可微（注：連續(xù)且除端點外處處具有不垂直于軸的切線）的曲線弧,其上至少有一點， 使曲線在這一點的切線平行于連接點與的割線它的運動學意義：設是質點的運動規(guī)律，質點在時間區(qū)間上走過的路程 , 代表質點在上的平均速度， 在上至少存在某一時刻，使得質點在的瞬時速度恰好是它的平均速度. 人們對微分中值定理的認

8、識可以追溯到公元前古希臘時代.古希臘數(shù)學家在幾何研究中,得到如下結論:“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”,這正是拉格朗日定理的特殊情況.希臘著名數(shù)學家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用這一結論,求出拋物弓形的面積. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在不可分量幾何學(1635年) 的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實: 曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦.這是幾何形式的微分中值定理,被人們稱為卡瓦列里定理. 人們對微分中值定理的研究,從微積分建立之時就開始了. 1637年,著名法國數(shù)學家費馬(Fermat)

9、 在求最大值和最小值的方法中給出費馬定理,在教科書中,人們通常將它稱為費馬引理.1691年,法國數(shù)學家羅爾(Rolle) 在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理.1797年,法國數(shù)學家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明對微分中值定理進行系統(tǒng)研究的是法國數(shù)學家柯西(Cauchy) ,他是數(shù)學分析嚴格化運動的推動者,他的三部巨著分析教程、無窮小計算教程概論 (1823年)、微分計算教程(1829年)以嚴格化為其主要目標,對微積分理論進行了重構.他首先賦予中值定理以重要作用,使其成為微分學的核心定理.在無窮小計算教程概論中,柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理,又在微分計算

10、教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理.從而發(fā)現(xiàn)了最后一個微分中值定理. 1.2 微分中值定理產(chǎn)生的歷史 費馬作為微積分的創(chuàng)立者,他在研究極大和極小問題的解法時,得到統(tǒng)一的解法“虛擬等式法”,從而得出原始形式的費馬定理.所謂的虛擬等式法,費馬的“虛擬等式法”基于一種非常直觀的想法,如果為的極大值,那么從直觀上來看，在附近值變化很小,當很小時,和相差很小.用現(xiàn)代語言來說,對于函數(shù),讓自變量從變化到,當為極值時,和的差近似為0,用e除虛擬等式, ,然后讓,就得到函數(shù)極值點的導數(shù)值為0,這就是費馬定理: 函數(shù) 在處取極值,并且可導,則. 應該指出: 費馬給出以上結論,微積分還處于初創(chuàng)階段,并沒有明確導

11、數(shù),極限連續(xù)的概念,用現(xiàn)代眼光來看,其論斷也是不嚴格的.現(xiàn)在看到的費馬定理是后人根據(jù)微積分理論和費馬發(fā)現(xiàn)的實質重新給出的.羅爾在論著方程的解法給出了“在多項式的兩個相鄰根中,方程至少有一個實根.”這是定理:“在上連續(xù),在上可導,并且,則必存在一點,使”的特例.也就是以上定理被稱為羅爾定理的原因.最初羅爾定理和現(xiàn)代羅爾定理不僅內(nèi)容有所不同,而且證明也大相徑庭,它是羅爾利用純代數(shù)方法加以證明的,和微積分并沒有什么聯(lián)系.現(xiàn)在看到的羅爾定理,是后人根據(jù)微積分理論重新證明,并把它推廣為一般函數(shù),“羅爾定理”這一名稱是由德羅比什在1834年給出,并由意大利數(shù)學家貝拉維蒂斯在1846年發(fā)表的論文中正式使用的

12、. 拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理它是指:“在上連續(xù),在上可導,則存在一點,使.”這一定理是拉格朗日在解析函數(shù)論一書中首先給出的,它最初形式為:“函數(shù)在和之間連續(xù), 的最大值為,最小值為,則必取中一個值.” 歷史上拉格朗日定理證明有三個,最初的證明是拉格朗日在解析函數(shù)論中給出的.這個證明很大程度建立在直觀基礎上,所以并不是嚴格的. 它依賴于這樣一個事實: 當, 在上單調(diào)增加.所用的條件也比現(xiàn)在強,現(xiàn)代中值定理只須在上可導,而拉格朗日最初的中值定理,卻需在上可導,并存在連續(xù)導數(shù).并且所用連續(xù)概念,也是直觀的,“假設變量連續(xù)地變化,那么函數(shù)將會產(chǎn)生相應變化,但是如果不經(jīng)過一切中間值,它就

13、不會從一個值過渡到另一個值.” 十九世紀初,在以柯西等為代表的微積分嚴格化運動中,人們給出了極限、連續(xù)、導數(shù)的嚴格定義,也給拉格朗日中值定理以新的嚴格證明,柯西在無窮小計算概論中證明了：如果在為連續(xù),則 必有一個,使現(xiàn)代形式的拉格朗日定理,是由法國數(shù)學家博(O.Bonnet) 在其著作Cours de Calcul Differentiel et integral中給出的,他不是利用的連續(xù)性,而是羅爾定理對拉格朗日定理加以重新證明. 柯西定理被認為是拉格朗日定理的推廣.它是指: 設和在上連續(xù),在上可導,并且,則必有一個值,使 柯西在微分計算教程中給出最初的柯西定理: 和在上有連續(xù)的導數(shù),并且在

14、上不為零,這時對于某一點,有 柯西的證明與拉格朗日對拉格朗日中值定理很相似. 5微分中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理給洛必達法則以嚴格的證明,并研究泰勒公式的余項從柯西起,微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學的重要組成部分. 第二章 微分中值定理介紹22.1 羅爾定理定理1(羅爾定理) 若函數(shù)f滿足下列條件：(1)在閉區(qū)間連續(xù)；(2)在開區(qū)間可導； (3)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點， 使得（注：在羅爾定理中，三個條件有一個不成立，定理的結論就可能不成立.）羅爾定理的幾何意義是說：在除端點外處處可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端高度相等，則至少存在

15、一條水平切線.證明：因為在上連續(xù)，所以有最大值和最小值，分別用和表示，現(xiàn)分兩種情況來討論：(1) 若，則在上必為常數(shù)，從而結論顯然成立.(2) 若，則因,使得最大值和最小值至少有一個在內(nèi)某點處取得，從而是的極值點.由條件（2），在點處可導，故由費馬定理推知2.2 拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）若函數(shù)f滿足如下條件： (1)在閉區(qū)間連續(xù)；(2)在開區(qū)間可導， 則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得 顯然，特別當時，本定理的結論即為羅爾中值定理的結論這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形證明：作輔助函數(shù)顯然，且在上滿足羅爾中值定理的另兩個條件故存在,使 移項后既得到所要證明的式子拉

16、格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點 ，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線我們在證明中引入的 輔助函數(shù)，正是曲線與直線（）之差 此外，拉格朗日公式還有以下幾種等價表示形式，供讀者在不同場合適用：， ； ， ； ， 值得注意的是：拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)而后兩式的特點，在于把中值點表示成了，使得不論為何值，總可為小于1的某一正數(shù)2.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理）設函數(shù)和滿足 (1)在閉區(qū)間上都連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)都可導；(3)和不同時為0；(4)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得證明：作輔助函數(shù) 易見在上滿足羅爾中值定

17、理條件，故存在，使得因為（否則由上式也不為零），所以可把上式改寫成結論 柯西中值定理的幾何意義：把f，g這兩個函數(shù)寫作以x為參量方程在平面上表示一段曲線，由于表示連接該曲線兩端的弦AB的斜率，而則表示該曲線上 相對應的一點處的切線的斜率因此上述切線與弦互相平行第三章 微分中值定理應用3.1 根的存在性的證明3 引理 若實函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，且，其中是內(nèi)個互不相同的實數(shù)，則方程在內(nèi)至少有個不同的實根設已按從小到大的順序排列，以其作為分點可得個小區(qū)間，在每個區(qū)間上應用羅爾定理即可得到上述結論定理1 若實函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù)，且，其中是內(nèi)個互不相同的實數(shù)，則方程在內(nèi)至少有個不同的實根證明：由引理知

18、方程在內(nèi)至少有個根，不妨設這個根為.則，由引理可得方程在內(nèi)至少有 個根以此類推，在內(nèi)至少有個根推論 若實函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù)，且方程在內(nèi)只有個不同的實根，則方程在內(nèi)至多有 個不同的實根例1：設為實數(shù)，求證方程在(0，1)內(nèi)至少有一個根證明：令則 易驗證在上滿足羅爾定理的三個條件，從而存在，使得即 . 例2：設在0，1上可導，且，又對于(0，1)內(nèi)的所有點有證明方程在(0，1)內(nèi)有唯一的實根證明：先證存在性令則在0，1上可導因為，所以， 由中值定理知在(0，1)內(nèi)至少有一個零點即方程在(0，1)內(nèi)至少有一個實根再證唯一性用反證法，設方程在(0，1)內(nèi)有兩個實根，不妨設，有，對在上由拉格朗日中值

19、定理，有使這與假設矛盾，唯一性得證3.2 一些不等式的證明應用微分中值定理(含Taylor公式)及其導出的結論證明不等式內(nèi)容十分豐富， 在此僅舉幾例例15：設都是正數(shù)，有不等式其中等號成立證明：取函數(shù)，它的定義域是區(qū)間(0，+)故， 不妨設令 或有 將函數(shù)在展開泰勒公式（到二階導數(shù)）有其中于與之間，顯然 0于是， 有當時，分別有 將上述n個不等式兩端分別相加，有： 即： 亦即：因為所以，不等式中等號成立例44. 設，證明證明：對函數(shù)在上應用拉格朗日中值定理，得，設 ，則當時，所以單調(diào)減少，從而，即故 3.3 求不定式極限 我們把兩個無窮小量或無窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記為型或型的

20、不定式極限現(xiàn)在我們將以導數(shù)為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛必達法則其中柯西中值定理是建立洛必達法則的理論依據(jù)3.3.1 型不定式極限定理1 若函數(shù)和滿足： （1）； （2）在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導，且； （3）（A可為實數(shù)，也可為或）， 則例16求解：這是 型不定式， 故=3.3.2 型不定式極限 定理2 若函數(shù)和滿足： （1）； （2）在點的某右鄰域內(nèi)兩者都可導，且； （3）（可為實數(shù)，也可為或）， 則例2.求解：這是型不定式，故 =3.4 利用拉格朗日定理討論函數(shù)的單調(diào)性利用拉格朗日中值定理能夠很方便地判別出函數(shù)的單調(diào)性定理1：若函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導，則有：如果在內(nèi)0則在上單調(diào)

21、遞增；如果在內(nèi) 0則在單凋遞減另外在內(nèi)除有限個點外，仍有0(或0)，則在仍然是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減的)，即連續(xù)函數(shù)在個別點處無導數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性證明： 若為增函數(shù)，則對每一，當時，有 0令，即得 0反之，若在區(qū)間上恒有0,則對任意（設），應用拉格朗日定理，存在,使得 0 由此征得在上為增函數(shù)例6求證當時， 證明：令因在0，+)上連續(xù)，在(0，+)內(nèi)可導，且當時，有，所以當時，是單調(diào)增加的，當時，因此，從而第四章 結論微分中值定理作為大學課程里的一個重要內(nèi)容，是研究函數(shù)的有力工具其地位是不容忽視的，微分中值定理的發(fā)展歷史是非常悠久的，通過近三、四百年的發(fā)展數(shù)學科學家們得到了羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理這三大定理可以說是其發(fā)展的一個里程碑，對以后的發(fā)展有著非常大的幫助近些年來人們又開始著重去挖掘微分中值定理的一系列應用，并且得到了很多有用的定理體現(xiàn)微分中值定理的一部分價值本論文在詳細的介紹了微分中值定理的來源之后，又系統(tǒng)性的整理了微分中值定理的三種不同的形式，同時分別證明了這三種定理，并總結了它們