1、參考：第 5-7-8 章 基帶數(shù)字信號及其傳輸1 1、 PCMPCM系統(tǒng)組成系統(tǒng)組成LPF抽樣抽樣編碼編碼量化量化模擬信源模擬信源x(t)x(nTs)xq(nTs)發(fā)定時發(fā)定時信道信道ADC判決再生判決再生譯碼譯碼LPF收定時收定時信道信道PCM信號噪聲信號噪聲PCMxq(nTs)模擬終端模擬終端)t(x DAC故，故，PCM系統(tǒng)系統(tǒng)可以視為由?？梢砸暈橛赡?數(shù)變換器和數(shù)數(shù)變換器和數(shù)/模變換器所組成模變換器所組成w注：發(fā)送端濾波器的作用是為了限制信號注：發(fā)送端濾波器的作用是為了限制信號 的頻率的頻率帶寬，所以會引入一定的失真帶寬，所以會引入一定的失真; ;w系統(tǒng)中重建信號系統(tǒng)中重建信號 的失真

2、，主要來源于的失真，主要來源于以及信以及信道傳輸?shù)牡纻鬏數(shù)?t (x )(tx抽樣定理是模擬信號數(shù)字化的理論基礎(chǔ)，其實質(zhì)是對抽樣定理是模擬信號數(shù)字化的理論基礎(chǔ)，其實質(zhì)是對連續(xù)時間模擬信號經(jīng)抽樣變成離散序列后，能否由此連續(xù)時間模擬信號經(jīng)抽樣變成離散序列后，能否由此離散序列樣值重新恢復(fù)原始模擬信號的問題離散序列樣值重新恢復(fù)原始模擬信號的問題5.1 抽樣的物理過程n一個頻帶限制一個頻帶限制在在內(nèi)的連續(xù)信號內(nèi)的連續(xù)信號 ，如，如果抽樣頻率果抽樣頻率 大于或等于大于或等于 , ,則可以由抽則可以由抽樣序列樣序列 無失真地重建恢復(fù)原始信無失真地重建恢復(fù)原始信號號 。Hf , 0)(txsfsnTx)(tx

3、Hf2設(shè)設(shè) 為低通信號，抽樣脈沖序列是一個周期性沖激函為低通信號，抽樣脈沖序列是一個周期性沖激函數(shù)數(shù) 。抽樣過程是。抽樣過程是 與與 相乘的過程相乘的過程 )(tx)(tT)(tT)(tx)()()()()(ssTsnTtnTxttxtx即抽樣后信號：即抽樣后信號：對應(yīng)對應(yīng)抽樣后信號抽樣后信號頻域表示頻域表示( (由頻域卷積定理可知由頻域卷積定理可知) ) ： nsSnsSTS)nww(XT1 )nww(*)w(XT1)w(*)w(X21)w(X )(tT)(tx)(txs)(wT)(tx)(wXswHwswHw)(wXS0T)(txsT)(tTHwHw0其中其中, , 為低通信號的頻譜為低通

4、信號的頻譜. .)()(21)(TsXX)(X)(2)(nssTnT)n(XT1)n()(XT1)(Xnssnsss 所以所以 因此在因此在 條件下，條件下， ，于，于是經(jīng)過截止頻率為是經(jīng)過截止頻率為wH( (或或wS / 2) )的理想低通濾波器可無失的理想低通濾波器可無失真地恢復(fù)出原始信號真地恢復(fù)出原始信號. .Hsww2)(sX 所得的已抽樣信號的頻譜所得的已抽樣信號的頻譜是是抽樣后，信號抽樣后，信號經(jīng)過傳遞函數(shù)為經(jīng)過傳遞函數(shù)為 的理想低通濾波器后，其頻譜為的理想低通濾波器后，其頻譜為)(HHssoHXX )()()(其中，低通濾波器其中，低通濾波器 , 0 , 1)(HHH ttsin

5、T1ttsin)(HF)t(hHHs)f2T1f(HHH1Hss 取取的單位沖激響應(yīng)為的單位沖激響應(yīng)為)(1)(nsssnXTX從時域上看，重建信號可以表達為從時域上看，重建信號可以表達為nsHsHssnssHHssnTtnTtnTxTnTtnTxttTtxthtx)()(sin)(1 )()(sin1)()()( 上式為用時域表達重建信號公式稱為內(nèi)插公式內(nèi)插公式，式中 稱為核函數(shù)核函數(shù)_簡寫成Sa( (wHt t) )ttsinHH 用核函數(shù)表示重建信號用核函數(shù)表示重建信號HwHw)w(XSO)t (xs低通濾波器低通濾波器HwHw)(wH)( tx nsHsHssnTtnTtnTxTtx)

6、()(sin)(1 )( 如果連續(xù)信號的頻帶不是限于如果連續(xù)信號的頻帶不是限于 ，而是在，而是在 之間之間，抽樣頻率應(yīng)為多少？，抽樣頻率應(yīng)為多少？先分析一種特殊情況先分析一種特殊情況Hf0HLff設(shè)帶通信號設(shè)帶通信號 的頻譜的頻譜 如圖如圖a a，該信號的特點是該信號的特點是（顯然最低頻率（顯然最低頻率 也是也是B B的整數(shù)倍）的整數(shù)倍）)(tx)(XHfLf選取抽樣頻率選取抽樣頻率 ，抽樣脈沖（周期沖激函數(shù)），抽樣脈沖（周期沖激函數(shù)） 的頻譜的頻譜 如下圖如下圖b bBfs2 )(tT)(wT所得的已抽樣信號的頻譜是所得的已抽樣信號的頻譜是分別分別，圖，圖c c由頻域卷積定理可知由頻域卷積定

7、理可知)()(21)(TsXXsf)(txn由圖由圖c c可見，恰好使可見，恰好使 中的邊帶頻譜不重疊，可以通過中的邊帶頻譜不重疊，可以通過理想帶通濾波器理想帶通濾波器重新獲得重新獲得 。從而恢復(fù)。從而恢復(fù)n上述說明：上述說明：n帶通信號的抽樣頻率并不要求達到帶通信號的抽樣頻率并不要求達到 , ,只要求為帶通信號只要求為帶通信號帶寬帶寬B B的兩倍的兩倍. .n如果如果 ， 中勢必造成頻譜重疊，故不能恢中勢必造成頻譜重疊，故不能恢復(fù)復(fù) ，即說明，即說明 是是. .Bfs2)(wXs)(txBfs2Hf2)(wX)(tx)(wXs)(wX)(wXs圖圖a a圖圖b b圖圖c c)(wTBfs2

8、nBfH 1122B若若 fS =2B，使使X (w)與與 作卷積，得到作卷積，得到Xs(w)如圖如圖b所示所示nBfHnBfH圖圖a a圖圖b b圖圖c c22n1)(wTXs(w)Xs(w)2n-121212n即即 ; 0k1 , n是小于是小于fH /B的最大整數(shù)的最大整數(shù) 頻譜頻譜1 1和右移和右移n n次后的頻譜次后的頻譜2n：如使頻譜如使頻譜2n再向右移再向右移 2() ，頻譜，頻譜2n 則剛好不與頻譜則剛好不與頻譜1 1重疊，如圖重疊，如圖c c 1nB)1n(2f2H 由于頻譜由于頻譜2 2移到移到2n的位置共移了的位置共移了n n次，所以每次只需比次，所以每次只需比2B多移多

9、移這樣，得到帶通信號的最小抽樣頻率為這樣，得到帶通信號的最小抽樣頻率為n)nBf(2B2fHs 2()nBfHnBfH圖圖a a圖圖b b圖圖c c22n1Xs(w)Xs(w)2n-121212n1nB)1n(2f2H 若將頻譜若將頻譜2 2n-1n-1向右移向右移2得第一選擇區(qū)最高抽得第一選擇區(qū)最高抽樣頻率為樣頻率為2HHs)1n()BnBf(2n)nBf(2B2f nBfHnBfH圖圖a a圖圖b b圖圖c c22n1Xs(w)Xs(w)2n-121212n1nB)1n(2f2H 2n-11n-11n將將 代入上式得代入上式得kBnBfH2ss)1n(B)1k(2)nk1(B2f)nk1(

10、B2f 形成一個抽樣頻率選擇區(qū)形成一個抽樣頻率選擇區(qū)將頻譜將頻譜2 2n-1n-1再向右移再向右移 又會得到新的抽樣頻率選擇區(qū)下限又會得到新的抽樣頻率選擇區(qū)下限1nB)1n(B)1k(2)nk1(B2f2s 直至頻譜直至頻譜2 21 1移過頻譜移過頻譜1 1，得到低頻抽樣頻率下限，得到低頻抽樣頻率下限Hsf2f n)nBf(2B2fHs 2HHs)1n()BnBf(2n)nBf(2B2f B 2B 3B 4B 5B 6Bk/n=1k/n=1/2k/nk/nk/nBBnkBfBBkBBfsH42)1 (2;210k1n；時，當(dāng)BBkBfBBkBBfsH32)21 (2;32210k2n；時，當(dāng)B

11、BkBfBBkBBfsH3222)31 (2;43310k3n；時，當(dāng)可見可見: :隨著隨著n的增大，不論的增大，不論fH是否為是否為B B的整倍數(shù)的整倍數(shù)，也也近似等于近似等于2ss)1n(B)1k(2)nk1(B2f)nk1(B2f 上面畫出了上面畫出了fSfH以以k為參變量的特性曲線為參變量的特性曲線kBnBfH 教材符號教材符號：n N ; k M . 理想的沖激序列理想的沖激序列 不能實現(xiàn)，而實際抽樣脈沖為窄帶不能實現(xiàn)，而實際抽樣脈沖為窄帶脈沖序列脈沖序列. . 其中脈寬期間其幅度隨信號幅度變化的稱為其中脈寬期間其幅度隨信號幅度變化的稱為 脈寬期間其幅度不隨信號幅度變化的稱為脈寬期間

12、其幅度不隨信號幅度變化的稱為a 自然抽樣自然抽樣b 平頂抽樣平頂抽樣)(tTX(t)的樣值的樣值設(shè)抽樣脈沖序列設(shè)抽樣脈沖序列 ，其中，其中 是任意形狀是任意形狀的脈沖。自然抽樣時，抽樣過程實際是的脈沖。自然抽樣時，抽樣過程實際是。即。即 設(shè)設(shè) 為矩形脈沖，寬度為為矩形脈沖，寬度為 ，幅度為，幅度為A A，則則 可以展可以展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù): :c c( (t t) )的頻譜為的頻譜為)()(snnTtptcnssSnwwnwSaTAwC)()2(2)()(tpnssnTtptxtctxtx)()()()()()(tc ntjnsSsenwSaTAtc )2()()(tpTS 為抽樣間隔為抽

13、樣間隔 p(t) A t因此，自然抽樣后信號的時域表達式：因此，自然抽樣后信號的時域表達式：頻譜頻譜)()()(tctxtxs nsnnssSsnXCnwwXnwSaTAwCwXX)(, )()2()(*)(21)( 與理想抽樣頻譜與理想抽樣頻譜 相比，只差一個常數(shù)相比，只差一個常數(shù)Cn，而而Cn只是隨只是隨n n而變，而變， 只要只要 就不會發(fā)生頻譜重疊，已就不會發(fā)生頻譜重疊，已抽樣信號的頻譜包絡(luò)按抽樣信號的頻譜包絡(luò)按 函數(shù)逐漸衰減函數(shù)逐漸衰減, ,從下圖可知，從下圖可知，采用低通濾波器就可以從采用低通濾波器就可以從 中濾出原頻譜中濾出原頻譜 。)( nssnXT1 Hsw2w )(xSa)

14、(wXS)(wX)2( sSnnwSaTAC )2( sSnnwSaTAC nsnnssSsnXCnwwXnwSaTAX)(, )()2()( )(txs)(tx)(wX| )w(X|S)(tC)w(CHsw2w 2 2平頂抽樣中，每個抽樣脈沖頂部不隨信號變化。在實際平頂抽樣中，每個抽樣脈沖頂部不隨信號變化。在實際應(yīng)用中，平頂抽樣是采用抽樣保持電路來實現(xiàn)的。應(yīng)用中，平頂抽樣是采用抽樣保持電路來實現(xiàn)的。平頂抽樣可以看成是理想平頂抽樣可以看成是理想抽樣后再經(jīng)過一個沖激響抽樣后再經(jīng)過一個沖激響應(yīng)為矩形的網(wǎng)絡(luò)來形成的應(yīng)為矩形的網(wǎng)絡(luò)來形成的nsssssfnTthnTxdthxthtxtx)()()()(

15、)()()(nsTsnTttxttxtx)()()()()( 因為 不是常數(shù)，而是的函數(shù)，所以由 加權(quán)后的，這種頻譜失真稱為，因而不能直接使用低通濾波器濾出原始信號x(t)。若若: : 0, 2 A,)(其他tthssssfTHnXHXX)()()()()(矩形脈沖形成網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：矩形脈沖形成網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：2/)2/sin()(AH)(HnsssfXTAX2/)2/sin()()(2/)2/sin()(AHnsSSnsTsTnTXXnTttxttxtx)2(2)(21)()()()()()(在接收端低通濾波之前，使用特性為在接收端低通濾波之前，使用特性為 的網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)加以修正，則低通濾波

16、器的輸入信號頻譜變?yōu)榧右孕拚瑒t低通濾波器的輸入信號頻譜變?yōu)?)(1H再通過低通濾波器便能無失真的恢復(fù)再通過低通濾波器便能無失真的恢復(fù)X(w)nssfsnwwXTswXwHwX)2(1)()(1)()(1wHXS(w)低通濾波器低通濾波器X(w)Xsf(w)脈沖編碼調(diào)制過程的波形圖如下圖所示：其目的是完成脈沖編碼調(diào)制過程的波形圖如下圖所示：其目的是完成模數(shù)轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)連續(xù)消息的數(shù)字化傳輸。模數(shù)轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)連續(xù)消息的數(shù)字化傳輸。其中量化過程是：用有限狀態(tài)的數(shù)字信號表示無限個模其中量化過程是：用有限狀態(tài)的數(shù)字信號表示無限個模擬抽樣值的過程擬抽樣值的過程例：例：n=3, L=23=8 模擬信號抽樣后，抽

17、樣值仍是隨信號幅度連續(xù)變化。當(dāng)模擬信號抽樣后，抽樣值仍是隨信號幅度連續(xù)變化。當(dāng)這樣的抽樣值通過有噪信道傳輸后，接收端得到的是被噪這樣的抽樣值通過有噪信道傳輸后，接收端得到的是被噪聲污染了的抽樣值，因而不能準確估計發(fā)送端的抽樣值。聲污染了的抽樣值，因而不能準確估計發(fā)送端的抽樣值。可以用量化方法，即可以用量化方法，即。PCM編碼過程簡介編碼過程簡介1111101011000110100010002 4 5 30 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 單極性單極性PCM碼碼重建電平重建電平y(tǒng)k分層電平分層電平xk量化間隔量化間隔k量化誤差量化誤差q抽樣電平抽樣電平 t0 x(t) 量化誤差量化

18、誤差: q = x y=x - Q(x)量化噪聲量化噪聲: (均方誤差均方誤差)雙極性中升型均勻量化雙極性中升型均勻量化dxxpxQxxQxExq)()()(222 x(t) 幅度分布幅度分布px(x)量化電平量化電平定義：定義：是一種由無限不可列集合到有限集合的映射是一種由無限不可列集合到有限集合的映射 Q( ) x y k k=1,2,L 量化器 模擬輸入量化值量化器Q輸出L個量化值 ，這L個量化值常稱為，當(dāng)輸入信號落在 之間時，輸出 .L.,1,2,.k ,kyky1kkxx 與ky x k x k+1 x k+2 y k 分層電平 n2L x k +1 x k +2 y k 分層電平x k y k+1y k+1重建電平重建電平這里