1、第章 誤差的基本性質(zhì)與處理第節(jié) 隨機(jī)誤差第節(jié) 系統(tǒng)誤差第節(jié) 直接測(cè)量值的處理第節(jié) 間接測(cè)量值的處理第節(jié) 隨機(jī)誤差 測(cè)量列：對(duì)同一量，多次等精度重復(fù)測(cè)量 每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，就個(gè)體而言是無(wú)規(guī)律的。但從總體上，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？梢杂媒y(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，從理論上估計(jì)隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因： 儀表內(nèi)部存在有摩擦和間隙等的不規(guī)則變化。 測(cè)量人員對(duì)儀表最末一位讀數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)。一切數(shù)字式儀表，由于計(jì)數(shù)脈沖列與閘門(mén)開(kāi)關(guān)時(shí)間的相對(duì)相位關(guān)系而產(chǎn)生的1個(gè)字的誤差等。 周?chē)h(huán)境不穩(wěn)定對(duì)測(cè)量對(duì)象和測(cè)量?jī)x器的影響，如氣壓、溫度、電磁干擾、振動(dòng)等因素的微量隨機(jī)變化都會(huì)使測(cè)量對(duì)象在數(shù)值大小上引起

2、相應(yīng)的變化，使測(cè)量?jī)x器本身的精度發(fā)生變化。 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因也可以認(rèn)為是由不可控制的或不值得耗費(fèi)很大財(cái)力物力去消除的各種因素造成的。在這些隨機(jī)因素中，有的我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，估計(jì)到，有些我們可能尚未發(fā)現(xiàn)，但是它們肯定是影響測(cè)量的次要因素。 在某些情況，經(jīng)剔除后尚殘存的那些數(shù)值微小、符號(hào)可變可不變的系統(tǒng)誤差也混在隨機(jī)誤差中間。測(cè)量時(shí)把一切次要因素都統(tǒng)統(tǒng)考慮進(jìn)去是不必要的，有時(shí)也是不可能的。科學(xué)的方法正是要抓住主要的，忽略次要的因素，并估價(jià)次要因素造成的影響范圍，從而得到可以信賴(lài)的結(jié)果。隨機(jī)誤差越小，測(cè)量結(jié)果的精密度越高。 一、隨機(jī)誤差分布的性質(zhì) 1、有界性在一定測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差總是在一定的、相

3、當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動(dòng)，無(wú)論如何，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限。 2、對(duì)稱(chēng)性當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多后可發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)正的誤差和負(fù)誤差的次數(shù)大致相等；更確切地說(shuō)，絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的誤差以同樣的頻率出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是各測(cè)量值的算術(shù)平均值。 3、抵償性在等精度測(cè)量的條件下，全部隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加而趨于零。 4、單峰性誤差的絕對(duì)值越小，其出現(xiàn)的頻率就越大，隨機(jī)誤差為零時(shí)出現(xiàn)的概率最大。（測(cè)量次數(shù)，而非有限次） 以上四點(diǎn)性質(zhì)都是從大量的觀察統(tǒng)計(jì)中得到的，已經(jīng)獲得了公認(rèn)，因此也稱(chēng)為隨機(jī)誤差分布的公理。 正是在這幾點(diǎn)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，（德國(guó).高斯）推導(dǎo)出了正態(tài)分布函數(shù)，并反過(guò)來(lái)發(fā)展了誤差理論。二、隨機(jī)誤差的

4、正態(tài)分布 正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)從略。 正態(tài)分布的概率密度： 數(shù)學(xué)期望； 方差；222)(21)(xexf 2 對(duì)于隨機(jī)誤差 ，其數(shù)學(xué)期望 （討論隨機(jī)誤差的前提，已去除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差。）0 xxii0 22221)(ef 三、算術(shù)平均值原理1、最優(yōu)概值 在測(cè)量中，對(duì)真值的最佳估計(jì)，稱(chēng)為最優(yōu)概值。 當(dāng) 時(shí)， niiniiniixnxxx10101)( n 01nii xnxxnii10 由此可見(jiàn)，如果可能對(duì)某一量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，就可以得到不受隨機(jī)誤差影響的值，或其影響甚微可以忽略。由于實(shí)際中都是有限次測(cè)量，所以我們?cè)谥苯訙y(cè)量中把算術(shù)平均值作為接近真值的最優(yōu)概值。2、剩余誤差 一般情況下，

5、被測(cè)量的真值為未知，不可能按定義式（ ）求得隨機(jī)誤差?？捎盟阈g(shù)平均值（最優(yōu)概值）來(lái)代替被測(cè)量的真值，這時(shí)得到的 稱(chēng)為剩余誤差。0 xxii iivxx 剩余誤差的兩個(gè)性質(zhì)： ； 最小。（由此性質(zhì)，建立了最小二乘法原理。）01niiv niiv12 四、誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo) 為了評(píng)定測(cè)量列和它的最優(yōu)概值的優(yōu)劣，需要引入一些評(píng)價(jià)指標(biāo)，常用的有標(biāo)準(zhǔn)誤差和極限誤差。1、測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （即均方根）被測(cè)量的真值 未知， 不能計(jì)算，必須用剩余誤差（ ）來(lái)表示。nnniin1222221L 0 x 0 xxiiiiixxv 標(biāo)準(zhǔn)誤差 （貝塞爾貝塞爾公式） 由上頁(yè)圖中可以看出，標(biāo)準(zhǔn)誤差 的數(shù)值小，則該測(cè)量列相應(yīng)小

6、的誤差就占優(yōu)勢(shì)，任一測(cè)量值對(duì)算術(shù)平均值的分散就小，測(cè)量的可靠性就大，即測(cè)量精度高；反之，測(cè)量精度就低。 是正態(tài)分布曲線 的拐點(diǎn)（曲線凹凸性發(fā)生改變的點(diǎn)，由曲線上各點(diǎn)切線方向的走向確定）。1)(11212nxxnvniinii 22221)(xexf （德國(guó)） 隨機(jī)誤差落在- ， 之內(nèi)的可能性為68.3，而落在該區(qū)之外的機(jī)會(huì)少。因此測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差 可以看作在給定條件下，所有測(cè)量值隨機(jī)誤差的一個(gè)代表，它表征著測(cè)量列的精密度。（ 值越小，精密度越高）。 誤差的表示方法與置信度有不可分離的關(guān)系。只有在人們所愿意接受的置信度時(shí)，誤差（即置信區(qū)間）才有意義。由于置信度不同，誤差的表現(xiàn)方法也各不相同。 2

7、、最優(yōu)概值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 最優(yōu)概值（算術(shù)平均值）要比每個(gè)測(cè)量值都更接近于真值，因此不能用測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差 來(lái)評(píng)價(jià)最優(yōu)概值的優(yōu)劣。 最優(yōu)概值對(duì)真值的分散程度；反映準(zhǔn)確度 （系統(tǒng)誤差） 任一測(cè)量值對(duì)最優(yōu)概值分散度;反映精密度（隨機(jī)誤差） 221212121)(1)(1)(1)(1)1()(nDnDnnxDnxDnxnDxDniiniiniixx x 用剩余誤差表示，則有： 真值落在 , 的概率是68.3，也稱(chēng)置信度為68.3； 真值落在 , 的概率是95.5； 真值落在 , 的概率是99.7。nx ) 1(12nnvniix xx xx xx2 xx2 xx3xx3 3、測(cè)量列的極限誤差 隨機(jī)誤差落在

8、, 區(qū)間內(nèi)的概率為99.7,而落在外面的概率只有0.3，即每測(cè)得1000次，其誤差絕對(duì)值大于 的次數(shù)僅有3次。因此，在有限次的測(cè)量中，就認(rèn)為不會(huì)出現(xiàn)大于 的誤差，故把 定為極限誤差。凡在測(cè)量中出現(xiàn)誤差絕對(duì)值大于 的測(cè)量值，就認(rèn)為屬粗大誤差而予以剔除。4、最優(yōu)概值的極限誤差 類(lèi)似于測(cè)量列的極限誤差，可推得最優(yōu)概值的極限誤差為：max33333max, x nxx33max, 3第節(jié) 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是測(cè)量中按一定規(guī)律變化的誤差。一、系統(tǒng)誤差的分類(lèi)（按產(chǎn)生原因）儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器本身不完善或老化產(chǎn)生。安裝誤差：由于測(cè)量?jī)x器安裝和使用不正確而產(chǎn)生。環(huán)境誤差：由于測(cè)量?jī)x器的使用環(huán)境（如溫度、濕度

9、、電磁場(chǎng)等）與儀器使用規(guī)定的條件不符而產(chǎn)生。方法誤差：由于測(cè)量方法或計(jì)算方法不當(dāng)而產(chǎn)生或是由于測(cè)量和計(jì)算所依據(jù)的理論本身不完善等原因而導(dǎo)致。有時(shí)也可能是由于對(duì)而測(cè)量定義不明確而形成的理論誤差。操作誤差（人為誤差）：由于觀察者先天缺陷或觀察位置不對(duì)或操作錯(cuò)誤而產(chǎn)生。動(dòng)態(tài)誤差：在測(cè)量迅變量時(shí)，由于儀器指示系統(tǒng)的自振頻率、阻尼以及與被測(cè)迅變量之間的關(guān)系而產(chǎn)生的振幅和相位誤差。 系統(tǒng)誤差越小，表明測(cè)量準(zhǔn)確度越高。二、系統(tǒng)誤差的消除 對(duì)有些系統(tǒng)誤差，只要嚴(yán)格按照測(cè)量?jī)x器的安裝方法、使用條件、操作規(guī)程等實(shí)施，是不難消除的。交換抵消法：將測(cè)量中某些條件（如被測(cè)物的位置等）相互交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因相互抵

10、消。替代消除法：預(yù)檢法：將測(cè)量?jī)x器與較高精度的基準(zhǔn)儀器對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量。通過(guò)比較找出差值作為以后測(cè)量的修正值。第節(jié)直接測(cè)量值的處理一、直接測(cè)量值的最優(yōu)概值二、標(biāo)準(zhǔn)誤差 測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差： 最優(yōu)概值的標(biāo)準(zhǔn)誤差：niixnx11 1)(11212nxxnvniinii nx 三、判斷是否存在粗大誤差（與極限誤差比較）四、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式：, 置信度68.3, 置信度95.5, 置信度99.7xxx0 xxx20 xxx30 在n次等精度測(cè)量中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的倍。當(dāng)n愈大時(shí)，所得算術(shù) 平均值愈接近真值，測(cè)量的精度愈高。 增加測(cè)量次數(shù)可以提高測(cè)量精度，但是由于測(cè)量精

11、度是與測(cè)量次數(shù)的平方根成反比，因此要顯著地提高測(cè)量精度，必須付出較大的勞動(dòng)代價(jià)。一定時(shí)，當(dāng)n10以后，減小得已很緩慢。此外，由于測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的恒定，從而帶來(lái)新的誤差。因此一般情況下，取n10以?xún)?nèi)較適宜。x n1 x 第節(jié) 間接測(cè)量值的處理 工程中碰到的大多數(shù)量是無(wú)法直接測(cè)量的，（例如物質(zhì)的密度、鍋爐的熱效率等）。只能通過(guò)直接測(cè)量與被測(cè)量有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，并根據(jù)函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量。 在直接測(cè)量中，測(cè)量誤差就是被測(cè)量的誤差；但在間接測(cè)量中，測(cè)量誤差是各個(gè)測(cè)量值誤差的函數(shù)。直接測(cè)量量的平均值及誤差是如何影響間接測(cè)量的平均值和誤差的，就是誤差傳播理論所要研究的問(wèn)題。 研究

12、誤差傳播，可以從兩個(gè)方面來(lái)提出問(wèn)題：一是所謂的正問(wèn)題，即已知函數(shù)關(guān)系和各個(gè)測(cè)量值的誤差，求間接測(cè)量值的誤差；另一類(lèi)問(wèn)題，是在限定的間接測(cè)量總誤差的條件下，如何根據(jù)已知的函數(shù)關(guān)系，分配各個(gè)直接測(cè)量值的誤差，這就是誤差傳播理論中的反問(wèn)題，它是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要問(wèn)題。一、函數(shù)誤差的基本公式 在間接測(cè)量中，對(duì)于初等多元函數(shù) ，其增量（即測(cè)量誤差）間接測(cè)量值；直接測(cè)量值。此即稱(chēng)為函數(shù)誤差的基本計(jì)算公式。為各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)。),(21nxxxfyL nnadxxfdxxfdxxfdyL221 y ixixf 二、函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算 在間接測(cè)量中，將直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差代替上式中的微分量，可近似地得到函

13、數(shù)的系統(tǒng)誤差。 此即稱(chēng)為系統(tǒng)誤差的傳遞公式。y nxxx,21L ndxdxdx,21L nnxxfxxfxxfyL2211 使用的測(cè)量方法不同（即函數(shù)關(guān)系不同），盡管各直接測(cè)量量的相對(duì)誤差相同，但最終形成的被測(cè)量的誤差則可能不同。因此，在選用測(cè)量方法時(shí)，應(yīng)注意選擇最終誤差小的測(cè)量方法。 在間接測(cè)量中的各個(gè)直接測(cè)量量，對(duì)被測(cè)函數(shù)量最終誤差的影響程度是不相同的。因此，我們應(yīng)把注意力主要集中在降低對(duì)測(cè)量的最終誤差影響大的那個(gè)直接測(cè)量量的誤差上。三、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算 對(duì)于間接測(cè)量量中互相獨(dú)立的 ；進(jìn)行直接測(cè)量并消除了系統(tǒng)誤差，進(jìn)行m次測(cè)量則有：),(21nxxxfyL ix y1fx1x11fx2

14、x21Lfxnxn1y2fx1x12fx2x22Lfxnxn2LLymfx1x1mfx2x2mLfxnxnm 將上面各式平方后再相加，得： 上式除以m,得到:（設(shè)與的相關(guān)系數(shù)為 ） 因各直接被測(cè)量相互獨(dú)立，所以，這樣得到：kijimijkjkiminjjijmiixxxfxfxxfy1121112)(2)( jx jk kx xkxjjknjkjkjnjxjjyxfxfxf11222)(2)( 0jk 2212)(xjnjjyxf 也可寫(xiě)作 此即隨機(jī)誤差傳遞公式 其中，稱(chēng)為部分誤差。221)(xiniiyxf niinixiiyDxf1221)( ixiiDxf 四、函數(shù)誤差的分配 對(duì)于，若規(guī)定了間接測(cè)量量的誤差，要求決定的誤差，并保證各直接測(cè)量量的誤差累積后不大于對(duì)規(guī)定的誤差。如果不再給出其他條件，則這個(gè)問(wèn)題就會(huì)有很多解。 因此，常按等分配原則決定直接測(cè)量量應(yīng)具有的誤差分量；然后對(duì)各分量的大小進(jìn)行調(diào)整，對(duì)容易測(cè)準(zhǔn)的量分配以較小的誤差，對(duì)難于測(cè)準(zhǔn)的量分配較大的誤差；調(diào)整完后應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)算，以驗(yàn)證累積誤差是否大于對(duì)規(guī)定的誤差。（如果分量中有的誤差大小已經(jīng)確定，則分