1、第二章單度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)第二章單度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)2-1 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)1力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型kmx(t)xm靜力平衡位置k0 kxxm 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型復(fù)擺復(fù)擺sinmgdJ sin0mgdJ 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型aLmk022kamL EI從材料力學(xué)知，簡(jiǎn)支梁跨中受到力P作用時(shí)，跨中撓度為：kPEIPL且483348LEIPk0kxxm 1 力學(xué)與數(shù)學(xué)模型力學(xué)與數(shù)學(xué)模型T)(0rkmgTmx200()JTrkr220012JMrmgrkr222(0.5)0Mrmrkr質(zhì)量m：滑輪：廣義數(shù)學(xué)模型為：廣義數(shù)學(xué)模型為：式中：式中：廣義質(zhì)量廣義質(zhì)

2、量 廣義剛度廣義剛度 廣義位移廣義位移0 KXXM 2 微分方程的解微分方程的解以廣義數(shù)學(xué)模型說明以廣義數(shù)學(xué)模型說明0 KXXM 02XXn 或或MKn稱為固有頻率或圓頻率稱為固有頻率或圓頻率)Sin(CosSin)(tCtBtAtXnnn積分常數(shù)積分常數(shù)C和和由初始條件確定：由初始條件確定：000XXXXt，時(shí)，3 自由振動(dòng)的特征量自由振動(dòng)的特征量（1） 固有頻率固有頻率n，周頻率，周頻率f，周期，周期TnnTTff/2/12（2）振幅振幅22BAC（3）周期性周期性: x(tT)x(t)（4） 初相位初相位其中其中 固有頻率固有頻率n的求解最重要的求解最重要4 求固有頻率求固有頻率n的幾種

3、常用方法的幾種常用方法（1） 建立運(yùn)動(dòng)微分方程建立運(yùn)動(dòng)微分方程（2）利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度利用串并聯(lián)關(guān)系求合成剛度（a）并聯(lián)并聯(lián)（b）串聯(lián)串聯(lián)（c）并聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)：位移相等：位移相等eekFkkFFkFkFXXkXkkFFF212122112121)(串聯(lián)串聯(lián)：力相等：力相等21212121221121111)11(kkkkkkkkFkkFkFkFXXXeeX1與與X2為彈簧變形為彈簧變形4 求固有頻率求固有頻率n的幾種常用方法的幾種常用方法（3）對(duì)于垂直振動(dòng)系統(tǒng)，有對(duì)于垂直振動(dòng)系統(tǒng)，有（4） 能量法能量法其中其中 （1）與（）與（4）用得最多）用得最多（5） 能量能量折算法求彈簧等效質(zhì)量

4、折算法求彈簧等效質(zhì)量gMKgMKststn例例 已知：已知：m，R和和k，純滾動(dòng)。，純滾動(dòng)。 求：固有頻率求：固有頻率n解：動(dòng)能定理解：動(dòng)能定理)21(4321212222RvmRImvImvTccccc221kxU ckxmvUTc222143常數(shù)兩邊求導(dǎo)：兩邊求導(dǎo)：023023kxxmxkxxmvc 例例 已知：均質(zhì)滑輪，已知：均質(zhì)滑輪，M，m，r和和k，繩索不可伸長(zhǎng)，且，繩索不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。 求系統(tǒng)固有頻率求系統(tǒng)固有頻率n解：系統(tǒng)動(dòng)能：解：系統(tǒng)動(dòng)能： 系統(tǒng)勢(shì)能：系統(tǒng)勢(shì)能： 22222011113222216TmxMyJmxMx221128Vkykx由由

5、 ()0dTVdt(41.5)0mM xkx41.5nkmM例例 已知：無重直角曲桿，已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。 求求n)(axkxm akbmkOx)(axkx直角曲桿直角曲桿解：解：物塊物塊mkb)(axkObkbaaxkJ)(0 00Jabax220222kbbam ）（)(222bamkb例例 已知：無重直角曲桿，已知：無重直角曲桿，m，k1，k2，a，b。 求求nakbmkOx直角曲桿直角曲桿解：解：物塊物塊m)(222bamkb)(0 axkmg)(0 axk)(1bk)(0axkmgxm 0kmg bbkaaxkJ)()(100 010bkak00J 實(shí)際系統(tǒng)，

6、振動(dòng)不會(huì)永遠(yuǎn)下實(shí)際系統(tǒng)，振動(dòng)不會(huì)永遠(yuǎn)下去，振幅會(huì)逐漸衰減，直至振動(dòng)去，振幅會(huì)逐漸衰減，直至振動(dòng)停止，表明有阻力，設(shè)阻力與速停止，表明有阻力，設(shè)阻力與速度的一次方成正比，即度的一次方成正比，即2-2 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1 阻尼阻尼k)(txcmkxxc)(txVcRC為阻尼系數(shù)，力學(xué)模型如圖。為阻尼系數(shù)，力學(xué)模型如圖。2 運(yùn)動(dòng)微分方程及其解運(yùn)動(dòng)微分方程及其解kxxcxm 0kxxcxm 即(*)022xxnxn 或(1) 大阻尼及臨界阻尼情況大阻尼及臨界阻尼情況2 幾種情況幾種情況）式，有，代入（設(shè)*)(t retx0222nnrr222, 1nnnrtrtreCeCtx2121)(n

7、tntnntnntneCeCentCCetxnn大阻尼臨界阻尼)()()(22222121這時(shí)系統(tǒng)不發(fā)生振動(dòng)，這里不作討論。這時(shí)系統(tǒng)不發(fā)生振動(dòng)，這里不作討論。2 幾種情況幾種情況C、D或或A、由初始條件確定由初始條件確定。(2) 小小阻尼情況阻尼情況mkcnn2或222, 1-ninrn此時(shí)22-nnd記)sin()cossin()()(222221tAetDtCeeCeCetxdtnddtntnitnitnnnnnndddTnTT/2-/2222得由即衰減振動(dòng)周期即衰減振動(dòng)周期Td大于無阻尼時(shí)的振動(dòng)周期大于無阻尼時(shí)的振動(dòng)周期Tn。表明有阻尼時(shí)頻率下降。表明有阻尼時(shí)頻率下降。22-nndn但是

8、為臨界阻尼），于是為小阻尼，為大阻尼，（稱為臨界阻尼，稱為阻尼比，且有，則若令11122mkcccmkcnccn222-1-1-11ndndndffTT一般，由于一般，由于，故有，故有ndndndffTT阻尼對(duì)系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大，但阻尼對(duì)系統(tǒng)的周期和固有頻率影響不大，但對(duì)振幅的影響卻很大。對(duì)振幅的影響卻很大。)(1)(dnnnTtidtittndAeATtAeAtAeAeA時(shí)刻：時(shí)刻：振幅：稱為振幅減縮率dnTiieAA12T=-ntAeAAotxAiAi+1如：如：0.02時(shí)時(shí)%02. 011-2ndn2845. 0882. 0101iiiiAAAA 即頻率下降了即頻率下降了0.02，而振幅一個(gè)周期后下降了，而振幅一個(gè)周期后下降了12，10個(gè)周期后則下降到原來的個(gè)周期后則下降到原來的28.45。 當(dāng)當(dāng)0.05時(shí)，頻率僅下降時(shí)，頻