1、主講教師： 第 6 章 定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分定積分的分部積分法的分部積分法變限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1微積分基本公式微積分基本公式 2定積分的換元積分法定積分的換元積分法34定積分常用結(jié)論匯總定積分常用結(jié)論匯總5是是 的一個(gè)函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)或變上限積分，的一個(gè)函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)或變上限積分，)(tf,ba,bax )(tf xadttf)(x bxadttfxxa ,)()(在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)，則則在部分區(qū)間在部分區(qū)間上的定積分上的定積分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)記作記作)(x 即即函數(shù)的表示方法

2、拓廣了，可用變上限積分表達(dá)函數(shù)。函數(shù)的表示方法拓廣了，可用變上限積分表達(dá)函數(shù)。,xa定義定義6.2【注注】 xtdtex0)().1( ),0( 0)0(00 dtet已知已知，求，求edtet11)1( 10 例例6.66.6解解)(tf,ba,bax 若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)，則變上限積分則變上限積分 xadttfx)()()(tf)(xf在區(qū)間在區(qū)間且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的函數(shù)值在上限處的函數(shù)值即即,ba) )()()(bxaxfdttfxxa （，上可導(dǎo)上可導(dǎo) ,并并 定理 6.1給自變量給自變量x以增量以增量 ，)()(lim0 xfxxx

3、 x 按導(dǎo)數(shù)定義，只須證按導(dǎo)數(shù)定義，只須證,baxx )(x )(x , ,由由 的定的定義得對(duì)應(yīng)的函數(shù)義得對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量的增量即即 xaxxadttfdttfxxxx xxxxaxxxxadttfdttfdttfdttf根據(jù)積分中值定理知道根據(jù)積分中值定理知道在在 與與xx x之間至少存在之間至少存在 ，使，使 xfdttfxxxx 成立。成立。 即可。即可。)(x 證證一點(diǎn)一點(diǎn))(tf,ba0 x)()(,xffx xffxxxxx limlim0 xfdttfxa 又因?yàn)橛忠驗(yàn)樵趨^(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，所以，當(dāng)上連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)時(shí), , 有有，從而有，從而有故故該公式有時(shí)也被稱為微積分第一基

4、本公式。該公式有時(shí)也被稱為微積分第一基本公式。)(tf （原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù),ba,bax xadttfx)()(在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)，則函數(shù)，則函數(shù))(xf,ba就是就是在區(qū)間在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。上的一個(gè)原函數(shù)。（1 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. .（2 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. .定理的重要意義：定理的重要意義： 定理 6.2 xttdtex0sin)(2).(x xetdtexxxtsinsin)(220 已知已知，求，求根據(jù)定理可得根據(jù)

5、定理可得)(tf,ba,bax )(tf,bx,)( bxdttf)()()(xfdttfdttfxbbx 如果函數(shù)如果函數(shù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)，則，則在部分區(qū)間在部分區(qū)間上的定積分上的定積分分下限函數(shù)或變下限積分，且分下限函數(shù)或變下限積分，且稱為積稱為積例例6.76.7解解)(tf)(),(),(xgxbxa)()( )()(xbfxbdttfxba )()( )()(xafxadttfbxa )()( )()( )()()(xafxaxbfxbdttfxbxa 若若連續(xù)，連續(xù)，公式可以推廣為公式可以推廣為（2 2）（3 3）可導(dǎo)，變限函數(shù)的求導(dǎo)可導(dǎo)，變限函數(shù)的求導(dǎo)（1 1）求導(dǎo)得

6、求導(dǎo)得x0cos xyeyyexycos 0cos00 xyttdtdte)(xyy 求由方程求由方程 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。故故 所給方程兩邊對(duì)所給方程兩邊對(duì) 321xxtdtxF .xF xxxxtdtxFxx211311122332 已知已知，求，求 根據(jù)式根據(jù)式(3)(3)可得可得例例6.86.8解解例例6.96.9解解極限是極限是 求極限求極限 .tanlim300 xtdttxx 0 x0, 0tan30 xtdttx分析：分析：注意到注意到時(shí)，時(shí)，所以這個(gè)所以這個(gè)00型不定式，含有型不定式，含有 變限函數(shù)的變限函數(shù)的00 型不定式通常使用羅必達(dá)法則求極限。型不定

7、式通常使用羅必達(dá)法則求極限。 300tanlimxtdttxx 313tanlim)()tan(lim20300 xxxxtdttxxx例例6.106.10解解 121lnlnttuduuyuduuxdxdydxdydtdxdtdyttttlnln2 t 設(shè)設(shè) ，求，求。= = = = xdttx0)1( 1 xx 0 x, 1 x 求函數(shù)求函數(shù)的極值。的極值。，令，令解得解得 因?yàn)橐驗(yàn)?, 1 x, 01)1( 所以函數(shù)在所以函數(shù)在1 x極小值，極小值， 為為 10)1(1dtt21 處取得處取得例例6.116.11解解例例6.126.12解解 xadttfx)()()()(xfx 積分上限

8、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 2 積分上限函數(shù)的定義積分上限函數(shù)的定義3 3 1 1問(wèn)問(wèn) 題題的函數(shù)的函數(shù)都是都是)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx dttfxa )(duufbx )(x與與解解 答答習(xí)題答案：習(xí)題答案： 如果函數(shù)如果函數(shù))()()(aFbFdxxfba )(xf,ba)(xF在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)，是是)(xf,ba在區(qū)間在區(qū)間上任一原函數(shù)，那么上任一原函數(shù)，那么 xadttfx)()()(xf 由定理由定理6.26.2知道，知道，是是在在,ba上的一個(gè)原函數(shù)，又由題設(shè)知，上的一個(gè)原函數(shù)，又由題設(shè)知，)(xF也是也是)(xf,ba在區(qū)間在區(qū)

9、間上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)，由原函數(shù)的性由原函數(shù)的性 質(zhì)知同一函數(shù)的兩個(gè)不同原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)質(zhì)知同一函數(shù)的兩個(gè)不同原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù) 定理 6.3證證 bxaCdttfxFxa ,)()(把把a(bǔ)x 代入代入上上式中，式中， 0)()( aadttfa因?yàn)橐驗(yàn)? ,定出常數(shù)定出常數(shù))(aFC ，于是得，于是得 )()()(aFdttfxFxa 令令代入代入上上式中，移項(xiàng)，得式中，移項(xiàng)，得再把積分變量再把積分變量 t 換成換成 x，得，得 微積分基本公式微積分基本公式牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式即即 bx ).()()(aFbFdxtfba ).()()(aFbFdxxfba （6.2

10、6.2）（6.16.1）這樣這樣(6.1)(6.1)式就可寫成如下形式：式就可寫成如下形式：)()(aFbF baxF)()()()()(aFbFxFdxxfbaba 1 1）為了書(shū)寫方便，）為了書(shū)寫方便，可記作可記作或或baxF)(2 2）該公式充分表達(dá)了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)）該公式充分表達(dá)了定積分與原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它把定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)問(wèn)題，從系，它把定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)問(wèn)題，從而給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法。而給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的方法。.11312 dxx211x 3, 1 xarctan211x 31312arctan11

11、xdxx 計(jì)算計(jì)算 被積函數(shù)被積函數(shù)在在上連續(xù)，上連續(xù)，是是由牛頓由牛頓萊布尼茲公式，得萊布尼茲公式，得的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，127)1arctan(3arctan 例例6.136.13解解.10 dxxx23xxx 1 , 02552xxx 10dxxx 計(jì)算計(jì)算 被積函數(shù)被積函數(shù)在在上連續(xù)，上連續(xù)，是是由牛頓由牛頓萊布尼茲公式，得萊布尼茲公式，得的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，52521025 x例例6.146.14解解.)1(21 dxeexx 21)1(dxeexxeexx 2121ln 計(jì)算計(jì)算 把定積分利用性質(zhì)把定積分利用性質(zhì)6.16.1分成三項(xiàng)之和，然后分成三項(xiàng)之和，然后 每一

12、項(xiàng)用牛頓每一項(xiàng)用牛頓萊布尼茲公式進(jìn)行計(jì)算萊布尼茲公式進(jìn)行計(jì)算. . 2121211dxedxedxxx22lne 例例6.156.15解解.sin102 dxx,cossin12xx xcosxcos 2, 0 ,2 002cossin1dxxdxx2sinsin220 xx計(jì)算計(jì)算 分析分析 化簡(jiǎn)被積函數(shù)化簡(jiǎn)被積函數(shù)被積函數(shù)中出現(xiàn)了被積函數(shù)中出現(xiàn)了，由于，由于在兩區(qū)間在兩區(qū)間和和上符號(hào)不同，必須分區(qū)間利用可加性來(lái)計(jì)算。上符號(hào)不同，必須分區(qū)間利用可加性來(lái)計(jì)算。 202)cos(cos dxxxdx例例6.166.16解解 31,110,3xxxxf31104343xx 411 .30 dxxf

13、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)，計(jì)算，計(jì)算 利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性，得利用定積分對(duì)區(qū)間的可加性，得 30311031dxdxxdxxf例例6.176.17解解導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)上單值且有連續(xù)上單值且有連續(xù) 上變化，且上變化，且, , )(xf,ba 若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)上連續(xù), ,函數(shù)函數(shù))(tx , 在區(qū)間在區(qū)間)(t 當(dāng)當(dāng)t t在在（或（或）上變化時(shí)，）上變化時(shí)， )(tx 的值的值,)(a b )( ，則，則 dtttfdxxfba)()()(6.3)(6.3)定積分的換元公式定積分的換元公式在在,ba 定理 6.4)(xf,ba 因?yàn)橐驗(yàn)樵趨^(qū)間在區(qū)間上連續(xù)上連續(xù), ,所以它可積。設(shè)所以它可積。設(shè))(

14、xF)(xf是是的一個(gè)原函數(shù)，則由牛頓的一個(gè)原函數(shù)，則由牛頓萊布萊布尼尼茲茲公式，得公式，得)()()()(aFbFabxFdxxfba 又由不定積分換元法知又由不定積分換元法知CtFdtttf )()()( 于是于是)()()()()()()(aFbFFFtFdtttfba 證證2040,2,2 txtdtdxtx 401xdx 計(jì)算計(jì)算tx 用定積分換元法，令用定積分換元法，令，則，則 4020203ln24021ln21112121ttdttdtttxdx于是于是例例6.186.18解解.18ln3ln dxextex 1,12, )1ln(22dtttdxtx 328ln3lntx 3

15、2228ln3ln121dtttdxex 計(jì)算計(jì)算 令令，則，則換限：換限：于是于是 23ln22311ln2121112322 tttdtt例例6.196.19解解1) 1) 換元必須同時(shí)換限，而且新的積分變量的上下積換元必須同時(shí)換限，而且新的積分變量的上下積分限要與原積分變量的上下限相對(duì)應(yīng)；分限要與原積分變量的上下限相對(duì)應(yīng)；2 2） 用換元法計(jì)算定積分時(shí)，求出其原函數(shù)后直接代用換元法計(jì)算定積分時(shí)，求出其原函數(shù)后直接代入新的積分限即可，不需要還原。入新的積分限即可，不需要還原。.111 dxeexx111111)1ln()1(111 xxxxxeededxee 計(jì)算計(jì)算利用定積分換元法求定積

16、分時(shí)，如果不換元?jiǎng)t不換限，利用定積分換元法求定積分時(shí)，如果不換元?jiǎng)t不換限，直接求出原函數(shù)算上下限的函數(shù)值做差。直接求出原函數(shù)算上下限的函數(shù)值做差。1)11ln()1ln( ee例例6.206.20解解 觀察觀察【注注】 計(jì)算計(jì)算 adxxa022.)20(,sin ttax200 tax 如圖，令如圖，令， 則有原式則有原式4cos22022atdta adxxaI022.222ayx I 即為圓即為圓41所圍成的面積的所圍成的面積的應(yīng)的幾何意義應(yīng)的幾何意義,不難看出，不難看出，Ox22xay ya例例6.216.21解解所對(duì)所對(duì) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù))( 0)()(2)(0 xf

17、xfdxxfdxxfaaa)(xf,aa 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，求證：上連續(xù)，求證： 根據(jù)定積分性質(zhì)根據(jù)定積分性質(zhì) aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( 0)(adxxftx 對(duì)于積分對(duì)于積分，作變換，作變換，則有，則有 aaaadxxfdtfdttfdxxf0000)()()()( 把式代入式中，得把式代入式中，得例例6.226.22證證 aaaaadxxfxfdxxfdxxfdxxf000)()()()()()(xf)()(xfxf 當(dāng)當(dāng)是偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，即時(shí)，得時(shí)，得 aaaadxxfdxxfxfdxxf00)(2)()()()(xf)()(xfxf 當(dāng)

18、當(dāng)是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即時(shí)，得時(shí)，得 aaaadxxfxfdxxfxfdxxf000)()()()()(此結(jié)論常用。此結(jié)論常用。 3342251sindxxxxx 計(jì)算計(jì)算42251sin)(xxxxxf 3,3 因?yàn)橐驗(yàn)闉闉樯系钠婧瘮?shù)，上的奇函數(shù)， 01sin334225 dxxxxx所以所以dxxxxx 112211cos2 111122211cos112dxxxxdxxxdxxxxx 112211cos2 計(jì)算計(jì)算 把原式一分為二得：把原式一分為二得：例例6.236.23解解例例6.246.24解解 因?yàn)槠渲械诙糠值谋环e函數(shù)為奇函數(shù)，其值為因?yàn)槠渲械诙糠值谋环e函數(shù)為奇函數(shù)，其值為零

19、，所以只要計(jì)算第一部分積分即可，注意到第一零，所以只要計(jì)算第一部分積分即可，注意到第一部分被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有部分被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有dxxxxx 112211cos2 1122112dxxx 1022114dxxx 10222114dxxxx 10210144dxxdx 4444 22231sin dxxxdxxx 1121sin2計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分(2) (2) (1)(1) 證明證明 babadxxbafdxxf.)()( 比較積分等式兩端的被積函數(shù)比較積分等式兩端的被積函數(shù) )(xf與與),(xbaf 可作如下的變量代換：可作如下的變量代換：, txba ,dtdx abtb

20、ax令令 則則于是于是 baabdttfdxxbaf)()(.)()( babadxxfdttf例例6.256.25證證)(),(xvvxuu . ba 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則( )( )( ) ( )( )( )bbaabu x dv xu x v xv x du xa(6.4)(6.4) 由不定積分的分部積分公式由不定積分的分部積分公式,)()()()()()( dxxuxvxvxudxxvxu得得 babadxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()( babadxxuxvxvxu)()()()( 定理 6.5證證 badxuv baba

21、dxvuuv baudv babavduuv簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作或或（6.46.4）式稱為定積分的）式稱為定積分的分部積分公式分部積分公式。 求定積分求定積分 . .1lnexdx1111lnln(1)1eeexdxxxxdxeex 計(jì)算計(jì)算 30.arctan xdx 根據(jù)定積分的分部積分公式得根據(jù)定積分的分部積分公式得 30arctanxdx30arctanxx 30arctanxxddxxx 30213arctan3302)1ln(2133x 2ln33)4ln(2133 例例6.266.26解解例例6.276.27解解 2020.cossin dxxfdxxf 2020cossin xdxxd

22、xnn 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)nnnnnnnnnn 1235431. 1 12343.212 證明（證明（1 1）（2 2）（ n為正整數(shù)為正整數(shù) ）)2cos(sinxx tx 2 （1 1）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系：）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系：，令，令，則，則 0220, txdtdx于是于是 2002)(2sin()(sin dttfdxxf例例6.286.28證證 2020.)(cos)(cos dxxfdttfxxfnsin)(sin 2020cossin xdxxdxnn特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)時(shí)，時(shí)，n正整數(shù)，有正整數(shù)，有（2 2） 用定積分的分部積分法用定積分的分部積分法xdxInn 20sin

23、 xdxxnsinsin201 xxdncossin201 2022201cossin)1(sincos xdxxnxxnnxdxxnn 2022sin)sin1()1( )1(sin)1(202 nxdxnn xdxn 20sin 把上式看作以把上式看作以為未知量的方程，解之為未知量的方程，解之, ,得得.)1()1(2nnInIn nI21 nnInnI 稱它為遞推公式。連續(xù)使用上述遞推公式，稱它為遞推公式。連續(xù)使用上述遞推公式，可導(dǎo)出如下結(jié)果：可導(dǎo)出如下結(jié)果：當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有為偶數(shù)時(shí)，有02143231InnnnIn 2000sin xdxI 20 dx2 22143231 nnnnIn其中其中，代入上式中，得，代入上式中，得當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有為奇數(shù)時(shí)，有. 13254231 nnnnIn本例結(jié)果可直接引用，本例結(jié)果可直接引用，例如例如10. 8 . 6 . 4 . 29 .7 .5 .3 .12sin2010 xdx11. 9 .7 .5 .3.10. 8 . 6 . 4 . 21cos2011 xdx 請(qǐng)讀者證明并使用下列結(jié)論：請(qǐng)