1、 線性代數(shù)研究最多最基本的便是矩陣。矩陣是線線性代數(shù)研究最多最基本的便是矩陣。矩陣是線性代數(shù)最基本的概念，矩陣的運(yùn)算是線性代數(shù)的基本性代數(shù)最基本的概念，矩陣的運(yùn)算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容。矩陣就是一個(gè)數(shù)表，而這個(gè)數(shù)表可以進(jìn)行變換，內(nèi)容。矩陣就是一個(gè)數(shù)表，而這個(gè)數(shù)表可以進(jìn)行變換，以形成新的數(shù)表。如果你了解原始數(shù)表的含義，而且以形成新的數(shù)表。如果你了解原始數(shù)表的含義，而且你可以從中抽象出某種變化規(guī)律，你就可以用線性代你可以從中抽象出某種變化規(guī)律，你就可以用線性代數(shù)的理論對(duì)你研究的數(shù)表進(jìn)行變換，并得出你想要的數(shù)的理論對(duì)你研究的數(shù)表進(jìn)行變換，并得出你想要的一些結(jié)論。這些結(jié)論就可以直觀的、簡(jiǎn)潔的數(shù)表形式一些

2、結(jié)論。這些結(jié)論就可以直觀的、簡(jiǎn)潔的數(shù)表形式展現(xiàn)在你眼前。在日常生活中，矩陣無(wú)時(shí)無(wú)刻不出現(xiàn)展現(xiàn)在你眼前。在日常生活中，矩陣無(wú)時(shí)無(wú)刻不出現(xiàn)在我們的身邊，例如生產(chǎn)管理中的生產(chǎn)成本問(wèn)題、人在我們的身邊，例如生產(chǎn)管理中的生產(chǎn)成本問(wèn)題、人口的流動(dòng)和遷徙、密碼學(xué)、圖論、生態(tài)統(tǒng)計(jì)學(xué)、以及口的流動(dòng)和遷徙、密碼學(xué)、圖論、生態(tài)統(tǒng)計(jì)學(xué)、以及在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到的配方在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到的配方問(wèn)題、超市物品配送路徑等都和矩陣息息相關(guān)。問(wèn)題、超市物品配送路徑等都和矩陣息息相關(guān)。 矩陣的實(shí)際應(yīng)用矩陣的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用1 生產(chǎn)成本生產(chǎn)成本我們用矩陣的方法考慮這個(gè)問(wèn)題我們用矩陣的方法考慮

3、這個(gè)問(wèn)題. 這兩張表格中這兩張表格中的數(shù)據(jù)均可表示為一個(gè)矩陣的數(shù)據(jù)均可表示為一個(gè)矩陣. 15. 020. 010. 025. 040. 030. 015. 030. 010. 0M400045004500400020002600240022005800620060006000P MPMPMPMPMP 15. 020. 010. 025. 040. 030. 015. 030. 010. 0M400045004500400020002600240022005800620060006000P 187021602070196034503940381035801670190018301740MPMPM

4、PMP187021602070196034503940381035801670190018301740MP 應(yīng)用應(yīng)用2 人口遷徙模型人口遷徙模型 設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開(kāi)始時(shí)有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問(wèn)10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？人口遷徙模型人口遷徙模型這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。把人這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示?？谧兞坑檬袇^(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示。一年以后，市區(qū)人口為一年以后，市區(qū)

5、人口為xc1 (1 0.06) xc0 0.02xs0，郊區(qū)人口，郊區(qū)人口xs1 0.06xc0 (1 0.02)xs0用矩陣乘法來(lái)描述，可寫(xiě)成：用矩陣乘法來(lái)描述，可寫(xiě)成：11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxxAxx 人口遷徙模型人口遷徙模型從初始到從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式的遞推式為述算式的遞推式為輸入：輸入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0得到：得到：2120kkkkxAxA xA x11

6、03050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492xxxx應(yīng)用應(yīng)用3 應(yīng)用應(yīng)用矩陣編制矩陣編制HillHill密碼密碼 密碼學(xué)在經(jīng)濟(jì)和軍事方面起著極其重要的作密碼學(xué)在經(jīng)濟(jì)和軍事方面起著極其重要的作用?，F(xiàn)在密碼學(xué)涉及很多高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，這里用。現(xiàn)在密碼學(xué)涉及很多高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，這里只做簡(jiǎn)單介紹。只做簡(jiǎn)單介紹。 密碼學(xué)中將信息代碼稱為密碼學(xué)中將信息代碼稱為密碼密碼，尚未轉(zhuǎn)換成，尚未轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息稱為密碼的文字信息稱為明文明文，由密碼表示的信息稱，由密碼表示的信息稱為為密文密文。從明文到密文的過(guò)程稱為。從明文到密文的過(guò)程

7、稱為加密加密，反之為，反之為解密解密。 信信源源加加密密信信道道解解密密信信宿宿 1929年，希爾（年，希爾（Hill）通過(guò)）通過(guò)矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚搶?duì)傳輸信息對(duì)傳輸信息進(jìn)行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的進(jìn)行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾希爾加密算法加密算法。下面我們介紹一下這種算法的基本思想。下面我們介紹一下這種算法的基本思想。 【準(zhǔn)備【準(zhǔn)備】若要發(fā)出信息若要發(fā)出信息 action，現(xiàn)需要利用矩陣，現(xiàn)需要利用矩陣乘法給出加密方法和加密后得到的密文，并給出相應(yīng)乘法給出加密方法和加密后得到的密文，并給出相應(yīng)的解密方法。的解密方法。ABCXYZ123242526 （2）假設(shè)將單詞中

8、從左到右，每）假設(shè)將單詞中從左到右，每3個(gè)字母分為一組，個(gè)字母分為一組，并將對(duì)應(yīng)的并將對(duì)應(yīng)的3個(gè)整數(shù)排成個(gè)整數(shù)排成3維的行向量，加密后仍為維的行向量，加密后仍為3維的行向量，其分量仍為整數(shù)。維的行向量，其分量仍為整數(shù)。 【假設(shè)【假設(shè)】（1）假定）假定26個(gè)英文字母與數(shù)字之間有以個(gè)英文字母與數(shù)字之間有以下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：【加密、解密【加密、解密】bb12193,152014 B193152014 若要發(fā)出信息若要發(fā)出信息action，使用上述代碼，則此信，使用上述代碼，則此信息的編碼是：息的編碼是：1，3，20，9，15，14可以寫(xiě)成兩個(gè)可以寫(xiě)成兩個(gè)向量向量:或者寫(xiě)成一個(gè)矩陣或

9、者寫(xiě)成一個(gè)矩陣第一步第一步 “加密加密”A123112012 現(xiàn)任選一個(gè)三階的可逆矩陣，例如現(xiàn)任選一個(gè)三階的可逆矩陣，例如 A于是將要發(fā)出的信息（或矩陣）經(jīng)乘以于是將要發(fā)出的信息（或矩陣）經(jīng)乘以變成變成“密碼密碼”后發(fā)出后發(fā)出AbAb12123167123981112344 ,112155201220430121443 或者或者 ABC123196781112315445201220144343 A1011221111 第二步第二步 “解密解密”678144524343 在收到信息：在收到信息：后，可予以后，可予以解密解密（當(dāng)然這里（當(dāng)然這里AA可逆矩陣可逆矩陣 是事先約定的，這個(gè)可逆矩陣是事

10、先約定的，這個(gè)可逆矩陣 稱為稱為解密的鑰匙，解密的鑰匙，或稱為或稱為“密匙密匙” ）即用）即用從密碼中恢復(fù)明碼：從密碼中恢復(fù)明碼：AA116701167181944221443,52154311143204314 或者或者 A C1011678119221445231511143432014 ABCXYZ123242526反過(guò)來(lái)查表：反過(guò)來(lái)查表：即可得到信息即可得到信息actionA123221343 A 我們選擇不同的可逆矩陣我們選擇不同的可逆矩陣 （密鑰）（密鑰），則可得到不同的密文。，則可得到不同的密文。如：如： 選擇可逆矩陣選擇可逆矩陣B193152014 action的編碼矩陣是的編

11、碼矩陣是1231967812213152862343201475129AB= C 則A113235322111 因?yàn)橐驗(yàn)锳 C1132678119353286231522751292014111 所以所以反過(guò)來(lái)查表：反過(guò)來(lái)查表：ABCXYZ123242526即可得到信息即可得到信息action12115314,20090bb B11531420090 。 在【假設(shè)】中，也可將單詞中從左到右，每在【假設(shè)】中，也可將單詞中從左到右，每4個(gè)字母分位個(gè)字母分位一組，并將對(duì)應(yīng)的一組，并將對(duì)應(yīng)的4個(gè)整數(shù)排成個(gè)整數(shù)排成4維的列向量，加密后仍為維的列向量，加密后仍為4維維的列向量，其分量仍為整數(shù)，最后不足的列

12、向量，其分量仍為整數(shù)，最后不足4個(gè)字母時(shí)用空格上。個(gè)字母時(shí)用空格上。 信息信息action，使用上述代碼，則此信息的編碼是：，使用上述代碼，則此信息的編碼是：1，3，20，9，15，14可以寫(xiě)成兩個(gè)向量可以寫(xiě)成兩個(gè)向量即即action的編碼矩陣可以寫(xiě)成的編碼矩陣可以寫(xiě)成AB12341151034301233147014001220038000019090A1234012300120001 設(shè)可逆矩陣設(shè)可逆矩陣于是于是A11210012100120001 A而而的逆矩陣為的逆矩陣為ABCXYZ123242526A C1121010343115012170143140012380200000190

13、90 所以所以反過(guò)來(lái)查表：反過(guò)來(lái)查表：即可得到信息即可得到信息action應(yīng)用應(yīng)用4 網(wǎng)絡(luò)和圖網(wǎng)絡(luò)和圖 圖為圖為1，2，3，4四個(gè)城市之間的空運(yùn)航線，用四個(gè)城市之間的空運(yùn)航線，用有向圖表示。則該圖可以用下列航路矩陣表示：有向圖表示。則該圖可以用下列航路矩陣表示：經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)機(jī)經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)機(jī)(也就是坐兩次航班也就是坐兩次航班)能到達(dá)的城能到達(dá)的城市市,可以由鄰接矩陣的平方可以由鄰接矩陣的平方A2 A12來(lái)求得。來(lái)求得。0 0111 00 010 10 01 010A00110011 1 1 1 0 10001000 0 0 1 1 2110 1000 100 1 0 0 0 10101010 0 1

14、 1 1 AAA 應(yīng)用應(yīng)用5 生態(tài)學(xué)生態(tài)學(xué)海龜?shù)姆N群統(tǒng)計(jì)學(xué)海龜?shù)姆N群統(tǒng)計(jì)學(xué) 若若di 表示第表示第i個(gè)階段持續(xù)的時(shí)間個(gè)階段持續(xù)的時(shí)間，si 為該階段每為該階段每年的存活率，那么在第年的存活率，那么在第i階段中，下一年仍然存活的階段中，下一年仍然存活的比例將為比例將為ididiissspii 111 而下一年轉(zhuǎn)移到第而下一年轉(zhuǎn)移到第i+1個(gè)階段時(shí)，可以存活的個(gè)階段時(shí)，可以存活的比例應(yīng)為比例應(yīng)為(1)1iidiiidissqs 若令若令ei 表示階段表示階段i（i=2，3，4）1年中平均的年中平均的產(chǎn)卵量，并構(gòu)造矩陣產(chǎn)卵量，并構(gòu)造矩陣 4332214321000000pqpqpqeeepL 則則L

15、可以用于預(yù)測(cè)以后每階段海龜?shù)臄?shù)量，成可以用于預(yù)測(cè)以后每階段海龜?shù)臄?shù)量，成 為為萊斯利矩陣萊斯利矩陣，相應(yīng)的種群模型通常稱為，相應(yīng)的種群模型通常稱為萊斯利種萊斯利種群模型群模型. 利用表利用表4給出的數(shù)字，模型的萊斯利矩陣為給出的數(shù)字，模型的萊斯利矩陣為00127790.670.73940000.000600000.810.8077L 假設(shè)初始時(shí)種群在各個(gè)階段的數(shù)量分別為假設(shè)初始時(shí)種群在各個(gè)階段的數(shù)量分別為20 0000、30 0000、500、1500. 若將這個(gè)初始種群若將這個(gè)初始種群數(shù)量表示為數(shù)量表示為x0，1年后各階段的種群數(shù)量可如下計(jì)算：年后各階段的種群數(shù)量可如下計(jì)算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617xLx2年后各階段的種群數(shù)量為：年后各階段的種群數(shù)量為：220 xL x k年后各階段的種群數(shù)量為：年后各階段的種群數(shù)量為：0kkxL x 為觀察長(zhǎng)時(shí)間的趨勢(shì)，我們計(jì)算為觀察長(zhǎng)時(shí)間的趨勢(shì)，我們計(jì)算502510,xxx結(jié)果歸納在表結(jié)果歸納在表