1、1. 1. 局部局部TaylorTaylor展開式：展開式：余余項(xiàng)項(xiàng)。稱稱為為其其中中階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有：處處有有在在若若函函數(shù)數(shù)PeanoxxxxoxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnxxfnnnnn)()()()()(!)()(! 2)()()()()(0000)(2000000 Taylor Taylor 公式公式2. 帶帶Lagrange余項(xiàng)的余項(xiàng)的Taylor公式：公式：時(shí)時(shí)，有有：特特別別地地，當(dāng)當(dāng)00 x公公式式。余余項(xiàng)項(xiàng)的的帶帶MaclaurinPeanoxoxnfxfxffxfnnn)(!)0(! 2)0()0()0()()(2 )()(!)()(!2)()()(

2、)(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之之間間與與介介于于其其中中xxxxnfxRnnn 帶帶LagrangeLagrange余項(xiàng)的余項(xiàng)的MaclaurinMaclaurin公式：公式：)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf 4 4 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法v函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法v函數(shù)的凸性及其判別法函數(shù)的凸性及其判別法一一. . 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( x

3、f0)( xf。內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增或或單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在則則稱稱或或，都都有有，內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),()()()()()(),(),()(21212121baxfxfxfxfxfxxbaxxbaxfy abBA定義定義定理定理1 1。下降下降在在；上升上升在在，則，則，且，且設(shè)設(shè)0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf，由由上上升升，在在),(,)(.10baxbaxf 證明：證明：),(, 0)()(baxxxxfxxf （極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性）得得0)()(lim0 xxfxxfx. 0)( xf定定理理上

4、上用用，在在Lagrangexxbaxx,),(,2121 ),(),)()()(211212xxxxfxfxf 上上是是上上升升的的。，在在則則,)()(21baxfxf 0)(1)(,)(.200 xfxfbaxf知，知，上升的，由上升的，由是是上是下降的，則上是下降的，則在在若若；即即0)( xf上上升升。在在知知，由由，則則反反之之若若,)()()(baxfxfxf 0100下下降降。在在所所以以,)(baxfyxo說(shuō)明說(shuō)明: : 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如例如,),(, xxy32332xy 0 xy32xy 2

5、) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(, xxy323xy 00 xyyox3xy 。的的任任意意子子區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)恒恒為為不不在在；或或上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)上上升升或或下下降降在在0),()().20)(0)().1,)(baxfxfxfbaxf 定理定理2 2成成立立。知知，上上嚴(yán)嚴(yán)格格上上升升，由由在在設(shè)設(shè)011 .,)(thbaxf證明：證明：則則，有有假假設(shè)設(shè), 0)(),(),( xfba Cxf )(，與條件矛盾。，與條件矛盾。不是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)不是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)這表明這表明)(xf嚴(yán)嚴(yán)格格上

6、上升升。明明內(nèi)內(nèi)上上升升。現(xiàn)現(xiàn)用用反反證證法法證證在在知知由由),()(,baxf01，但，但且且，不嚴(yán)格上升，那么不嚴(yán)格上升，那么假設(shè)假設(shè) ,),()(baxf)()( ff 是上升函數(shù)，所以是上升函數(shù)，所以因?yàn)橐驗(yàn)?(xf xfxf),()(. 0)( xf。矛矛盾盾！上上恒恒為為的的子子區(qū)區(qū)間間在在說(shuō)說(shuō)明明0),(),()( baxf 嚴(yán)嚴(yán)格格上上升升。)(xf；等等號(hào)號(hào)成成立立當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)，有有證證明明當(dāng)當(dāng)例例01111 xxxxxx)ln(.不不等等號(hào)號(hào)成成立立。與與須須證證時(shí)時(shí)，顯顯然然等等號(hào)號(hào)成成立立。只只當(dāng)當(dāng)0010 xxx證明：證明：函數(shù)函數(shù)先證右端不等式?？紤]先證

7、右端不等式?？紤]0)0()1ln()( fxxxf，xxxxf 1111)(于于是是有有：上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)上上升升，在在，時(shí)時(shí)，),()()( 000 xfxfx).1ln(),0()(xxfxf 即即下下降降，也也有有：內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)在在，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))0 , 1()(0)(,01 xfxfx1100 xxx時(shí)時(shí)，現(xiàn)現(xiàn)證證明明左左端端不不等等式式：當(dāng)當(dāng)，同同樣樣有有：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0101 xxx)1ln(11ln)11ln(1xxxxxx 011 xx)11ln(1xxxx ).1ln(),0()(xxfxf 即即)1ln(1xxx 即即.)1ln(1xxxx 上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在

8、證證明明，上上二二次次可可導(dǎo)導(dǎo)，且且在在設(shè)設(shè)例例,)()(,)(,)(.axxfxffaxf000002 定定理理，在在上上二二次次可可導(dǎo)導(dǎo)，故故由由Langrange)(xf證明：證明：，使使得得), 0(, 0 xax )()0()( fxfxf 2)()()(xxfxfxxxf 另另一一方方面面2)0()()(xfxfxfx 2xfxxfx)()( xfxf)()( ).()(0)( fxfxf 可可知知，由由上上單單調(diào)調(diào)減減少少。在在即即，故故, 0)(0)(axxfxxf 上上的的最最大大值值。在在求求函函數(shù)數(shù)例例),)(. 032xexxfxxexxexf 22)(解：解：)2(x

9、xex ; 0)(20 xfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng). 0)(2 xfx時(shí)，時(shí)，嚴(yán)格下降。嚴(yán)格下降。上嚴(yán)格上升，在上嚴(yán)格上升，在在在因此連續(xù)函數(shù)因此連續(xù)函數(shù)), 2(2 , 0)(xf上上最最大大值值。在在為為), 0)(4)2(2 xfef注意注意: : 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性Nove. 17 Mon. Reviewv函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法。下降下降在在；上升上升在在，則，則，且，且設(shè)設(shè)0)

10、(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf例例4.4. 證明證明20 x時(shí)時(shí), 成立不等式成立不等式.sin 2 xx證證: 令令,sin)( 2 xxxf,()(上連續(xù)上連續(xù)在在則則20 xf上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，在在),(20 2xxxxxfsincos)( )tan(cosxxxx 21xtanx0 ,),()(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在因因此此20 xf從而從而,(,sin202 xxx02 )()( fxf,)(處處左左連連續(xù)續(xù)在在又又2 xf因此因此且且* 證明證明0 xxtan令令,tan)(xxx 則則xx21sec)( x2tan

11、),(,200 x,),()(上遞減上遞減在在20 x從而從而00 )()( x即即),(,tan200 xxx二二. 函數(shù)的凸性及其判別法函數(shù)的凸性及其判別法問(wèn)題問(wèn)題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?ABCxyoxy 2xy xy011xyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于弦的上方于弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于弦的下方于弦的下方定義定義1 1。內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)；若若有有：內(nèi)內(nèi)是是凹凹的的在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)，總總有有：，對(duì)對(duì)任任一一，內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若對(duì)對(duì)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))co

12、nvex()()()()1()1()concave()()()()1()1()1 , 0()(212121212121IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIxxIxf 若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)。是凸函數(shù)或凹函數(shù)。2x)(2xfxy0 1x)(121xxxf 2x)(2xfxy0 1x)(1xf)()(1211xxxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù))()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 定義定義11)()()(12112xxxfxfxf 可微可微若函數(shù)若函數(shù))(xf)()()(

13、12112xxxfxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)。扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)或或?yàn)闉閯t則稱稱的的，在在另另一一邊邊是是凹凹的的，的的一一邊邊是是凸凸的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，在在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf定義定義2 2定理定理內(nèi)內(nèi)是是凹凹的的。在在，則則內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的；若若在在在在，則則內(nèi)內(nèi)有有在在若若函函數(shù)數(shù)),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 證明：證明：的的情情況況。只只證證0)( xf公式：公式：余項(xiàng)的余項(xiàng)的處有帶處有帶在在，設(shè)設(shè)Tayler),(,121Lagrangexbaxx 21111)(!

14、2)()()()(xxfxxxfxfxf ，則有，則有令令2xx .),(21之之間間與與介介于于，其其中中xxbax 之之間間。與與介介于于21xx ,0)( f21212112)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf .0)(! 2)(212 xxf )()()(12112xxxfxfxf 是是凹凹的的。)(xf幾何意義：幾何意義：若曲線弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào)若曲線弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào) 增加的，則該曲線是下凸的；若各點(diǎn)處的切增加的，則該曲線是下凸的；若各點(diǎn)處的切 線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的。線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的。求拐點(diǎn)的求拐點(diǎn)的步驟：步驟：的的點(diǎn)

15、點(diǎn)；求求出出使使0)(. 1 xf有有意意義義；不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)，但但函函數(shù)數(shù)要要求求出出)(. 2xf . 3函數(shù)的凹凸性函數(shù)的凹凸性考察在這些點(diǎn)的左、右考察在這些點(diǎn)的左、右；，例例431xyxy .解：解：,3xy ,23xy xy6 凹凹, 0, 0 yx凸凸, 0, 0 yx.)(),(變號(hào)變號(hào)是拐點(diǎn)，是拐點(diǎn)，xf 00( )0( ).fxfx 所所以以只只要要求求出出的的點(diǎn)點(diǎn)，然然后后考考察察在在該該點(diǎn)點(diǎn)左左、右右的的符符號(hào)號(hào)即即可可,4xy ,34xy 212xy .),()(不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)不變號(hào)，不變號(hào)， 00 xf 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；求函數(shù)求函數(shù)例例35

16、22)(. xy解：解：,)(32235 xy3123235 )(xy321910 x.時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)不存在2 x02 )(xfx時(shí)，時(shí)，02 )(xfx時(shí)，時(shí)，.),(為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)02二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn). .Nove. 23 Mon. Reviewv函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法。下降下降在在；上升上升在在，則，則，且，且設(shè)設(shè)0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxfv函數(shù)凸性及其判別法函數(shù)凸性及其判別法。是凸的是凸的，函數(shù)函數(shù)；若有：；若有：是凹的是凹的，有：，有：，對(duì)任一，

17、對(duì)任一，若對(duì)若對(duì))()()()()1()1()()()()()1()1()1 , 0(212121212121convexIxxfxfxfxxfconcaveIxxfxfxfxxfxxIxx 若函數(shù)可微：若函數(shù)可微：)()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)內(nèi)內(nèi)是是凹凹的的。在在，則則內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的；若若在在在在，則則內(nèi)內(nèi)有有在在若若函函數(shù)數(shù)),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 函數(shù)凸性判別法：函數(shù)凸性判別法：求拐點(diǎn)的求拐點(diǎn)的步驟：步驟：的的點(diǎn)點(diǎn)；求求出出使使0)(. 1 xf意

18、意義義；不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)，函函數(shù)數(shù)要要有有求求出出使使)(. 2xf 3.考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)點(diǎn)點(diǎn)的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)或或?yàn)闉閯t則稱稱的的，在在另另一一邊邊是是凹凹的的，的的一一邊邊是是凸凸的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，在在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf拐點(diǎn)：拐點(diǎn)：的的凸凸性性；討討論論例例32)52(3xxy 解：時(shí)，時(shí)，0 x,13103xxy .129103xxxy 時(shí)，時(shí)，0 x導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不存在。導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不存在。021 )(xfx時(shí)，時(shí)，,),(分分區(qū)區(qū)間間將將及及用用 210 xx),(),(

19、),( 002121x)(xf)(xf )21,( 21 )0 ,21( 0), 0( 0 不存在不存在 凸凸凹凹凹凹不是拐點(diǎn)。不是拐點(diǎn)。拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為)0 , 0(),23,21(3 ；，證證明明，設(shè)設(shè)例例bbaabababalnln)ln()(. 204證明：.), 0(ln是是凹凹的的，利利用用凹凹性性上上在在有有關(guān)關(guān)，經(jīng)經(jīng)觀觀察察，不不等等式式與與函函數(shù)數(shù) yxxy,ln)(xxxf 設(shè)設(shè))0(1)(1ln)( xxxfxxf，則則時(shí)時(shí)有有：是是凹凹的的，故故在在可可見(jiàn)見(jiàn)0, 0), 0()( baxf)()()(21)2(時(shí)時(shí)等等號(hào)號(hào)成成立立babfafbaf )lnln(lnbbaa

20、baba 2122即即.lnln2ln)(bbaababa 。證證明明，的的凸凸性性；討討論論例例bababaxy )().ln).11002151證明：.1,1120 xyxy 上上是是凸凸的的；在在), 0(ln xy：時(shí)，由凸函數(shù)定義，有時(shí)，由凸函數(shù)定義，有，當(dāng)，當(dāng)設(shè)設(shè)baba 0, 020)1ln(lnln)1(baba 的的指指數(shù)數(shù)，則則：式式兩兩端端取取時(shí)時(shí)，等等號(hào)號(hào)成成立立，將將不不等等eba baba )1(1hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5),2(1),3,5,6.0),(1)(21121 innnaaaanaaa)(2121baab

21、 時(shí)時(shí)，有有 更進(jìn)一步有不等式：更進(jìn)一步有不等式：。超過(guò)它們的算術(shù)平均值超過(guò)它們的算術(shù)平均值個(gè)正數(shù)的幾何平均值不個(gè)正數(shù)的幾何平均值不nxxy24362 )(3236 xx例例. 求曲線求曲線14334 xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解:1) 求求y ,231212xxy 2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,32210 xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別2711211 yy,)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在故該曲線在),(0),( 32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn)

22、均為拐點(diǎn).上上在在),(320凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,)(0上上向向上上凹凹在在曲曲線線Ixfy)( Ixxf ,)(0+上上向向上上凸凸在在曲曲線線Ixfy)( 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)112 xxy有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線求證曲線 證明：證明： y y222121)(

23、 xxx322311332)()( xxxx321323212)()()( xxxxxxx2112)()( 221)( x421)( x)(x22 221)( x)(221xx )(122 xx2 令令0 y得得,11 x;),(11從而三個(gè)拐點(diǎn)為從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)橐驗(yàn)?2 所以三個(gè)拐點(diǎn)共線所以三個(gè)拐點(diǎn)共線.323 x,322 x, ),(3483132 ),(3483132 32 1 1 34831 1 1 34831 證明證明:20 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，.sinxx 2 有有證明證明:xxxF 2 sin)(令令,)(00 F, 則則 )(xF )(xF)(xF是凸函數(shù)是凸函數(shù) )(xF即即xx

24、 2 sin)(20 x 2 .02 )( F 2 xcosxsin 0 )(),(min20 FF0 (自證自證)v函數(shù)的極值：極大值與極小值函數(shù)的極值：極大值與極小值；處可導(dǎo)，且取得極值處可導(dǎo)，且取得極值在在件：件：函數(shù)取得極值的必要條函數(shù)取得極值的必要條0)()(. 100 xfxxf不是極值點(diǎn)。不是極值點(diǎn)。則嚴(yán)格單調(diào)，則嚴(yán)格單調(diào)，或或，有，有對(duì)對(duì)處有極小值；處有極小值；在在則則時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，處有極大值；處有極大值；在在則則時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，內(nèi)可微，若內(nèi)可微，若及及在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在的極值可疑點(diǎn)，且的極值可疑點(diǎn)，且是是設(shè)設(shè)件：件：函數(shù)取得極值的充分條函數(shù)取得極值的充分條02100200

25、100000000000000000000)()0(0)(0)(),(),(3)(, 0)(),(, 0)(),(2)(, 0)(),(, 0)(),(1),(),(),()()(. 2xxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxfxfx 5 5 函數(shù)極值、函數(shù)作圖函數(shù)極值、函數(shù)作圖v函數(shù)的極值與求法；函數(shù)的極值與求法；v漸近線；漸近線；v函數(shù)作圖。函數(shù)作圖。一一. 函數(shù)的極值與求法函數(shù)的極值與求法定義定義：。的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)稱為稱為的極大值或極小值，的極大值或極小值，為為則稱則稱或或，有不等式，有不等式有定義，若對(duì)任何有

26、定義，若對(duì)任何內(nèi)內(nèi)的鄰域的鄰域在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()()()()()()(),(),()(0000000000 xfxxfxfxfxfxfxfxxxxxxxfy 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). .oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x定理定理1 1( (必要條件必要條件) ).,)(是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定點(diǎn)點(diǎn)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)xf注意注意: :例如例如, ,3xy , 00 xy.0 不是極值點(diǎn)不是

27、極值點(diǎn)但但 x極值可疑點(diǎn)：極值可疑點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(尖點(diǎn)尖點(diǎn)).)()(0000 xfxxxf處取得極值，那么必定處取得極值，那么必定且在且在處具有導(dǎo)數(shù)，處具有導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x ( (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形) ).)()(),(),()3()(, 0)(),(; 0)(),()2()(, 0)(),(; 0)(),()1(000000000000000處無(wú)極值處無(wú)極值在在符號(hào)相同，則符號(hào)相同，則時(shí)，時(shí)，及及如果當(dāng)如果當(dāng)處取得極小值；處取得極小值；在在則則有有，而而，有，有如果如

28、果處取得極大值；處取得極大值；在在則則有有，而而，有，有如果如果xxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxx 證明：證明：0001(,)xxx 時(shí)時(shí)，,)(0 xf嚴(yán)格下降，嚴(yán)格下降，)(xf);()(0 xfxf 00(,)xxx 時(shí)時(shí)，,)(0 xf嚴(yán)格上升，嚴(yán)格上升，)(xf);()(0 xfxf ;)(為極大值為極大值0 xf.,證明類似證明類似0032xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的的根根求求駐駐點(diǎn)點(diǎn)，即即方方程程 xf;,)()3(判判斷斷極極值值點(diǎn)點(diǎn)在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)左左右右的的正正負(fù)負(fù)

29、號(hào)號(hào)檢檢查查xf .)4(求極值求極值( (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) )例例1 1. .解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下的的極極值值；求求函函數(shù)數(shù)例例3212xxy)(. 解：解：)(1323132 xxxy3325xx ; 052 yx時(shí)時(shí)，.不存在不存

30、在時(shí)，時(shí)，yx 0.,為為極極值值可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)520 xx)(xf )(xf),(0 0不存在不存在0),(520 520325453 ),(52 maxfminf.,和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在進(jìn)一步，求進(jìn)一步，求211 y;,min52254533 xf.,max00 xf.)(,)(32412121 ff端端點(diǎn)點(diǎn)處處.,)(20211 最小值為最小值為上的最大值為上的最大值為在在xf52xy0定理定理3 3（第二充分條件）（第二充分條件）不不為為極極值值。為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，為為極極大大值值；，為為極極小小值值；，為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，則則，階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且處處有有在在設(shè)設(shè))(.

31、2)(0)()(0)(.10)(0)()()()(0000)(00)(00)(0)1(000 xfnxfxfxfxfnxfxfxfxfnxxfnnnn 證明：證明：的符號(hào)。的符號(hào)。考察考察)()(0 xfxf 公公式式：存存在在，有有局局部部由由Taylorxfn)(0)()()(!)()()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf 相同符號(hào)。相同符號(hào)。與與充分接近時(shí)，充分接近時(shí)，與與當(dāng)當(dāng)nnxxnxfxfxfxx)(!)()()(00)(00 )()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf .)()()(0)(0同號(hào)同號(hào)與與xfxfxfn ).()()(

32、)(00 xfxfxfxf 或或不不會(huì)會(huì)總總有有為偶數(shù)，為偶數(shù)，當(dāng)當(dāng)n. 1)()(0)(00)(xfxfxfn , 0)(0 nxx, 0)(0)( xfn)()(0)(00)(xfxfxfn 極小值極小值極大值極大值為奇數(shù)，為奇數(shù)，當(dāng)當(dāng)n. 2的左、右旁要變號(hào)，的左、右旁要變號(hào)，在在00)(xxxn 不是極值。不是極值。)(0 xf定理定理3 3( (第二充分條件第二充分條件) )，我們有：，我們有：特別地，特別地，2 n.)()()2)()()1,)(,)()(處取得極小值處取得極小值在在時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)當(dāng)當(dāng)處取得極大值；處取得極大值；在在時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)當(dāng)當(dāng)則則且且處具有二階導(dǎo)數(shù)，處具

33、有二階導(dǎo)數(shù)，在在設(shè)設(shè)00000000000 xxfxfxxfxfxfxfxxf 例例 1. 1. 若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形；求有最大面積的直角三角形；解：解：.)(,22xxaxaax 而另一直角邊長(zhǎng)為而另一直角邊長(zhǎng)為為為則斜邊長(zhǎng)則斜邊長(zhǎng)，它與斜邊之和為，它與斜邊之和為設(shè)一直角邊長(zhǎng)為設(shè)一直角邊長(zhǎng)為2221xxaxS )(.,2022axxaxa xaxxaaS222 xaxaa223 )(.，唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，03 Sax030 Sax時(shí)時(shí)，023 Saxa時(shí)時(shí)，.)(為為最最大大面面積積21833aaS ;)

34、()()()(2.必必為為極極小小值值取取得得極極值值，則則此此極極值值在在某某一一點(diǎn)點(diǎn)試試證證：若若函函數(shù)數(shù)滿滿足足，對(duì)對(duì)一一切切已已知知函函數(shù)數(shù)例例01302 xxfexfxxfxxxfx證明：證明：.)()(0000 xfxxf處取得極值，則處取得極值，則在在若若0100 xexfx )(即即0001xexfx )(010000 )(,xfexx時(shí)時(shí)，.)(.,)(minfxfxxf 00000010000 )(,xfexx時(shí)時(shí)，;)()(,|)(lim,)()(3.的的最最小小值值為為有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例xffxxffxfx01000 證明：證明：連連續(xù)續(xù)

35、為為極極值值可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)，又又知知，由由)()(xfxf 000)(lim)(xffx 00|lim xx0 0 ,|)(0 xxf的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有在在在在由極限的局部保號(hào)性得由極限的局部保號(hào)性得為可疑拐點(diǎn)為可疑拐點(diǎn)000 xf.)(,(于于是是即即在在該該去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi),)(0 xf2200 xfxffxf!)()()()( 022 xf!)( .)()()()(的的極極小小值值是是，即即xfffxf00 ;cos)(4.的的極極值值求求函函數(shù)數(shù)例例xeexfxx2 解：解：02 xeexfxxsin)(先先求求駐駐點(diǎn)點(diǎn).是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)0 xxexexx 11,時(shí)，時(shí)，從而從而0

36、 xxxxcos211 xeexfxxcos)(2 012 )cos(x.)()(,0042 xxfxfx只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，即格單調(diào)上升，因此最多格單調(diào)上升，因此最多嚴(yán)嚴(yán)，等之外，恒有等之外，恒有除除 0200 xxxxxeexf|sin| )(.)()(min40 fxf042004 xxxxxeexf|cos| )()(小小 結(jié)結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值, ,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值. .駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn)極值可疑點(diǎn). .函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)取得函數(shù)的極值必在極

37、值可疑點(diǎn)取得. .判別法判別法第一充分條件第一充分條件; ;第二充分條件第二充分條件; ;( (注意使用條件注意使用條件) )HwHw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.二二. . 漸近線漸近線定義定義: :.)(,)(一一條條漸漸近近線線的的就就稱稱為為曲曲線線那那么么直直線線趨趨向向于于零零的的距距離離到到某某定定直直線線如如果果點(diǎn)點(diǎn)移移向向無(wú)無(wú)窮窮點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)沿沿著著曲曲線線上上的的一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)曲曲線線xfyLLPPxfy 1.1.垂直漸近線垂直漸近線)(軸軸

38、的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一條垂直漸近線的一條垂直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條: :. 3, 2 xx2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一條條水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy3.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一條

39、條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是曲曲線線那那么么xfybaxy 注意注意: :;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 的漸近線；的漸近線；求求例例23111)()(. xxy,)(lim xfx1是垂直漸近線。是垂直漸近線。1 x.現(xiàn)求斜漸近線現(xiàn)求斜漸近線xxfax

40、)(lim 2311)()(lim xxxxxxxx2311)()(lim 1 )(limaxxfbx 解：解：)()(limxxxx 23115 .為為斜斜漸漸近近線線5 xy的漸近線。的漸近線。求求例例xxyarctan. 2.),(線線連續(xù)，故沒(méi)有垂直漸近連續(xù)，故沒(méi)有垂直漸近在在yxxxxfarctan)( 1)( x1, 1 axxarctanlim )(limxxfbx xx.,22 ,2 xyx有漸近線有漸近線時(shí)時(shí)解：解：.,2 xyx有漸近線有漸近線時(shí)時(shí)三三. . 函數(shù)作圖函數(shù)作圖1.1.函數(shù)基本性質(zhì)：函數(shù)基本性質(zhì)：1). 1). 定義域，值域，連續(xù)范圍；定義域，值域，連續(xù)范圍；2). 2). 函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)