1、原式(x25x5)1(x25x【鞏固】若x,y是整數(shù)，求證：xy【解析】xyx2yx3yx4y,2_2、，2_2、(x5xy4y)(x5xy6y)令x25xy4y2u2、 4,22上式u(u2y)y(uy)即xyx2yx3yx4y例4分解因式(2a5)(a29)(2a7)91【解析】原式(2a5)(a3)(a3)(2a22225)11(x5x5)11(x5x5)x2yx3yx4yy4是一個(gè)完全平方數(shù)44yxyx4yx2yx3yy4y222(x5xy5y)y4(x25xy5y2)2_2_2一7)91(2aa15)(2aa21)91因式分解拓展題解板塊一：換元法例1分解因式：(x46ux5x4x8

2、)23x(x24x8)2x2【解析】將x24x8u看成一個(gè)字母，可利用十字相乘得原式u23xu2x2(ux)(u2x)(x24x8x)(x24x82x)2_2_2(x25x8)(x26x8)(x2)(x4)(x25x8)例2分解因式：(x25x2)(x25x3)12【解析】方法1:將x25x看作一個(gè)整體，設(shè)x25xt,則原式=(t2)(t3)12t25t6(t1)(t6)(x2)(x3)(x25x1)方法2:將x25x2看作一個(gè)整體，設(shè)x25x2t,則原式=t(t1)12t2t12(t3)(t4)(x2)(x3)(x25x1)方法3:將x25x3看作一個(gè)整體，過(guò)程略.如果學(xué)生的能力到一定的程度

3、，甚至連換元都不用，直接把x25x看作一個(gè)整體，將原式展開(kāi)，分組分解即可，則原式(x25x)25(x25x)6(x25x1)(x25x6)(x2)(x3)(x25x1).【鞏固】分解因式：(x1)(x3)(x5)(x7)15【解析】(x2)(x6)(x28x10)【鞏固】分解因式：(x2x1)(x2x2)12【解析】(x1)(x2)(x2x5)例3證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方.【解析】設(shè)這四個(gè)連續(xù)整數(shù)為：x1、x2、x3、x4_,22(x1)(x2)(x3)(x4)1(x1)(x4)(x2)(x3)1(x5x4)(x5x6)1設(shè)2a2a15x,22(2a2a28)(2a2a8)2原

4、式x(x6)91x26x91(x13)(x7)(a4)(2a7)(2a2a8)【鞏固】分解因式(x23x2)(38x4x2)90_2-3)(2x5x2)90(2x25x12)(2x7)(x1)【解析】原式(x1)(x2)(2x1)(2x3)90(2x25xy2x25x原式(y3)(y2)90y25y84(y12)(y7)例5分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(4x2x4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2x1)(x22x3)4x2故可設(shè)3x2x1A,x22x3B,則4x2x4AB.故原式=4AB(AB)2A2B22AB(AB)2222222(3xx1)(x2x3)(2x

5、3x2).【鞏固】分解因式：(ab2ab)(ab2)(1ab)2【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個(gè)，共4個(gè)地方，故采取換元法后會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，不妨設(shè)abx,aby,【解析】則原式=(x2y)(x2)(1y)2x22xyy22y2x2_22221(xy)2(xy)1(xy1)(abab1)(1a)(1b)例6分解因式：(x1)4(x3)4272【解析】設(shè)yx1x3x2,則原式=(y1)4(y1)42722(y46y21)27222(y46y2135)2(y29)(y215)2(y3)(y3)(y215)22(x5)(x1)(x4x19)【鞏固】分解因式：a444(a4)4【解析】為方

6、便運(yùn)算，更加對(duì)稱(chēng)起見(jiàn)，我們令xa2444_4_4422224a4(a4)(x2)(x2)4(x4x4)(x4x4)4-4-2-4_2_2_2-2-2-222(x24x16)2562(x24x144)2(x12)2(a2)122(a4a16)板塊二：因式定理因式定理：如果xa時(shí)，多項(xiàng)式anxnan1xn1.a1xa0的值為0,那么xa是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式an的因數(shù).2x2_3x_2x12x3x25x2322x2x23x5x23x3x2x22x20有理根：有理根c2的分子p是常數(shù)項(xiàng)a。的因數(shù)，分母q是首項(xiàng)系數(shù)q例7分解因式：2x3x25x2【鞏固】a02的因數(shù)是1,2,an2的因數(shù)是1,2.因此，

7、原式的有理根只可能是1,2(分母為1),-.2因?yàn)閒(1)21526,f(1)21520,于是1是f(x)的一個(gè)根，從而x1是f(x)的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時(shí)一般將被除式按未知數(shù)的降哥排列，沒(méi)有的補(bǔ)0:可得原式(2x23x2)(x1)(x2)(2x1)(x1)點(diǎn)評(píng)：觀察，如果多項(xiàng)式f(x)的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說(shuō)明f(1)0;f(1)0.如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和相等，則說(shuō)明6c5c4,3c2c/【鞏固】分解因式:x2x3x4x3x2x1解析：本題有理根只可能為1.1當(dāng)然不可能為根(因?yàn)槎囗?xiàng)式的系數(shù)全是正的)，經(jīng)檢驗(yàn)1是根，所以原式有因式x1,原式

8、(x1)(x5x42x32x&x1)容易驗(yàn)證1也是x5x42x32x2x1的根，54324222xx2x2xx1(x1)(x2x1)(x1)(x1),帛二l、65432/、2/2/、2所以x2x3x4x3x2x1(x1)(x1)【鞏固】分解因式：x39x2y26xy224y3解析：x39x2y26xy224y3(x2y)(x3y)(x4y)例8分解因式：x3(abc)x2(abbcca)xabc【解析】常數(shù)項(xiàng)abc的因數(shù)為a,b,c,ab,bc,ca,abc把xa代入原式，得3,、2,、,33.222.2._a(abc)a(abbcca)aabcaabacaababcacabc0所以a

9、是原式的根，xa是原式的因式，并且x3(abc)x2(abbcca)xabc322(xax)(bc)xa(bc)x(bcxabc)2(xa)x(bc)xbc(xa)(xb)(xc).【鞏固】分解因式：(lm)x3(3l2mn)x2(2lm3n)x2(mn)【解析】如果多項(xiàng)式的系數(shù)的和等于0,那么1一定是它的根；如果多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于0,那么1一定是它的根.現(xiàn)在正是這樣：(ln)(3l2mn)(2lm3n)2(mn)0所以x1是原式的因式，并且32(lm)x(3l2mn)x(2lm3n)x2(mn)(lm)x3(lm)x2(2lmn)x2(2lmn)x2(mn)x2(m

10、n)2(x1)(lm)x(2lmn)x2(mn)(x1)(x2)(lxmxmn)板塊三：待定系數(shù)法如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相等日門(mén)方門(mén)國(guó)nn1n211.n,n1un2.1.即，如果anxan1xan2xLa1xa0bnxbn1xbn2xLbixb0那么anbn,an1bn1,，&D,a。b°.例9用待定系數(shù)法分解因式：x5x1【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒(méi)有(有理系數(shù)的)一次因式.故x5x1(x2ax1)(x352xx1(xaxbx2cx1)或x5x11)(x3bx2cx1)x5(x2ax1)(

11、x3bx2cx1)432(ab)x(abc1)x(acb1)x(ac)x1ab0a132x1)(xx1)故cab10,解得b1,所以x5x1(x2acb10c0ac1事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況【鞏固】x4x21是否能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積解析：我們知道x4x21(x2x1)(x2x1).x4x21不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積.如果x4x21能夠分解，那么一定分解為(x2ax1)(x2bx1)或22(xax1)(xbx1)比較x3與x2的系數(shù)可得ab0ab21(1)(2)由(1)得ba,代入(2)得a221,即a23或a21,沒(méi)有整數(shù)a能滿足這兩個(gè)方程.所以

12、，x4x21不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的積(從而也不能分解成兩個(gè)有理系數(shù)的二次因式的積).【鞏固】x6x31能否分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積解析：設(shè)x6x31(x3ax2bx1)(x3cx2dx1),ac0比較x5,x3及x的系數(shù)，得adbc1bd0由第一個(gè)方程與第三個(gè)方程可得ca,db,再把它們代入第二個(gè)方程中，得abab1矛盾!所以，x6x31不可能分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積.例10分解因式：x4x32x2x3【解析】原式的有理根只可能為沒(méi)有有理根，因而也沒(méi)有1,3,但是這四個(gè)數(shù)都不能使原式的值為0,所以原式(有理系數(shù)的)一次因式.我們?cè)O(shè)想x4x32x2x3可以分為兩個(gè)整系數(shù)的二

13、次因式的乘積.由于原式是首1的(首項(xiàng)系數(shù)為1),兩個(gè)二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1的.于是，設(shè)x4x32x2x3(x2axb)(x2cxd)(1)其中整系數(shù)a、b、c、d有待我們?nèi)ゴ_定.比較式兩邊x3,x2,x的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，得(2)(3)(4)ac1bdac2bcad1bd3(5)這樣的方程組，一般說(shuō)來(lái)是不容易解的.不過(guò)，別忘了b、d是整數(shù)從(5)可以得出b1或b1,當(dāng)然也可能是b3或b3d3d3d1d1在這個(gè)例子中由于因式的次序無(wú)關(guān)緊要，b1b1我們可以認(rèn)為只有或這兩種情況.d3d3將b1,d3,代入(4),得c3a12這一組數(shù)將與相減得2a2,于是a1,再由得(a1,b1,c2,d3)不僅適合、，

14、而且適合.因此x4x32x2x3(x2x1)(x22x3)將b1,d3,代人，得c3a1將與相加得2a0.于是a0,再由得c1.這一組數(shù)(a0,b1,c1,d3),雖然適合、，卻不適合,因而x4x32x2x3(x21)(x2x3).事實(shí)上，分解式是惟一的，找出一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫(xiě)出分解式,考慮有沒(méi)有其他的解純屬多余，毫無(wú)必要.板塊四：輪換式與對(duì)稱(chēng)式對(duì)稱(chēng)式：x、y的多項(xiàng)式xy,xy,x2y2,x3y3,x2yxy2,在字母x與y互換時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為x、y的對(duì)稱(chēng)式.類(lèi)似地，關(guān)于x、y、z的多項(xiàng)式xyz,x2y2z2,xyyzzx,x3y3z3,222222，.一f，一一一-一

15、airxyxzyzyxzxzy,xyz,在子母x、y、z中任思兩子互換時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為x、yz的對(duì)稱(chēng)式.輪換式：關(guān)于x、y、z的多項(xiàng)式xyz,x2y2z2,xyyzzx,x3y3z3,222222xyyzzx,xyyzzx,xyz在將字母x、y、z輪換(即將x換成y,y換成z,z換成x)時(shí)，保持不變.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為x、y、z的輪換式.顯然，關(guān)于x、y、z的對(duì)稱(chēng)式一定是x、y、z的輪換式.但是，關(guān)于x、y,z的輪換式不一定是對(duì)稱(chēng)式.例如，x2yy2zz2x就不是對(duì)稱(chēng)式.次數(shù)低于3的輪換式同時(shí)也是對(duì)稱(chēng)式.兩個(gè)輪換式(對(duì)稱(chēng)式)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對(duì)

16、稱(chēng)式).例11:分解因式：x2(yz)y2(zx)z2(xy)解析：x2(yz)y2(zx)z2(xy)是關(guān)于x、y、z的輪換式.如果把x2(yz)y2(zx)z2(xy)看作關(guān)于x的多項(xiàng)式，那么在xy時(shí)，它的值為y2(yz)y2(zy)z2(yy)0.因此，xy是x2(yz)y2(zx)z2(xy)的因式.由于x2(yz)y2(zx)z2(xy)是x、y、z的輪換式，可知yz與zx也是它的因式.從而它們的積(xy)(yz)(zx)是x2(yz)y2(zx)z2(xy)的因式.由于、都是x、y、z的三次多項(xiàng)式，所以兩者至多相差一個(gè)常數(shù)因數(shù)k,即有x2(yz)y2(z.x)z2(xy)k(xy)

17、(yz)(zx)現(xiàn)在我們來(lái)確定常數(shù)k的值.為此，比較的兩邊x2y的系數(shù)：左邊系數(shù)為1,右邊系數(shù)為k.因此，k1.于是x2(yz)y2(zx)z2(xy)(xy)(yz)(zx)思路2：利用yz=(yx)(zx).例12分解因式：xy(x2y2)yz(y2z2)zx(z2x2)【解析】此式是關(guān)于x,y,z的四次齊次輪換式，注意到xy時(shí)，原式0,故xy是原式的一個(gè)因式.同理，yz,zx均是原式的因式，而(xy)(yz)(zx)是三次輪換式，故還應(yīng)有一個(gè)一次輪換式，設(shè)其為k(xyz),故原式k(xyz)(xy)(yz)(zx),展開(kāi)并比較系數(shù)可知，k1,故原式(xyz)(xy)(yz)(zx).思路

18、2：利用x2y2=(x2z2)+(z2y2).家庭作業(yè)練習(xí)1.分解因式：4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2原式4(x217x60)(x216x60)3x24(x216x60)x(x216x60)3x2222_24(x216x60)24x(x216x60)3x2222(x16x60)x2(x16x60)3x(2x231x120)(2x235x120)(2x15)(x8)(2x235x120)練習(xí)2.要使x1x3x4x8m為完全平方式，則常數(shù)m的值為【解析】x1x3x4x8m-2.-2_2_22_一.(x5x4)(x5x24)m(x5x)20(x5x)96m,則m196練習(xí)3.分解因式：

19、(x26x8)(x214x48)1222【解析】原式(x2)(x4)(x6)(x8)12(x10x16)(x10x24)12設(shè)tX2【備選2】分斛因式：xy(xy1)(xy3)2(xy-)(xy1)【解析】設(shè)xyu,xyv,原式=(u+v+1)(uv+1)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1).【備選3】分解因式：6x45x33x23x2【解析】原式的有理數(shù)根只可能為：1,2,1,1,2,110x16,貝U原式t(t8)12(t2)(t6)(x210x18)(x210x22)練習(xí)4.分解因式：(x2xyy2)24xy(x2y2)【解析】設(shè)x2y2a,xyb,則原式(ab)24ab(ab)2(x2練習(xí)5.分解因式：2x23361經(jīng)檢驗(yàn)1是一個(gè)根，所以2x1是原式的因式，進(jìn)而可得：2x25x2【解析】2x3x25x2(x2)(2x1)(x1)練習(xí)6.分解因式：x36x211x6【解析】x36x211x6(x1)(x25x6)(x1)(x2)(x3)練習(xí)7.用待定系數(shù)法分解：x6x45x33x23x2(2x1)(3x3x2x2)(2x1)(3x2)(x2x1)x32_3221【解析】原式的有理根只可能為1，但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為有理根，因而也沒(méi)有(有理系數(shù)的)一次因式.1 1)或x5x