1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案1 第一節(jié)第一節(jié) 靜矩和形心靜矩和形心一、靜矩一、靜矩(面積矩）定義：面積矩）定義： 微面積微面積dA對對z軸和軸和y軸的靜矩分別為軸的靜矩分別為 和和dAydAz 截面（面積截面（面積A)對對z軸和軸和y軸的靜矩分軸的靜矩分別為：別為：;AydAzS;AzdAyS 靜矩為代數(shù)值。靜矩為代數(shù)值。靜矩單位：靜矩單位：;33mmm 不同截面對同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同不同截面對同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。一截面對不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。 若截面形心坐標(biāo)為若截面形心坐標(biāo)為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等將面積視為平行力（即

2、看作等厚、均質(zhì)薄板的重力），由合力矩定理可得：厚、均質(zhì)薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 當(dāng)當(dāng)Sz=0或或Sy=0時，必有時，必有yc=0或或zc=0，可知可知截面對某軸的靜截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；矩為零時，該軸必通過截面形心；反之，反之，若某軸通過形心，若某軸通過形心，則截面對該軸的靜矩為零。則截面對該軸的靜矩為零。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案2 二、形心公式：二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、組合截面的靜矩：三、組合截面的靜矩：n個簡單圖形組成的截面，個簡單圖形組成的截面，其靜矩為：其靜矩為：;1nici

3、izyAS;1niciiyzAS四、組合截面形心公式：四、組合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例例5-1 求圖示求圖示T形截面形心位置。形截面形心位置。 解：取參考坐標(biāo)軸解：取參考坐標(biāo)軸y、z,由對稱圖形由對稱圖形,zc=0。 分解圖形為、兩個矩形，則分解圖形為、兩個矩形，則;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 0222121mymAmymA;36. 148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解為、三個矩形，則若分解為、三個矩形，則;16. 04 . 22 . 0252. 26

4、. 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案3 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，軸，過過II、III的形心且與的形心且與y軸垂直的軸線取軸垂直的軸線取為為x軸，則軸，則求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于對稱知：由于對稱知： xc=0目錄目錄材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案4求圖

5、示半徑為求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。 OCrxydAyCydy解：過圓心解：過圓心O作與作與x軸垂直的軸垂直的y軸，在距軸，在距x任意高度任意高度y處取一個與處取一個與x軸平行的窄條，軸平行的窄條，ydyrAd222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC目錄目錄材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案5第二節(jié) 慣性矩和慣性積一、極慣性矩：一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐與它到坐標(biāo)原點的距離標(biāo)原點的距離平方的乘積平方的乘積2

6、dA,稱為該面積稱為該面積dA對于坐標(biāo)原點對于坐標(biāo)原點o的極慣性矩。的極慣性矩。 截面對坐標(biāo)原點截面對坐標(biāo)原點o的極慣性矩為：的極慣性矩為：APdAI;2 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。 實心圓截面：實心圓截面：;3224202DdAIDP 空心圓截面：空心圓截面：)();1 (3244DdDIP 二、慣性矩：二、慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積定義：平面圖形中任一微面積dA對對z軸、軸、y軸的慣性矩分別為：軸的慣性矩分別為：y2dA和和Z2dA；則整個圖形（面積為則整個圖形（面積為A)對對z軸、軸、y軸的慣性矩分別為：軸的慣性矩分別為：;2A

7、zdAyI;2AydAzI材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案6 定義定義:平面圖形內(nèi)，微面積平面圖形內(nèi)，微面積dA與其兩個與其兩個坐標(biāo)坐標(biāo)z、y的乘積的乘積zydA在整個圖形內(nèi)的積分稱在整個圖形內(nèi)的積分稱為該圖形對為該圖形對z、y軸的慣性積。軸的慣性積。;AzydAyzI 特點：特點：慣性積是截面對某兩個正交慣性積是截面對某兩個正交坐標(biāo)軸而言。坐標(biāo)軸而言。不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數(shù)值。均不同。慣性積是代數(shù)值。 單位：單位：;,44mmm 若截面有一根為對稱軸若截面有一根為對稱軸,則該則該截面對包括此對

8、稱軸在截面對包括此對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。 慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。 慣性矩單位：慣性矩單位：m4或或mm4； 慣性矩恒為正值。慣性矩恒為正值。 簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計算。簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計算。三、慣性積：三、慣性積：材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案7 例5-2 求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=bdy,則：;1232/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hb

9、hdzzdAzIbbAy取微面積dA=hdz,則：例5-3 圓形截面對其形心軸的慣性矩。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=2zdy,則：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由對稱性：,222zy 由幾何關(guān)系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面積dA=dzdy，則：; 0zyI材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案8第三節(jié) 慣性矩和慣性積的平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積1.1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 設(shè)有面積為設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。的任意形狀的截面。C為其形心，為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)為

10、形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為的任意坐標(biāo)系為Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面元dA在兩坐標(biāo)系在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：下的坐標(biāo)關(guān)系為：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyx材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案9AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此為此為平行移軸公式平行移軸公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐標(biāo)值，有

11、時可能取負(fù)值。代表坐標(biāo)值，有時可能取負(fù)值。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案102.2.組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 根據(jù)根據(jù)慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積的定義易得的定義易得組合截面對于某組合截面對于某軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一等于其各組成部分對于同一軸的軸的慣性矩（或慣性積）慣性矩（或慣性積）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案11求圖示直徑為求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸的半

12、圓對其自身形心軸xc的的慣性矩。慣性矩。解：解：（1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo)222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案12（2）求對形心軸）求對形心軸xc的的慣性矩慣性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移軸公式得：平行移軸公式得： xyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案13試求圖試求圖a 所示截面對于對稱軸所示截面對于對稱軸x的的慣性矩。慣性矩。解：將截面看作一個矩形和解：將截面看作

13、一個矩形和兩個半圓組成。兩個半圓組成。（1）矩形對）矩形對x的的慣性矩：慣性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一個半圓對其自身形）一個半圓對其自身形心軸心軸xc的的慣性矩（見上例）慣性矩（見上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案14（3）一個半圓對）一個半圓對x的的慣性矩：慣性矩：由由平行移軸公式得：平行移軸公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整個截面對于對稱軸）整個截面對于對稱軸x的的慣性矩：慣性

14、矩：444421mm101227010346721053332xxxIII材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案15 第四節(jié) 主慣性軸和主慣性矩： 主慣性軸（主軸）使截面對zo、yo軸的慣性積 的這對正交坐標(biāo)軸；0ooyzI 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩； 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主主慣性軸之一，另一慣性軸之一，另一形心形心主慣性軸為通過形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。并與對稱軸垂直的軸。若若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形截

15、面有二根對稱軸，則此二軸即為形心心主慣性軸。主慣性軸。若若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。主慣性軸，且主慣性矩相等。幾個結(jié)論幾個結(jié)論材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案16303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面對形心軸的慣性矩形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：取參考坐標(biāo)系如圖，則：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy再求截面對形心軸的慣性矩：再求截面對形心軸的慣性矩：43311

16、5601230512530mmICy422212122212134530)()()()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移軸定理得：yCzyCzC材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案17求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解 ：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分； 二是用平行移軸定理等知識求。B 建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圓材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案18思考思考：O為直角三角形為直角三角形ABD斜邊上的中點，斜邊上

17、的中點，x、y軸為軸為過點過點且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案積和慣性矩有四種答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正確答案是正確答案是(C)xABDyOab材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案19思考：等腰直角三角形如圖所示，思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過斜邊中點軸是過斜邊中點的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中 為任意值），該圖形的為任意值），該圖形的: :(1)(1)慣性積慣性積Ixy (2)(2)慣性矩慣性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案20小小 結(jié)結(jié)一、靜矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性質(zhì)：截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、極慣性矩：實心圓截面： 空心圓截面：三、慣性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、慣性積：矩形截面： 圓形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI幾何關(guān)系：五、平行移軸公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz材材 料料