1、內容提要第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬第二節(jié) 大地電磁場矢量有限元模擬 第六章 電磁場數值模擬有限元法 討論二維大地電磁場的有限元模擬。大地電磁(MT)測深是一種以天然電磁場為場源， 探測地下電性垂向變化的勘探方法，在構造單元劃分、基底起伏形態(tài)研究、沉積盆地電性分層、油氣田探查、地熱探查和地震預報中，得到了廣泛的應用。 大地電磁反演是當前地球物理反演研究的熱門領域。正演是反演的基礎，而大地電磁的正演，目前只對一維分層均勻介質有解析解。求解一維連續(xù)介質、二維和三維介質的大地電磁場的解析解是十分困難的， 除少數簡單情況外， 一般都不能得到解析解。 在實際工作中，常常遇到二維和三維介質，這時，必須依靠

2、數值方法計算大地電磁場，最有效的數值方法是有限元法。 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 角頻率為（時間因子為i te）的定態(tài)電磁場的方程： （1） （2） 當平面電磁波入射地面時，地下介質中的電磁波總以平面波形式，幾乎垂直地向下傳播。將(1)和(2)式按分量展開，并考慮到0z ，得兩個獨立的方程組，并以 z 分量為準，分別命名為 E型和 H 型波。 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 =+ttBEEHE 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zE和zH應滿足的偏微分方程： 可統(tǒng)一表示成 對于 E 型： 對于 H 型： 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 為了求解方

3、程，還必須給出邊界條件。 外邊界條件 E 型波取圖所示的研究區(qū)域。上邊界 AB 離地面足夠遠，使異常場在 AB 上為零，以該處的u為 1 單位： 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zxy 外邊界條件 E 型波 下邊界 CD 以下為均質巖石，局部不均勻體的異常場在 CD 上為零，電磁波在 CD 以下的傳播方程為 （-y 方向傳播） ，0u是常數，2ki 。對低頻電磁波，ki。 對u求導ukuy。因為 CD 處yn，所以 CD 處的邊界條件： 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zxy 外邊界條件 E 型波 取左右邊界 AD, BC 離局部不均勻體足夠遠，電磁場在 AD，

4、BC 上左右對稱，其上的邊界條件是 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zxy 外邊界條件外邊界條件 H 型波取所示的研究區(qū)域。 上邊界 AB 直接取在地面上， 并以該處的 u 為 1 單位： 這是因為對大地電磁波來說，有1，有 所以，空氣中的zH近似為常量。這樣，可取地面的 u=1。其它條件同 E 波。 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zxy 內邊界條件 E 型波由于zE沿著介質分界面，根據電場切向分量連續(xù)性可知，在兩種介質的分界面1上，有 12uu 由圖，磁場的切向分量 根據介質分界面上磁場切向分量的連續(xù)性可知，介質兩側的1zEin是連續(xù)的，即 zEn n 與

5、x 的夾角為90，方向余弦為sin，n 與 y 的夾角為，方向余弦為cos，Ht 括號內為方向導數。 y1 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 內邊界條件 H 型波由于 Hz 沿著介質分界面， 根據磁場切向分量連續(xù)性可知，在兩種介質的分界面1上，有 12uu 由圖，電場切向分量 根據介質分界面上電場切向分量的連續(xù)性可知，介質兩側的1zHin是連續(xù)的，即 1 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 zHzxy綜合以上討論，邊值問題歸納為 2 1 1.1 邊值問題 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 1211112211220,nSnuuuu vdv uuvvudv u duvvud

6、v u dv uvvduvvudv udv uduvvuvdd AAAASAdV 為簡單起見， 假定在區(qū)域中只有一個不均勻體。 用滿足邊界條件 v=0（在 AB 上）的任意 v 乘微分方程兩側并積分 1.2 虛功原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 1111121211211211uu vduuvdvduvvudnnuuuvdvdvdnnnuvvuduvduvvudn 1.2 虛功原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 外法線方向相反110ABBCCDDACDuuu vdvduvvudnuuuuvdvdvdvdnnnnuvvuduvduvvudnvuuv d ,0,CDnA ddkuvd A 1.2

7、 虛功原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 與定解問題對應的由虛功原理得到的變分問題： 01,CDvuuv dkuvduAB 1.2 虛功原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 泛函變分的求法： 0J uJ uu 例 1：求泛函 120J uu dx的變分。 12001100022J uuudxuuu dxu udx 例 2：求泛函 1220J uuudx的變分。 12200J uuuuudx 1022,J uu uuu dxuu 1.3 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 求泛函的變分就是先求泛函對自變量的導數，然后再乘以自變量的變分。1.4 位能原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 121111

8、221122110nnuuuuudu uu uuu du u du uuu du u du u du uuu du udu udu uuu duun 1122ududu uuu dn 用 u 的變分 u 乘微分方程兩側并積分 vvv AAAnA dd A1.4 位能原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 1100CDCDuuuududu uuudnku udu uuudu uuudku ud 1.4 位能原理 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 222200111102222CDCDCDuuu u dku udu uu uu u dku udxxyyuuudku dxy 故由位能原理所得泛函可定義為 2

9、2211122201,CDF uuudku dF uuAB 為簡單起見，假定在區(qū)域中只有一個不均勻體。構造泛函 1.5 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 其變分為 1.5 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 的第二和四項為零。 1.5 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 是區(qū)域的外邊界，I是內邊界，12,n n分別是12, 的外法向，方向正好相反。根據內邊界條件， 有 即內邊界條件不出現(xiàn)在 I u的變分中，自動滿足。 1.5 變分問題 2 1 第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 因此 uI uudn 將下列邊界條件 代入得 1.5 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 所以，邊值問題 與下列

10、變分問題等價 1.5 變分問題第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 雙線性插值在求解二維大地電磁變分問題中的應用。用矩形單元對區(qū)域進行剖分，并給每個單元的電阻率賦值。矩形單元的寬度為 a，高度為 b。單元的四個節(jié)點的編號按規(guī)律編排。在單元內進行雙線性插值。將變分問題中的區(qū)域積分分解為各單元積分之和： 右側最后一項積分只對 CD 邊界上的單元進行。 1.6 有限元法第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 1234567891011122221111222Teeeeeuuuddxdyxy u K u 1eijKK 41iiiuN u， （iN為形函數，1114iiiN） 0,1 1,0 1 2 3 4 1.6 有限

11、元法第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 4jjiiijejjiieNNNNKdxxyyNNNNabd dxxyy 。 單元積分 2421224211242362124eabK。 1.6 有限元法第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 當單元的_12邊落在無窮遠邊界上時，線積分 其中3eijKK由下式給出 321001200000060000ekbK。 1.6 有限元法第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 1eK，2eK和3eK都是 4 階矩陣， 將其擴展成全體節(jié)點的矩陣1eK，2eK，3eK。然后將各單元的擴展矩陣相加，F(xiàn)（u）變成 其中123eeeCDKKKK是總體系數矩陣。 對 F（u）式求變分，得 由u的任意性，得 Ku0。 解線性代數方程組前，將 AB 線上的邊界值代入。u 代表各節(jié)點的zH或zE。至此，有限單元法求解 u 的過程全部結束。 用zH或zE可進一步求得視電阻率。 1.6 有限元法第一節(jié) 大地電磁場有限元模擬 第二節(jié) 大地電磁場矢量有限元模擬 eyl 1234通常的有限元法未知函數值取在節(jié)點上1234矢量有限元法未知函數值取