1、現(xiàn)代控制理論試題2選取狀態(tài)變量x1y ， x 2 y ，x 3 y ，可得?2 10xu, y 0 1 x1 系統(tǒng) x能控的狀態(tài)變量個數(shù)是cvcvx0 21B 卷及答案能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是 cvcvx2 試從高階微分方程y 3y 8 y 5u 求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程（ 4 分 /個）1 。狀態(tài)變量個數(shù)是 2 。? .解 1 能控的狀態(tài)變量個數(shù)是 2 ，能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是4 分）1 分）x1x2x2x3?. ?. ? . (1 分)x38x13x 35uyx1寫成0100x001x 0 u?. ?. ? . ( 1 分)8035y 1 0 0 x?.?. ?1 分）1 給出線性定常系

2、統(tǒng)x( k 1) Ax( k) Bu( k),y（k） Cx （k） 能控的定義3 分）2 已知系統(tǒng) x2 1 00 2 0 x, y 0 1 1 x ，判定該系統(tǒng)是否完 0 0 3全能觀？ （5 分）N 1) ，時系統(tǒng)從第解 1 答：若存在控制向量序列u (k ), u(k 1), , u(k0 ，其中 N 是大于k 步的狀態(tài) x(k) 開始，在第 N 步達到零狀態(tài)，即 x( N )0 的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第 k 步上是能控的。若對每一個 k，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。? .?分)2.CA 011003 ?. ?1 分)CA220230?. ?. (

3、1 分)rankUCACA2O23 ?分)n ，所以該系統(tǒng)不完全能觀 ?. ?分)三、已知系統(tǒng) 1 、2 的傳遞函數(shù)分別為ss2 3s 2 1g1 (s)g2( s)3s 2求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。8 分)g(s) g 1(s)g 1( s)s 1)(s 1)2) ( s 1)(s ( s?1)(s 2)s2 45 分)最小實現(xiàn)為?3 分）四、將下列狀態(tài)方程P1P2ACbCPb分）0 1 0x40 1xu,y 1 0 x12 x341 ux1化為能控標準形。Ab?. ?（8 分 ）?.1 分）? . ?分）?1 分）P1P2? . ?1 分）PAP 1010?分）分）00 ?分）五、利用

4、李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)10u ?的穩(wěn)定性。分）12 2I A2 3 ? .? ?11? . ?. （ 3 分）特征根 12i ? . ?. ?. （ 3 分）均具有負實部，系統(tǒng)在原點附近一致漸近穩(wěn)定?. ?. （ 2分）六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng)1 1x x 是否為大范圍2 3漸近穩(wěn)定：解8 分）p11 p12p12 p22AT PPAI ? .?分）2 p 11 4 p 12 1p112 p124 p 12 2p 22 06 p 22p11p22?分）3 ?8p125875p11p1248p12p225388P?分）7P11p11p12detp12p2274 det581764?

5、分）P 正定，因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的?（ 1 分）2s 1 1 (s 1)(s 2) s 七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為 G(s)2s 1 3 s(s 1)(s 2) s2 1判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換實現(xiàn)解耦控制。 ( 6 分)解：d1 0 d 2 02 分)0 ，E12 分)E1 0 非奇異，可實現(xiàn)解耦控制0 1分)p11 p12Pp12 p22給定系式為統(tǒng)的狀態(tài)空間表達1x01210y0 1 0 x，設計一個具有特征值為-1-1 ， -1 的全維狀態(tài)觀測器。( 8 分) 解：方法 112 E13I A EC01 E211E31E3( 2 2 1)E 2 3 3 2 3 13

6、 33E 2 2 E 1 E3 3 ( E 2 3) 2 (2 E 2 E3 6) 6 E 34E2 E 1-2又因為列方程) 3 3 23 1 1分6 E34E2E1 12E2E3 63 - 2分E23 3E12,k20, E 3 3 - 1分觀測器為1 0312x?0 11x?0u01 0113方法 2a2a11觀測器為E15,E23,TT2分E1 2, k 2 0, E 331 分a1y1 0 0A1O九解 A0 1 0，OA20 1 210A1 1, A212?10 分，每小題2 分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確（1分）AtAteA1t0A1tteee? . ?. ( 10eA

7、2t分）110( sIA2) 1s 10s 1? . ? . ( 1分）1s2111s 2s1 s2eA2 tL1sIA2 1t2 tet02t? . ?( 1 分)eeeet001eAt L1 sIA0t e0? . ? . ( 2分）0e2tete2tx(t)eAt x(0)001t e000?e2t?0e2tete2 t12 分）現(xiàn)代控制理論復習題 1的，則在其左邊的括號里打，反之打（ ） 1.由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。（ ） 2. 若一個對象的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也 一定是能控的。 ） 3. 對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，

8、則也一定是輸出能控的 （ ） 4. 對系統(tǒng) x Ax ，其 Lyapunov 意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣 A 的特征值都具有負實部 是一致的。 ） 5. 根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制問題設計的最優(yōu)控制系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。 s 3、（ 15 分）考慮由下式確定的系統(tǒng)：G（ s） 試求s2 3s 2能觀測標準形為對角標準形為其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準型、能控標準型的狀態(tài)變量圖。能觀標準型和對角線標準型，并畫出解： 能控標準形為x10 1x10ux22 3 x21x110 x11ux202 x 21x1x2三、（ 10 分）在線性控制系統(tǒng)的分析和設計中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣起著很重要的作用。對系統(tǒng)求其狀態(tài)轉移

9、矩陣。解：解法 1 。容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 A 的兩個特征值是1,，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A 可以對角化。矩陣 A 對應于特征值1, 2 2的特征向量是取變換矩陣T 1221，則 T1因此，從而，Attt112 10 T0e2te 2t2e2e t2t2e 2te 2t2e 2 t解法 2 。拉普拉斯方法由于( sI A)1s111s 312 s3adj( sIA)s3det(sIA)s(s 3)22s(s 1)( s1211122) (s1)( s2)s 1 s 2s 1 s2(s 1)( ss22122) (s1)( s(t ) eAt2)s 1 s 2s 1 s212te2e tA

10、) 11L 1 ( sI2e t2t2e 2te 2t2eeAta0 (t) Ia1 (t ) A解法 3 。凱萊 - 哈密爾頓方法將狀態(tài)轉移矩陣寫成系統(tǒng)矩陣的特征值是 -1t 2te t a0 (t) a 1 (t)e 2ta0 (t ) 2a解以上線性方程組，可得a0 (t) I因此， (t) e At A四、( 15 分)已知對象的狀態(tài)空間模型 x Ax和 -2故1 (t)t 2tt2ta0 (t)2e ea1 (t)eet e 2 te te 2ta1 (t )t 2e 2te t2e 2t2e2eu , yCx ,是完全能觀的，請畫出觀測器設計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設計

11、方法。解 觀測器設計的框圖：觀測器方程：x Ax Bu L( y Cx)( A LC )x Bu Ly其中： x 是觀測器的維狀態(tài)， L 是一個 n p 維的待定觀測器增益矩陣。觀測器設計方法：det I ( A LC ) det I ( A LC )T 由于 det I ( A T CT LT ) 因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得ATCT LT 具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。五、( 15 分)對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述 Lyapunov 穩(wěn)定性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應用 解 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理

12、：線性時不變系統(tǒng)x Ax 在平衡點 x e 0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程AT P PA Q 有惟一的對稱正定解P。在具體問題分析中，可以選取 Q= I考慮二階線性時不變系統(tǒng)：x10 1 x1x21 1 x2原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程ATP PA Ip11 p12 其中的未知對稱矩陣 Pp12 p22 將矩陣 A 和 P 的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得01 p1111 p12p12p11p22 p12p120p22 1進一步可得聯(lián)立方程組2 p 121p11 p12p222 p 122 p 22 1從上式解出p 1

13、1p11 p123 / 2 1/ 2Pp12 p221/ 2 1p12和 p 22，從而可得矩陣根據(jù)塞爾維斯特方法，可得202 det P故矩陣 P 是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn) 定的 六、( 10 分)已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是10G (s)(s 1)( s 2)試設計一個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 -1 j解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是將控制器 u系統(tǒng)狀態(tài)方程0 10xxu2 31y 100 x1 x代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中01xx2 k03k1k，得到閉環(huán)k0det(IAc )(3 k1 )( 2k0 )2(1j )(1 j )2222(3k1)(2 k0

14、)2 23k122 k02k11 k00x1u 012該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是期望的閉環(huán)特征方程是通過可得從上式可解出因此，要設計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是x2七、（ 10 分）證明：等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。證明 對狀態(tài)空間模型x Ax Bu y Cx Du它的等價狀態(tài)空間模型具有形式x A x Bu yC x D u其中：A TAT1B TB C CT1D DT 是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關系式，等價狀態(tài)空間模型 的能控性矩陣是c A, B BAB A n 1 B TB TAT1TB(TAT 1 ) n 1TB T B ABAn 1 BT c A, B由于矩陣 T 是非奇異

15、的，故矩陣c A, B ，和 c A, B具有相同的秩，從而等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。八、（ 15 分）在極點配置是控制系統(tǒng)設計中的一種有效方法，請問這種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不 利影響？如何解決？解： 極點配置可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時間、峰值時間、 振蕩幅度。極點配置也有一些負面的影響， 特別的，可能使得一個開環(huán)無靜差的 系統(tǒng)通過極點配置后， 其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差， 從而使得系統(tǒng)的穩(wěn) 態(tài)性能變差。改善的方法：針對階躍輸入的系統(tǒng)， 通過引進一個積分器來消除跟蹤誤差，其結構圖是構建增廣系統(tǒng)，通過極點配置方法來設計增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制而且避免了

16、穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動態(tài)性能，現(xiàn)代控制理論復習題 2一、（ 10 分，每小題 2 分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的 括號里打，反之打。（ ） 1.對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；（ ） 2. 由狀態(tài)轉移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進而決定系統(tǒng)的動態(tài)特 性；（ ） 3.若傳遞函數(shù) G（ s） C（ sI A） 1 B 存在零極相消，則對應的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；（ ） 4. 若一個系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn) 定的；（ ） 5.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。二、（ 20 分）已知系統(tǒng)的傳

17、遞函數(shù)為2s 5G（s）（s 3）（ s 5）1) 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖；2) 采用并聯(lián)分解方式， 給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖答: (1)將 G( s)寫成以下形式：G (s) 1 2s s 3 s這相當于兩個環(huán)節(jié)1 和 2s5 串連，s 5它們的狀態(tài)空間模型分別為：x13x12 5x2 u1y1x1y 5x2u1由于 y 1 u1 ，故可將其寫成矩陣向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：2)將 G( s)它可以看成是兩個環(huán)節(jié)模型分別為：和0.5 和 2.5 的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間 s 3 s 5由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)：進

18、一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖三、（ 20 分）試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的方法，并以一種方法和一個數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣；答：求解狀態(tài)轉移矩陣的方法有：方法一 直接計算法：根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的定義來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。方法二 通過線性變換計算狀態(tài)轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩陣 A 變換成對角矩陣或約當矩陣， 進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉移矩陣 方法三 拉普拉斯變換法： At1() 1 。e L sI A方法四 凱萊 - 哈密爾頓方法根據(jù)凱萊 - 哈密爾頓定理和，可導出eAt 具有以下形式：其中

19、的0 (t), 2 (t ),(t ) 均是時間 t的標量函數(shù)。根據(jù)矩陣 A 有 n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù) 舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。 由于四、（10 分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉 例說明之。答：狀態(tài)能觀性的含義： 狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀 態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一 段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)能觀的判別方法：對于 n 階系統(tǒng)C1. 若其能觀性矩陣 oCA 列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀CAn 12. 若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣非奇異，

20、則系統(tǒng)完全能觀。舉例：對于系統(tǒng)其能觀性矩陣的秩為 2 ，即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。五、（ 20 分）對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：（ 1 ） 能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？（ 2 ） 簡單敘述兩種極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計方法；（ 3 ） 試通過數(shù)值例子說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計。答：（ 1 ）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件：系統(tǒng)是能控的 （ 2 ）極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法 直接法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設計。設狀態(tài)反饋控制器 u =- Kx ，相應的閉環(huán)矩陣是 A- BK ，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項

21、式為由期望極點1, , n 可得期望的閉環(huán)特征多項式通過讓以上兩個特征多項式相等， 可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這 組線性方程可以求出極點配置狀態(tài)反饋的增益矩陣 K。 變換法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設計 將狀態(tài)空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態(tài)變換矩陣設期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是3) 采用直接法來說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計考慮以下系統(tǒng)個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為2- 和 - 3該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。設狀態(tài)反饋控制器將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方

22、程其特征多項式為由期望的閉環(huán)極點 -2 和- 3，可得閉環(huán)特征多項式通過可得由此方程組得到因此，要設計的極點配置狀態(tài)反饋控制器六、（ 20 分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 x Ax（ 1 ）試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？（ 2 ）試通過一個例子說明您給出的方法；（ 3 ）給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。答：1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 x Ax 是一個線性時不變系統(tǒng)， 根據(jù)線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理， 該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方T程 AT P PA Q 有一個對稱正定解矩陣 P 。因此，通過求解矩陣方程 A T P PA Q ，若能

23、得到一個對稱正定解矩陣 P ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q= I2）舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng)：原點是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程： ATP PA Q，其中的未知矩陣，則從以上矩陣方程可得：將矩陣 A 和 P 的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計算簡單，選取 Q =2I求解該線性方程組，可得：判斷可得矩陣 P 是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（ 3 ）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個動態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析 該系統(tǒng)運動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構造一個反映系統(tǒng)運動

24、過程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運動軌跡， 通過該能量函數(shù)關于時間導數(shù)的取 值來判斷系統(tǒng)能量在運動過程中是否減少，若該導數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時間的增長是減少的， 直至消耗殆盡， 表明在系 統(tǒng)運動上，就是系統(tǒng)運動逐步趨向平緩， 直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來， 這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性現(xiàn)代控制理論復習題 3一、（ 10 分，每小題 2 分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確 的，則在其左邊的括號里打，反之打。（ ） 1. 具有對角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看成是由多個一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)；（ ） 2. 要使得觀測器估計的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài)，觀測

25、器的極點應 該比系統(tǒng)極點快 10 倍以上；（ ）3.若傳遞函數(shù) G（ s）C（ sI A） 1 B 存在零極相消，則對應狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的； ） 4. 若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的； ） 5. 若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。二、（ 20 分）（ 1 ）如何由一個傳遞函數(shù)來給出其對應的狀態(tài)空間模型，試簡述其解決 思路？2s 5（2）給出一個二階傳遞函數(shù) G （s） 的兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)。 （s 3）（s 5）解：（ 1 ）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是G (s) 總可以轉化成若 b n 0 ，則通過長除

26、法，傳遞函數(shù)分解成等效的兩個特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)：可得一個狀態(tài)空間實現(xiàn)串聯(lián)法 其思想是將一個 n 階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)， 最后利用串聯(lián)關系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法 其的思路是把一個復雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然后對每個低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實現(xiàn)， 最后根據(jù)并聯(lián)關系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。( 2)方法一：將 G (s) 重新寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因為 y 1u1 ， 所以因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法二：將 G (s) 重新寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空

27、間模型分別為：又由于因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法三：將 G( s) 重新寫成下述形式：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：評分標準：問題（ 1 ）10 分，由一個傳遞函數(shù)轉換為狀態(tài)空間模型思 路清晰，方法正確 10 分；問題（ 2 ） 10 分，兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)方法各 5 分三、（ 20 分）（ 1 ）試問狀態(tài)轉移矩陣的意義是什么？（ 2 ）狀態(tài)轉移矩陣是否包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息？（ 3 ）介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的方法；4）計算系統(tǒng) x的狀態(tài)轉移矩陣2 3解：（ 1 ）狀態(tài)轉移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉移的作的狀態(tài) x到下一個狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀

28、態(tài) x0 在狀態(tài)轉移矩陣 （ t , t 0）用下， t 0 時刻的初始狀態(tài) x0 經(jīng)過時間 t - t 0后轉移到了時刻 t2）狀態(tài)轉移矩陣包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息；對于自治系統(tǒng)直接計算法3）拉普拉斯變換法、 凱萊 - 哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。方法根據(jù)定義，我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級數(shù)總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數(shù)的和來得到所要求的狀態(tài)轉移矩陣。方法二 線性變換法如果矩陣 A 是一個可對角化的矩陣，即存在一個非奇異矩陣T ，使得方法三拉普拉斯變換法方法四凱萊 - 哈密爾頓法其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當解一個線性方程組不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組

29、可得惟一解 0( t ),1 ( t ), n-1 ( t )1, 2, , n 互可得狀態(tài)轉移矩陣。4）方法一：線性變換法，容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是1,它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A 可以對角化。矩陣A對應與特征值2 2 的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于故方法二：凱萊 - 哈密爾頓法將狀態(tài)轉移矩陣寫成系統(tǒng)矩陣的特征值是 -1 和 -2 ，故解以上線性方程組，可得因此，5 分；問題（ 2 ）判斷正評分標準：每個問題 5 分。問題（ 1 ）狀態(tài)轉移矩陣的意義敘述完整 確 5 分；問題（ 3 ）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的方法 5 分；問題（ 3

30、 ）方法和結果正確 5 分。四、（ 20 分）（ 1 ）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義；2）給出能控性的判別條件，并通過一個例子來說明該判別條件的應用；（ 3 ）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉移到任意指定的狀態(tài)， 這一控制效果在實際中能實現(xiàn)嗎？為什么？ 解：（ 1 ）對一個能控的狀態(tài)，總存在一個控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀 態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時間后轉移到零狀態(tài)。 B AB是否行滿秩來判別線性時不變系統(tǒng)的能控性。 若能控性判別矩陣（2）通過檢驗能控性判別矩陣An 1B是行滿秩的， 則系統(tǒng)是能控的。試判別由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性系統(tǒng)的能控性判別矩陣由于即矩陣 c A

31、, B 不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。（ 3 ）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉移到任意指定的狀態(tài)，這一 控制效果在實際中難以實現(xiàn)， T 越小，則控制律的參數(shù)越大， 從而導致控制信號的幅值很大， 這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得在有限時間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗的能量 也很大。由于在實際過程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的 （如閥門的開度等），能量供應也 是有限制的。分，評分標準：問題（ 1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整 6 分；問題 （2） 能控性的判別條件 4 舉例 3 分；問題（ 3 ）判斷正確 3 分，原因分析正確 4 分。五、（ 20 分）（ 1

32、）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？2）已知被控對象的狀態(tài)空間模型為設計狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點為4 和 - 5。3）極點配置是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？解：（ 1 ）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。（ 2 ） 由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標準形， 因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)極 點是 - 4 和- 5 ，可得期望的閉環(huán)特征多項式是因此，所要設計的狀態(tài)反饋增益矩陣是相應的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是閉環(huán)傳遞函數(shù)是評分標準：問題（1 ）給出通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件6 分；問題（ 2 ）狀態(tài)反饋控制器設計方法正確 7 分

33、；問題（ 3 ）判斷正確 3 分，敘述克服方法 4 分六、（ 10 分）（ 1 ） 敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；2） 利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)x 的穩(wěn)定性。1解：1 ）連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng) x Ax 在平衡點 x e0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q ，存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣方程ATPPA Q成立。離散時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng)x(k 1) Ax(k) 在平衡點 x e 0 處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是： 對任意給定的對稱正定矩陣 Q，矩陣方程 AT PA P Q存在對稱

34、正定解矩陣 P 。(2)原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程ATPPA I其中的未知對稱矩陣將矩陣 A 和 P 的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得進一步將以上矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組應用線性方程組的求解方法，可從上式解出p 11 、 p12 和 p22，從而可得矩陣 P ：根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得故矩陣 P 是正定的因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。評分標準：問題（ 1 ）完整敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 5 分；問題（2）穩(wěn)定性判斷方法和結果正確5 分?，F(xiàn)代控制理論復習題 4一、（ 10 分，每小題 1 分）試判斷以下結論的正確性，

35、若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打。（ ） 1. 相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個顯著優(yōu)點是可以用時域法直接進 行系統(tǒng)的分析和設計。（ ） 2. 傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)不唯一的一個主要原因是狀態(tài)變量選取不唯一。（ ） 3. 狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組變量，因此都是具有物理意義（ ） 4. 輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個系統(tǒng)狀態(tài)能控意味著系統(tǒng)輸出能 控。（ ） 5.等價的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。（ ） 6.互為對偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。（ ） 7. 一個系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個，因此系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾 前所處的平衡位置無關。（

36、 ） 8. 若一線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng)的任意一個狀態(tài)出發(fā) 的狀態(tài)軌跡隨著時間的推移都將收斂到該平衡狀態(tài)。（ ） 9. 反饋控制可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能，但不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。（ ） 10. 如果一個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實不存在， 那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不 穩(wěn)定的。二、（ 15 分）建立一個合理的系統(tǒng)模型是進行系統(tǒng)分析和設計的基礎。 已知一單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的微分方程為：y（t） 4y（t） 3y（t ） u（t） 6u（t） 8u（t）（ 1 ）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖；（7 分n 階微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

37、3 分）試簡述由一個系統(tǒng)的（ 2 ）歸納總結上述的實現(xiàn)過程，的思路。（ 5 分）解：（ 1 ）方法一：由微分方程可得又因為 y1= u 1 ， 所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法二：由微分方程可得每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因為 y1= u 1 ， 所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：G（ s） 總可以轉化成對應的狀態(tài)變量圖為2）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是若 bn 0 ，則通過長除法，傳遞函數(shù)將傳遞函數(shù) c（ s）/ a（ s）分解成若干低階 （1 階） 傳遞函數(shù)的乘積，然后根據(jù)能控標準型或能觀標準型寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間

38、實現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。三、（ 10 分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣不僅包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設計中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣如下：(t)2e t 2e 2t2e2e t 4e 2 tte2t1）試給出對應自治系統(tǒng)的全部信息；（5 分）( 2 )試列舉狀態(tài)轉移矩陣的基本性質，并簡述其意義。(5 分)解：( 1 )一個自治系統(tǒng)的全部信息由其狀態(tài)矩陣 A 描述，可由狀態(tài)轉移矩陣 ( t ) 確定一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣 A。對任意的 t ，滿足 (t ) A (t ) ，而對等式 (t) A (t ) 取t =0 ，并利用 (0)=

39、 I ，則可得狀態(tài)矩陣 A2)狀態(tài)轉移矩陣的基本性質：(0) I ,(t ) A (t ) ，包含對應系統(tǒng)自由運動的全部信息；對任意的 t 和 s，滿足 ( t +s)=( t )( s) ，即利用狀態(tài)轉移矩陣可以從任意指定的初始時刻t 0的狀態(tài) x( t 0) 出發(fā)，以確定任意時刻 t 處的狀態(tài) x( t )，即可以由當前的狀態(tài)信息確定以前的狀態(tài)-1 對任意的 t ，滿足 ( t ) = (- t ) 信息。四、( 20 分)實際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對連續(xù)時間系統(tǒng)做離散化。那么請問( 1 )一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的

40、狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？( 2 分)0 11（2）以如下線性定常系統(tǒng)為例：的理由以支持你的觀點。（ 10 分）（3）令采樣周期 T= /2, 初始狀態(tài)xx1 00中離散化狀態(tài)空間模型在第解：（ 1 ）不一定uy 0 1 x說明你x1 (0)1x2 (0) 12 個采樣時刻轉移到原點。（為，求 u（ k） ，使得（8 分）2）2）連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標準形，故系統(tǒng)是能控的。將狀態(tài)方程離散化，設采樣周期為 T ，系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為根據(jù)， G(T ) eAT(T), H (T)TA e d 0可得到離散化狀態(tài)方程，此時因此，離散化狀態(tài)空間模型為則離散化系統(tǒng)的能控性矩陣為所以，當 sin2 T=2sin T ，即 T = k ( k=0,1,2, ?) 時，離散化系統(tǒng)是 不能控的；當 Tk ( k=0,1,2 ?) 時，離散化系統(tǒng)是能控的。同理， 離散化系統(tǒng)的能觀性矩陣為所以， sin T=0 ，即 T = k ( k=0,1,2,?) 時，離散化系統(tǒng)是不能觀的；當 T k ( k=0,1,2 ?) 時，離散化系統(tǒng)是能觀的。因此，一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期 T