1、會計學(xué)1數(shù)分?jǐn)?shù)分ch定積分定積分(jfn)在幾何學(xué)上的應(yīng)用資在幾何學(xué)上的應(yīng)用資料料第一頁，共49頁。1. 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)情形情形設(shè)曲線(qxin)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第1頁/共49頁第二頁，共49頁。22,xyxy在第一(dy)象限所圍所圍圖形(txng)的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( ,

2、 )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A第2頁/共49頁第三頁，共49頁。xxy22oy4 xyxy22與直線(zhxin)的面積(min j) . 解解: 由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A第3頁/共49頁第四頁，共49頁。abxoyx12222byax解解: 利用利用(lyng)對對稱性稱性 , xyAdd所圍圖形(txng)的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttb

3、ytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxd第4頁/共49頁第五頁，共49頁。oyxababoyx)()(tytx給出時, 按順時針方向(fngxing)規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形(txng)面積21d)()(tttttA)(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)第5頁/共49頁第六頁，共49頁。)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面(pngmin)圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2si

4、n42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2第6頁/共49頁第七頁，共49頁。,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線(qxin)(r及,射線圍成的曲邊扇形(shn xn)的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A 第7頁/共49頁第八頁，共49頁。對應(yīng)(duyng) 從 0 變解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點擊點擊(din j)圖片任意處圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停到 2 所圍圖

5、形面積 . 第8頁/共49頁第九頁，共49頁。ttadcos82042所圍圖形(txng)的面積(min j) . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a第9頁/共49頁第十頁，共49頁。2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a與圓所圍圖形(txng)的面積 . 解解: 利用利用(lyng)對稱對稱性性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 2第10頁/共49頁

6、第十一頁，共49頁。a2sin2a所圍圖形(txng)面積 . 解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積(min j)為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:第11頁/共49頁第十二頁，共49頁。定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線(zhxin)段的最大邊長 0 時,折線的長度(chngd)趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱(bn chn)

7、此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱第12頁/共49頁第十三頁，共49頁。sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(yun s)(弧微分) :xxxdxyd12因此(ync)所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第13頁/共49頁第十四頁，共49頁。)()()(ttytx弧長元素(yun s)(弧微分) :因此(ync)所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs第14頁/共49頁第十五頁，共49頁。)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此(y

8、nc)所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(yun s)(弧微分) :(自己驗證)第15頁/共49頁第十六頁，共49頁。)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(ch x2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂(xi chu)懸鏈線方程(fngchng)為第16頁/共49頁第十七頁，共49頁。ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12

9、202xxd2cos22200sin22222x4第17頁/共49頁第十八頁，共49頁。)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2第18頁/共49頁第十九頁，共49頁。d222aa相應(yīng)(xingyng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa第19頁/共49頁第二十頁，

10、共49頁。設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面(jimin)面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)(duyng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),第20頁/共49頁第二十一頁，共49頁。xyoabxyoab)(xfy 2)(xf軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)一周圍成的立體體積時,有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮(kol)連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy第21頁/共49頁第二十二頁，共49頁。ayxb12222byax所圍圖形(txng)繞 x

11、軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積(tj). 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x第22頁/共49頁第二十三頁，共49頁。tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑(bnjng)為a 的球體的體積.343a第23頁/共49頁第二十四頁，共49頁。xyoa2)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)而成的立體體

12、積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)而而成的體積為成的體積為xyVaxd202利用對稱利用對稱性性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令第24頁/共49頁第二十五頁，共49頁。xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意(zh y)上下限 !2023dsin)sin(tttta3

13、36a注注)(1yxx 第25頁/共49頁第二十六頁，共49頁。分部(fn b)積分對稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用(lyng)“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第26頁/共49頁第二十七頁，共49頁。a2柱殼體積(tj)xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積(min j)xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第27頁/共49

14、頁第二十八頁，共49頁。偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a第28頁/共49頁第二十九頁，共49頁。軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 時為連續(xù)(linx)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周(y zhu)所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明(zhngmng):. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVtd)()

15、(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故第29頁/共49頁第三十頁，共49頁。并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程(fngchng)為垂直于x 軸 的截面(jimin)是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyx第30頁/共49頁第三十一頁，共49頁。oRxy此時(c sh)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示(biosh)體積

16、?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22第31頁/共49頁第三十二頁，共49頁。abzxyco垂直 x 軸的截面(jimin)是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所圍立體(lt)(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22bc20abca34特別當(dāng) a = b = c 時就是球體體積 .)(axaaV02x233axx的體積.第32頁/共49頁第三十三頁，共49頁。ox1 2yBC3A132xy與 x 軸圍成的封閉(fngb)圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)(x

17、unzhun)得的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122第33頁/共49頁第三十四頁，共49頁。xyoab設(shè)平面光滑(gung hu)曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分(jfn)后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(1

18、2xyoab)(xfy abx第34頁/共49頁第三十五頁，共49頁。xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積(min j)元素xyd2sdxdxyd2因為的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)(cnsh)方程)()()(ttytx給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)一周所得旋轉(zhuǎn)(xunzhun)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S側(cè)面積為第35頁/共49頁第三十六頁，共49頁。xRyo上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周(y zhu)所得的球臺的側(cè)面積 S .解解: 對曲線對曲線(qxin)弧弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122x

19、Rxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式24RS1x2xozyx第36頁/共49頁第三十七頁，共49頁。一周(y zhu)所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun) taytax33sin,cos第37頁/共49頁第三十八頁，共49頁。taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線(bi xin)的一種.t點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始播放開始(k

20、ish)或暫停或暫停大圓(d yun)半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)第38頁/共49頁第三十九頁，共49頁。1. 平面圖形(txng)的面積邊界(binji)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A第39頁/共49頁第四十頁，共49頁。baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積(tj)2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)

21、面積(min j)sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 第40頁/共49頁第四十一頁，共49頁。1.用定積分(jfn)表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示提示(tsh): 交點為交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 第41頁/共49頁第四十二頁，共49頁。)()

22、(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓(bnyun)為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積(tj) :提示提示:方法方法1 利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .第42頁/共49頁第四十三頁，共49頁。RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說明說明(shumng): 上式可變形為上式可變形為2RVb2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種(y zhn)取法(如圖所示). dd2bRV第43頁/共49頁第四十四頁，共49頁。oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用(lyng)對稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種(y zhn)取法. 第44頁/共49頁第四十五頁，共49頁。解：解：1. 求曲線求曲線(qxin)所圍圖形(txng)的面積