1、李志俊2014. 11計算機控制系統(tǒng)研究生課程媒體教學授課教師：授課教師： 李志俊李志俊15327240668 e-Maile-Mail：j QQ:460254218 QQ:460254218李志俊2014. 117 現(xiàn)代控制技術(shù) 在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)模型來設(shè)計和分析單輸入單輸出系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)模型只能反映出系統(tǒng)的輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系，而不能了解系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)空間模型來設(shè)計和分析多輸入多輸出系統(tǒng)，便于計算機求解，同時也為多變量系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。 7.1 狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計法7.2 狀態(tài)空間的極點配置設(shè)計法

2、7.3 離散狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計法李志俊2014. 11線性定常系統(tǒng)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為： 式中，x(t)是n維狀態(tài)向量； u(t)是r維控制向量； y(t)是n維輸出向量； A是nxn維狀態(tài)矩陣； B是r維控制矩陣； C是mxn維輸出矩陣。采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計法的目的是：利用狀態(tài)空間表達式，設(shè)計出數(shù)字控制器D(z)，使多變量計算機控制系統(tǒng)滿足所需要的性能指標。) 1 . 1 . 7()()()()()()()(00tCxtytxtxtButAxtxtt7.1 采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計法李志俊2014. 11 在控制器D(z)的作用下，系統(tǒng)輸出y(t)經(jīng)過N次采樣(N拍)后，跟蹤參

3、考輸入函數(shù)r(t)的瞬變響應時間為最小，這就是系統(tǒng)的性能指標。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)形式如圖7-1所示。 假設(shè)參考輸入函數(shù)r(t)是m維階躍函數(shù)向量，即)2 . 1 . 7()( 1)( 1)(002010trrrtrtrTm 先找出在D(z)的作用下，輸出是最少N拍跟蹤輸入的條件。設(shè)計是，應首先把被控對象離散化，用離散狀態(tài)空間方程表示被控對象。7.1 采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計法李志俊2014. 117.1 采用狀態(tài)空間的輸出反饋設(shè)計法7.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化李志俊2014. 11 在u(t)的作用下，式(7.1.1)的解為)3.1.7()()()(00)(00)(tttAttAdBuet

4、xetx 是被控對象的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，x(t0)是初始狀態(tài)向量。若已知被控對象的前面有一零階保持器，即 u(t)=u(k),kTt(k+1)T (7.1.4)其中，T為采樣周期，現(xiàn)在要求將連續(xù)被控對象模型連同零階保持器一起進行離散化。)(0ttAe7.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化李志俊2014. 11 在式(7.1.3)中，令t0=kT,t=(k+1)T,同時考慮到零階保持器的作用，則式(7.1.3)變?yōu)?若令t=kT+T-z,則上式化為)5 .1 .7()()()1()1()(TkkTTkTAAtdkBuekxekx)7 .1 .7(,)6 .1 .7()()()()()1(0TAtATdtB

5、eGeFkCxkykGukFxkx 式(7.1.6)即為(7.1.1)的離散狀態(tài)方程，由此可見離散化的關(guān)鍵是求式(7.1.7)中的F和G 。7.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化李志俊2014. 11關(guān)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法： 2. Cayley-Hamilton法法 3. 拉普拉斯法拉普拉斯法 1. 直接法直接法 4. 變換變換A為對角矩陣為對角矩陣 5. 變換變換A為約當型矩陣為約當型矩陣 6. 變換變換A為模式矩陣為模式矩陣7.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化李志俊2014. 11 由(7.1.1)的輸出方程可知，y(t)以最少N拍跟蹤參考輸入r(t)，必須滿足條件)8 .1 .7()()(0rNC

6、xNy 但按此條件設(shè)計的系統(tǒng)是有紋波系統(tǒng)，為設(shè)計無紋波系統(tǒng)，還必須滿足條件)9 .1 .7(0)(Nx 這是因為在NTt(N+1)T的間隔內(nèi)，控制信號u(t)=u(N)為常向量，由(7.1.1)知,當 時，則在NTt(N+1)T的間隔內(nèi)x(t)=x(N),而且不改變即若使tNT時的控制信號滿足0)(Nx )10. 1 . 7()(),()(NTtNutu7.1.2 最少拍無紋波系統(tǒng)的跟蹤條件李志俊2014. 11此時，x(t)=x(N)且保持不變，使條件(7.1.8)對tNT時始終滿足下式 式(7.1.8)確定的跟蹤條件為m個，式(7.1.9)確定的附加條件為n個，為滿足式(7.1.8)和 (

7、7.1.9)組成的(m+n)個跟蹤條件，(N+1)個r維的控制向量u(0),u(1), ,u(N)必須至少提供(m+n)個控制參數(shù)，即)11.1 .7()( ,)()()(0NTtrNCxtCxty)12.1 .7()()1(nmN最少拍數(shù)N應取滿足式(7.1.12)的最小整數(shù)。7.1.2 最少拍無紋波系統(tǒng)的跟蹤條件李志俊2014. 111.將連續(xù)狀態(tài)方程進行離散化 2.求滿足跟蹤和附加條件的控制序列的z變換U(z) 被控對象的離散狀態(tài)方程式(7.1.6)的解為101)13.1.7()()0()(kjjkkjGuFxFkx 對于由(7.1.1)給出的被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程，用采樣周期T對其進行

8、離散化，通過計算式(7.1.7),可求得離散狀態(tài)方程式(7.1.6). 被控對象在N步控制信號u(0)u(1) u(N-1)作用下的狀態(tài)為101)()0()(NjjNNjGuFxFNx7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11 假定系統(tǒng)的初始條件x(0)=0,則有 用分塊矩陣形式來表示，得到根據(jù)條件式(7.1.8)有101)14.1.7()()(NjjNjGuFNx1010)()()(NjjNjGuCFNCxNyr)15.1.5()1()2()1()0()(211010 NuNuuuCGCFGGCFGCFjGuCFrNNNjjN)15.1.7()1()2()1()0()(211

9、010NuNuuuCGCFGGCFGCFjGuCFrNNNjjN7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11再由條件(7.1.9)和(7.1.1)知 或?qū)⑹?7.1.14)代入上式，得0)()()(NBuNAxNx 0)()(101NBujGuAFNjjN)16.1.7(0)()1()1()0(21NuNuuuBAGAFGGAFGAFNN7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11由式(7.1.15)和(7.1.16)可以組成確定(N+1)個控制序列u(0)u(1) u(N)的統(tǒng)一方程組為 當k=N時，控制信號應滿足 u(k)=u(N)=P(N)r0(kN) 這樣就

10、求得了控制序列u(k),其Z變換為設(shè)方程(7.1.17)有解，并設(shè)解為)18.1.7(), 1 ,0()()(0NjrjPju)17.1 .7(0)()1()1 ()0(002121rNuNuuuBAGAFGGAFGAFCGCFGGCFGCFNNNN)19.1.7(1)()()()(00110kNNkkkrzzNPzkPzkuzU7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 113.求誤差序列e(k)的Z變換E(z)設(shè)x(0)=0,將(7.1.13)代入上式得1010)()(kjjkjGuCFrke誤差向量為則e(k)的Z變換為)()()()(0kCxrkykrke0101)()(rj

11、GPCFIkekjjk再將(7.1.18)代入上式，則NkNkkkkkzkezkezkezE)()()()(1007.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11 式中 ，因為滿足跟蹤條件式(7.1.8)和附加條件式7.1.9)，即當kN時，誤差信號應消失，因此0)(Nkkzke)20.1.7()()()(01010110kNkkjjkNkzrjGPCFIzkezEk4.求控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)根據(jù)式(7.1.19)和(7.1.20)可求得D(z)為)21.1.7()()()(zEzUzD7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11例7.1設(shè)二階單輸入單輸出系統(tǒng)，

12、其狀態(tài)方程為采樣周期T=1秒，試設(shè)計最少拍無紋波控制器D(Z).10,01,0101)()()()()(CBAtCxtytButAxtx其中，求解過程求解過程7.1.3 輸出反饋設(shè)計法的設(shè)計步驟李志俊2014. 11 在計算機控制系統(tǒng)中，除了使用輸出反饋控制外，還較多地使用狀態(tài)反饋控制，因為由狀態(tài)輸入就可以完全地確定系統(tǒng)的未來行為。圖7-2給出了計算機控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)。在7.1.1節(jié)中，討論了連續(xù)被控對象同零階保持器一起進行離散化的問題，同時忽略數(shù)字控制器的量化效應，則圖7-2可以簡化為圖7-3所示的離散系統(tǒng)。7.2 采用狀態(tài)空間的極點配置設(shè)計法李志俊2014. 11 下面按離散系統(tǒng)的情況來

13、討論控制器的設(shè)計。本節(jié)討論利用狀態(tài)反饋的極點配置方法來進行設(shè)計控制規(guī)律，首先討論調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)的情況，然后討論跟蹤系統(tǒng)，即如何引入外界參考輸入r(k)。按極點配置設(shè)計的控制器通常有兩部分組成。一部分是狀態(tài)觀測器，它根據(jù)所量測到的輸出量y(k) 重構(gòu)出全部狀態(tài) ,另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的全部狀態(tài)。圖7-4給出了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的情況（即r(k)=0)。)( kx7.2 采用狀態(tài)空間的極點配置設(shè)計法李志俊2014. 117.2 采用狀態(tài)空間的極點配置設(shè)計法7.2.1 按極點配置設(shè)計控制規(guī)律7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計態(tài)空間的極點配置設(shè)計法李志俊2014. 11 為了按極點配置設(shè)計控制規(guī)律

14、，暫設(shè)控制規(guī)律反饋的是實際對象的全部狀態(tài)，而不是重構(gòu)的狀態(tài)，如圖7-5所示。設(shè)連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程為)1.2.7()()()()(tCxtytButAxx 由7.1.1節(jié)知，相應的離散狀態(tài)方程為)3.2.7()2.2.7()()()()()1(0TAtATdtBeGeFkCxkykGukFxkx7.2.1 按極點配置設(shè)計控制規(guī)律李志俊2014. 11 若圖7-5中的控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋，即)4 .2 .7()()(kLxku則要設(shè)計出反饋控制規(guī)律L，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所需要的極點配置。將式(7.2.4)代入式(7.2.2)得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)5 . 2 . 7()()() 1(kxGL

15、Fkx顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為)6 . 2 . 7(0GLFzI設(shè)給定所需要的閉環(huán)系統(tǒng)的極點為zi(i=1,2,n),則很容易求得所要求的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為)7 .2 .7()()()(1111nnnnzzzzzzzzz7.2.1 按極點配置設(shè)計控制規(guī)律李志俊2014. 11由式(7.2.6)和式(7.2.7)可知，反饋控制規(guī)律應滿足如下的方程)8.2.7()( zGLFzI 將上式的行列式展開，并比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，則一共可得到n個代數(shù)方程。對于單輸入的情況，L中未知元素的個數(shù)與方程的個數(shù)相等，因此一般情況下可獲得L的唯一解。而對于多輸入的情況，僅根據(jù)式(7.2.8)并不能完全確定

16、L，設(shè)計計算比較復雜，這時需同時附加其他的限制條件才能完全確定L。本節(jié)只討論單輸入的情況?？梢宰C明，對于任意的極點配置，L具有唯一解的充分必要條件是被控對象完全能控，即)9 . 2 . 7(1nGFFGGrankn7.2.1 按極點配置設(shè)計控制規(guī)律李志俊2014. 11 這個結(jié)論的物理意義也是很明顯的，只有當系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，才能通過適當?shù)臓顟B(tài)反饋控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在任意指定的位置。由于人們對于S平面中的極點分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系比較熟悉，因此可首先根據(jù)相應連續(xù)系統(tǒng)性能指標的要求來給定S平面中的極點，然后再根據(jù) 的關(guān)系求得Z平面中的極點分布，其中T為采樣周期。 Tsiiez 例

17、7.2 被控對象 , 采樣周期T為0.1s，采用零階保持器。要求閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應相當于阻尼系數(shù)為0.5，無阻尼自然振蕩頻率3.6的二階連續(xù)系統(tǒng)，用極點配置方法設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律L，并求u(k).21)(ssG求解過程求解過程7.2.1 按極點配置設(shè)計控制規(guī)律李志俊2014. 11 例7.3被控對象設(shè)計反饋控制器u=-Lx，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為u12=-2j23，u3=10。求解過程求解過程7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器)3)(2)(1(1)(ssssG李志俊2014. 11常用的狀態(tài)觀測器有三種：預報觀測器、現(xiàn)時觀測器和降階觀測器。1、預報觀測器 常用的觀測器方程為)12. 2 . 7(

18、)( )()()( ) 1( kxCxykkGukxFkx7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器 其結(jié)構(gòu)如圖7-6所示。 設(shè)計觀測器的關(guān)鍵在于如何合理地選擇觀測器的增益矩陣K，定義狀態(tài)重構(gòu)誤差為)13. 2 . 7(xxx)()14. 2 . 7()( )()( )()()( )()() 1( ) 1() 1(kxKCFkxkxKCFkxCkCxKkGukxFkGukFxkxkxkx李志俊2014. 11 因此，如果選擇K使系統(tǒng)(7.2.14)漸進穩(wěn)定，那么重構(gòu)誤差必定回收斂到零，即使系統(tǒng)式(7.2.2)是不穩(wěn)定的，在重構(gòu)中引入觀測量反饋，也能使誤差趨于零。式(7.2.14)稱為觀測器的誤差動態(tài)

19、方程，該式表明，可以通過選擇K，使狀態(tài)重構(gòu)誤差動態(tài)方程的極點配置在期望的位置上。 如果出現(xiàn)觀測器期望的極點zi(I=1,2,n),那么求得觀測器期望的特征方程為 )15.2.7()()()(11121nnnnnzzzzzzzzzz由式(7.2.14)可得觀測器的特征方程為)16.2.7(0KCFzI7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，由式(7.2.15)和式(7.2.16)可得)17. 2 . 7()(KCFzIz 對于單輸入單輸出系統(tǒng)，通過比較式(7.2.17)兩邊z的同冪次系數(shù)，可求得K中n個未知數(shù)。對于任意的極點配置，K具有唯一解的充分必

20、要條件是系統(tǒng)完全能觀，即)18.2.7(1nCFCFCrankn7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11 2、現(xiàn)時觀測器)19.2 .7()1()1()1()1( )()( )1(kxCkyKkxkxkGukxFkx 當(k+1)T時刻的狀態(tài)重構(gòu)x(k+1)用到了現(xiàn)時刻的量測量y(k+1)，因此式(7.2.19)稱為現(xiàn)時觀測器。7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器由式(7.2.2)和(7.2.19)可得狀態(tài)重構(gòu)誤差為)20. 2 . 7()()1() 1() 1()()() 1( ) 1() 1(kxKCFFkxCkCxKkxkGukFxkxkxkx李志俊2014. 11從而

21、求得現(xiàn)時觀測器狀態(tài)重構(gòu)誤差的特征方程為)21.2.7(0KCFFzI同樣，為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，可由下式確定K的值)22. 2 . 7()(KCFFzIz系統(tǒng)必須完全能觀時才能求得唯一的K。7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器預報和現(xiàn)時觀測器都是根據(jù)輸出量重構(gòu)全部狀態(tài)，即觀測器的階數(shù)等于狀態(tài)的個數(shù)，因此稱為全階觀測器。李志俊2014. 11 3、降階觀測器 實際系統(tǒng)中，所能量測到的y(k)中，已直接給出了一部分狀態(tài)變量這部分狀態(tài)變量不必通過估計獲得。因此只要估計其余的狀態(tài)變量就可以了，這種階數(shù)低于全階的觀測器稱為降階觀測器。 將原狀態(tài)變量分成兩部分，即)23.2.7()()()(kxkx

22、kxba 其中，xa(k)是能夠量測到的部分狀態(tài)， xb(k)是需要重構(gòu)的部分狀態(tài)。由此，原被控對象的狀態(tài)方程(7.2.2)可以分塊寫成7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器)24. 2 . 7()()()() 1() 1(kuGGkxkxFFFFkxkxbababbbaabaaba李志俊2014. 11將上式展開并寫成)25.2.7()()()()1()()()()1(kxFkuGkxFkxkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb比較式(7.2.25)與式(7.2.2)，可得如下的關(guān)系abaaaaabababbbFCkuGkxFkxkykuGkxFkGuFFkxkx)()()1(

23、)()()()()()()25.2.7()2.2.7(式式7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11 參考預報觀測器方程式(7.2.12),可以寫出相應于式(7.2.25)的觀測器方程為)26. 2 . 7()()()() 1()()()() 1(kxFkuGkxFkxKkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb上式便是根據(jù)已量測到的狀態(tài)xa(k),重構(gòu)其余狀態(tài)xb(k)的觀測器方程。由于xb(k)的階數(shù)低于x(k)的階數(shù)，所以稱為降階觀測器。由式(7.2.25)和式(7.2.26)可的狀態(tài)重構(gòu)誤差為)()()27. 2 . 7()()()() 1() 1() 1(

24、kxKFFkxkxKFFkxkxkxbabbbbbabbbbbb7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11從而求得降階觀測器狀態(tài)重構(gòu)誤差的特征方程為)28.2.7(0abbbKFFzI同理，為了獲得期望的狀態(tài)重構(gòu)性能，由式(7.2.15)和式(7.2.28)可得)29.2.7()(abbbKFFzIz 觀測器的增益矩陣K可由上式求得。若給定降階觀測器的極點，也即(z)為已知，如果仍只考慮單輸出(即xa(k)的維數(shù)為1)的情況，根據(jù)式(7.2.29)即可解得增益矩陣K。這里對于任意給定的極點，K具有唯一解的充分必要條件也是系統(tǒng)完全能觀，即式(7.2.18)成立。7.2.2 按極點

25、配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11 例7.4設(shè)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為)30.2.7()()()()()(tCxtytButAxtx 其中01,10,0010CBA采樣周期T=0.1s，要求確定K。 1)設(shè)計預報觀測器，并將觀測器特征方程的兩個極點配置在z1,2=0.2處。 2)設(shè)計現(xiàn)時觀測器，并將觀測器特征方程的兩個極點配置在z1,2=0.2處。 3)假定x1是能夠量測的狀態(tài)，x2是需要估計的狀態(tài)，設(shè)計降階觀測器， 并將觀測器特征方程的極點配置在z1,2=0.2處。求解過程求解過程7.2.2 按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器李志俊2014. 11 前面分別討論了按極點配置設(shè)計的控制規(guī)律和狀態(tài)觀

26、測器，這兩部分組成了狀態(tài)反饋控制器，如圖7-4所示的調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0的情況)。 1、控制器的組成 設(shè)被控對象的離散狀態(tài)方程為)39.2.7()()()()()1(kCxkykGukFxkx 設(shè)控制器由預報觀測器和狀態(tài)反饋控制規(guī)律組合而成，即)40. 2 . 7()( )()( )()()( ) 1( kxLkukxCxykkGukxFkx7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 2、分離性原理由式(7.2.39)和(7.2.40)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(圖7-4)的狀態(tài)方程可寫成)41.2.7()()()()1()()()1(kxKCGLFkKCxkxkxGLkFxkx將上式改寫成

27、)42.2 .7()( )()1( )1(kxkxKCGLFKCGLFkxkx7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器 由此可見，式(7.2.42)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的2n個極點由兩部分組成：一部分是按狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)計所給定的n個控制極點；另一部分是按狀態(tài)觀測器設(shè)計的n個觀測器極點，這就是“分離性原理”。李志俊2014. 11由上式構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為0)()(0)(zzKCFzIGLFzIKCFzIGLGLFzIKCGLFzIGLFzIGLGLFzIKCGLFzIKCGLFzIKCGLFKCGLFzIz 即)43.2 .7(0)()()(zzz7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014.

28、11 3、狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計步驟綜上可歸納出采用狀態(tài)反饋的極點配置的步驟如下： 1) 按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求給定幾個控制極點； 2) 按極點配置設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律，計算L； 3) 合理地給定觀測器的極點，并選擇觀測器的類型，計算觀測器 增益矩陣K； 4) 最后根據(jù)所設(shè)計的控制規(guī)律和觀測器，由計算機來實現(xiàn)。7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 4、觀測器及觀測器類型選擇 采用狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計，控制極點是按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來設(shè)置的，因而控制極點成為整個系統(tǒng)的主導極點。觀測器極點的設(shè)置應使狀態(tài)重構(gòu)具有較快的跟蹤速度。v 如果量測輸出中無大的誤差或噪聲，則可考慮觀測器極點都設(shè)

29、置在Z平面的原點。v 如果量測輸出中含有較大的誤差或噪聲，則可考慮按觀測器極點所對應的衰減速度比控制極點對應的衰減速度快約4或5倍的要求來設(shè)置。7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 117.2.3 按極點配置設(shè)計控制器觀測器的類型選擇應考慮以下兩點：1)如果控制器的計算延時與采樣周期處于同一數(shù)量級，則可考慮選用預報觀測器，否則可選用現(xiàn)時觀測器。 2)如果量測輸出比較準確，而且它是系統(tǒng)的一個狀態(tài)，則可考慮選用降階觀測器，否則可選用全階觀測器。李志俊2014. 11 例7.5 在例7.2中的系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為)(1 .0005.0)(101 .01)1(kukxkx并知系統(tǒng)是能控的。

30、系統(tǒng)的輸出方程為)(01)(kxky 系統(tǒng)的采樣周期為0.1s，試設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，以使控制極點配置在z1=0.6,z2=0.8，使觀測器(預報觀測器)的極點配置在z1=0.9+j0.1,z2=0.9-j0.1處。7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 前面討論了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的設(shè)計，即在圖7-4中r(k)=0的情況。在調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，控制的目的在于有效地克服干擾的影響，使系統(tǒng)維持在平衡狀態(tài)。不失一般性，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可取為零狀態(tài)，假設(shè)干擾為隨機干擾，且相鄰脈沖干擾之間的間隔大于系統(tǒng)的響應時間。當出現(xiàn)脈沖干擾時，它將引起系統(tǒng)偏離零狀態(tài)。當脈沖干擾撤除后，系統(tǒng)將從偏離的狀態(tài)逐漸回到零狀態(tài)

31、。 然而,對于階躍型或常值干擾,前面所設(shè)計的控制器不一定使系統(tǒng)具有滿意的性能.按照前面的設(shè)計,其控制規(guī)律為狀態(tài)的比例反饋，因此若在干擾加入點的前面不存在積分作用,則對于常值干擾,系統(tǒng)的輸出將存在穩(wěn)態(tài)誤差?？朔€(wěn)態(tài)誤差的一個有效方法是加入積分控制。下面研究如何按極點配置設(shè)計PI(比例積分)控制器，以克服常值干擾所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 設(shè)被控對象的離散狀態(tài)方程為)44.2.7()()()()()()1(kCxkykvkGukFxkx 其中v(k)為階躍干擾，當k1時，v(k)=0,則)45. 2 . 7() 1() 1(1),()() 1(kxCk

32、ykkuGkxFkx將上式改寫成)46. 2 . 7()()() 1(1),()()() 1(kuGkxFkxkkuCGkxCFkyky令)47. 2 . 7 (0)()()(GCGGFCFIFkxkykm7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 則有)48. 2 . 7()()() 1(kuGkmFkm 仍然利用按極點配置設(shè)計控制規(guī)律的算法，針對式(7.2.48)設(shè)計如下的狀態(tài)反饋控制規(guī)律)49.2 .7()()()()(21kxLkyLkLmku 對式(7.2.49)兩邊作求和運算得)51.2 .7()()()(211kxLiyLkuki 顯然，上式u(k)由兩部分組成：前項

33、代表積分控制，由于假設(shè)r(k)=0，平衡狀態(tài)又取為零狀態(tài)，所以上式是輸出量的積分控制；后項代表狀態(tài)的比例控制，并要求全部狀態(tài)直接反饋。式(7.2.51)稱為按極點配置設(shè)計的PI控制規(guī)律。圖7-7所示為采用PI控制規(guī)律的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。)50.2.7(21LLL 其中7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 下面說明為什么這樣的控制規(guī)律能夠抑制階躍型干擾而無穩(wěn)態(tài)誤差。將式(7.2.49)代入式(7.2.48)得)52.2.7()()()1(kmLGFkm 矩陣(F-GL)的特征值即為給定的閉環(huán)極點，顯然它們都應在單位元內(nèi)，也即式(7.2.52)所示的閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。從而對于任何初

34、始條件均有)53.2.7(0)(limkmk 由于y(k)是m(k)的一個狀態(tài)，顯然也應有)54.2.7(0)(limkyk 上式表明，盡管存在常值干擾v(k)，輸出的穩(wěn)態(tài)值終將回到零，也即不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖7-7,PI控制規(guī)律要求全部狀態(tài)直接反饋，實際上是不現(xiàn)實的。因此可通過觀測器重構(gòu)狀態(tài)，然后再線性反饋，如圖7-8所示。7.2.3 按極點配置設(shè)計控制器李志俊2014. 11 為了消除常值干擾所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，我們討論了調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)的PI控制規(guī)律設(shè)計(如圖7-7,這里暫時不考慮觀測器)。在圖7-7的基礎(chǔ)上，我們可以很容易地畫出引入?yún)⒖驾斎霑r相應的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-9所示。

35、根據(jù)圖7-9可得控制規(guī)律為)55.2 .7()()()(201kxLieLkuki 其中L1和L2仍按極點配置方法進行設(shè)計，如式(7.2.49).對于這樣的控制規(guī)律，在常值參考輸入以及在常值干擾作用下均不存在穩(wěn)態(tài)誤差，下面來說明這一點。7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計李志俊2014. 11根據(jù)迭加原理，可分別考慮以下兩種情況： r(k)=0,v(k)=常數(shù)；r(k)=常數(shù),v(k)=0。 對于圖7-9即化簡為圖7-7，前面已說明圖7-7的控制規(guī)律對常值干擾不存在穩(wěn)態(tài)誤差。對于即只考慮常值參考輸入的情況，系統(tǒng)可描述為)59.2.7()()()58.2.7()()()()57.2.7()()()56.2.

36、7()()()1(012kieeieLkukxLkukukCxkykGukFxkx7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計李志俊2014. 11將式(7.2.58)代入(7.2.56)可得)61. 2 . 7()()()()60. 2 . 7()()()() 1(122eeGuGLFIxkGukxGLFkx由式(7.2.57)得)62. 2 . 7()()()()(12eGuGLFICCxy 按極點配置法設(shè)計的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，所以當r(k)=常數(shù)時一定有y()=常數(shù)。ue()是誤差e(k)=r(k)-y(k)的積分，所以一定有e()=0即y()=r()，也就是說，對于常值參考輸入，系統(tǒng)2的穩(wěn)態(tài)誤差等于零

37、。7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計李志俊2014. 11 為了進一步提高系統(tǒng)的無靜差度，還可引入?yún)⒖驾斎雛(k)的順饋控制，如圖7-10所示。 圖7-10比圖7-9多了一個輸入順饋通道，控制規(guī)律中的其它參數(shù)L1和L2仍用和以前一樣的方法進行設(shè)計。剩下的問題是如何確定順饋增益系數(shù)L3。仿照和前面式(7.2.62)的推導不難求得當r(k)為常數(shù)時)63.2 .7()()()()(12eruuGGLFICy 穩(wěn)態(tài)時有y()=r(),同時希望在上式中ue()=0以提高系統(tǒng)的無靜差度，因此得到)64.2.7()()()()(312rLGGLFICrur7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計李志俊2014. 11從而得)65.

38、2.7()(1123GGLFICL 在圖7-10中，仍然要求全部狀態(tài)直接反饋，這在生產(chǎn)實際中幾乎是不可能的。因此可仿照與前面類似的方法，通過構(gòu)造觀測器來獲得狀態(tài)重構(gòu)x(k),然后再反饋x(k)。包含觀測器及積分的控制器如圖7-11所示。在圖7.11中，可根據(jù)需要選用前面討論過的任何一種形式的觀測器。7.2.4 跟蹤系統(tǒng)設(shè)計李志俊2014. 11 前面我們用極點配置法解決了系統(tǒng)的綜合問題，其主要設(shè)計參前面我們用極點配置法解決了系統(tǒng)的綜合問題，其主要設(shè)計參數(shù)是閉環(huán)極點的位置，而且僅限于說明單輸入單輸出系統(tǒng)中。這兒數(shù)是閉環(huán)極點的位置，而且僅限于說明單輸入單輸出系統(tǒng)中。這兒討論更一般的控制問題。假設(shè)過

39、程對象是線性的，且可以是時變的討論更一般的控制問題。假設(shè)過程對象是線性的，且可以是時變的并有多個輸入和多個輸出，另外在模型中還加入了過程噪聲和量測并有多個輸入和多個輸出，另外在模型中還加入了過程噪聲和量測噪聲。若性能指標是狀態(tài)和控制信號的二次型函數(shù)，則綜合問題被噪聲。若性能指標是狀態(tài)和控制信號的二次型函數(shù)，則綜合問題被形式化為使此性能指標為最小的問題，由此可得到的最優(yōu)控制器是形式化為使此性能指標為最小的問題，由此可得到的最優(yōu)控制器是線性的，這樣的問題稱為線性二次型線性的，這樣的問題稱為線性二次型LQ(Linear Quadratic)LQ(Linear Quadratic)控制問控制問題。如果

40、在過程模型中考慮了高斯隨機擾動，則稱為線性二次型高題。如果在過程模型中考慮了高斯隨機擾動，則稱為線性二次型高斯斯LQG(Linear Quadratic Gaussian)LQG(Linear Quadratic Gaussian)控制問題?？刂茊栴}。7.3 采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計法李志俊2014. 11 我們首先討論在所有狀態(tài)都可用的條件下導出了我們首先討論在所有狀態(tài)都可用的條件下導出了LQLQ問題的最優(yōu)問題的最優(yōu)控制規(guī)律，如果全部狀態(tài)是不可測的，就必須估計出它們，這可用控制規(guī)律，如果全部狀態(tài)是不可測的，就必須估計出它們，這可用狀態(tài)觀測器來完成。然后對隨機擾動過程，可以求出使估計誤差的狀態(tài)

41、觀測器來完成。然后對隨機擾動過程，可以求出使估計誤差的方差為最小的最優(yōu)估計器，它稱為卡爾曼方差為最小的最優(yōu)估計器，它稱為卡爾曼(Kalman)(Kalman)濾波器。這種估濾波器。這種估計器的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)觀測器相同，但其增益矩陣計器的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)觀測器相同，但其增益矩陣K K的確定方法是不同的確定方法是不同的，而且它一般為時變的。最后根據(jù)分離性原理來求解的，而且它一般為時變的。最后根據(jù)分離性原理來求解LQGLQG問題的問題的最優(yōu)控制，并采用卡爾曼濾波器來估計狀態(tài)。采用最優(yōu)控制，并采用卡爾曼濾波器來估計狀態(tài)。采用LQGLQG最優(yōu)控制器最優(yōu)控制器的調(diào)節(jié)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)(r(k)=0)如圖

42、7.12所示。7.3 采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設(shè)計法李志俊2014. 11 現(xiàn)在來求解完全狀態(tài)信息情況下的現(xiàn)在來求解完全狀態(tài)信息情況下的LQLQ最優(yōu)控制問題。其最最優(yōu)控制問題。其最優(yōu)控制器由離散動態(tài)規(guī)劃來確定。優(yōu)控制器由離散動態(tài)規(guī)劃來確定。)1 .3 .7()()()0(),()()(tCxtyxtButAxtx給定7.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計1.1.問題的描述問題的描述 首先考慮確定性問題首先考慮確定性問題, ,即無過程干擾即無過程干擾Vc(t)Vc(t)和量測噪聲和量測噪聲w(t)w(t)的情況。設(shè)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為的情況。設(shè)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為且連續(xù)的被控對象和離散控制器之間采用

43、零階保持器連接，即且連續(xù)的被控對象和離散控制器之間采用零階保持器連接，即)2 .3 .7()()(kutu其中：其中：T T為采樣周期。為采樣周期。李志俊2014. 11將連續(xù)狀態(tài)方程離散化得將連續(xù)狀態(tài)方程離散化得)3 .3 .7()()()()()1(kCxkykGukFxkx7.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計系統(tǒng)控制的目的是按線性二次型性能指標函數(shù)系統(tǒng)控制的目的是按線性二次型性能指標函數(shù))5 . 3 . 7()()()()()()(2010dttuQtutxQtxNTxQNTxJTNTTT其中其中)4 .3 .7(0TAtATdtBeGeF為最小，來設(shè)計離散的最優(yōu)控制器為最小，來設(shè)計離散的最優(yōu)

44、控制器L L，使，使李志俊2014. 11其中，加權(quán)矩陣其中，加權(quán)矩陣Q0Q0和和/Q1/Q1為非負定對稱矩陣，為非負定對稱矩陣，/Q2/Q2為正定對為正定對稱矩陣，稱矩陣，N N為正整數(shù)。為正整數(shù)。7.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計)6 .3 .7()()(kLxku 公式公式(7.3.5)(7.3.5)即為即為LQLQ最優(yōu)控制器。帶最優(yōu)控制器。帶LQLQ最優(yōu)控制器調(diào)最優(yōu)控制器調(diào)節(jié)系統(tǒng)節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)(r(k)=0)如圖如圖7.137.13所示。所示。 當當N N為最小正整數(shù)時，稱為最少拍時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問為最小正整數(shù)時，稱為最少拍時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題。實際上應用最多的是要求題。實際上應用最多

45、的是要求N=N=，設(shè)計無限時間最優(yōu)調(diào)，設(shè)計無限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器，計算節(jié)器，計算L(k)L(k)的穩(wěn)態(tài)解。的穩(wěn)態(tài)解。李志俊2014. 117.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計2.2.二次型性能指標函數(shù)的離散化二次型性能指標函數(shù)的離散化 二次型性能指標函數(shù)式二次型性能指標函數(shù)式(7.3.5)(7.3.5)是以連續(xù)時間形式表是以連續(xù)時間形式表示的，并可進一步表示為示的，并可進一步表示為)7 . 3 . 7()()()(100NkTkJNTxQNTxJ)8 . 3 . 7()()()()()(2)1(1dttuQtutxQtxkJTTkkTT而且而且 由式由式(7.3.1)(7.3.1)、(7.3.2)(7.

46、3.2)，當，當kTt(k+1)TkTt(k+1)T時可求得時可求得)9 . 3 . 7()()()()()()()()()(tkTtAkTtAtkTtAkTtAkBudekxedBuekxetx李志俊2014. 117.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計)13. 3 . 7()()()12. 3 . 7()()()11. 3 . 7()(20010200112011TQBdtdeQdeBQBdtdeQeQdteQeQTtAtTATTtATAtTAtTAt)10. 3 . 7()()()()(2)()()(2121kuQkukuQkxkxQkxkJTTT其中其中將式將式(7.3.9)(7.3.9)、(

47、7.3.2)(7.3.2)，代入式，代入式(7.3.8)(7.3.8)，并整理可得，并整理可得將式將式(7.3.10) (7.3.10) 代入式代入式(7.3.7)(7.3.7)得到等效的離散二次型性能得到等效的離散二次型性能指標函數(shù)為指標函數(shù)為)14. 3 . 7()()()()(2)()()()()(1021210NkTTTTkuQkukuQkxkxQkxNxQNxkJ李志俊2014. 117.3.1 LQ最優(yōu)控制器設(shè)計2.2.最優(yōu)控制規(guī)律計算最優(yōu)控制規(guī)律計算 對式對式(7.3.3)(7.3.3)所示的離散被控對象，若使式所示的離散被控對象，若使式(7.3.14)(7.3.14)所示的離散

48、二次型性能指標函數(shù)為最小，則式所示的離散二次型性能指標函數(shù)為最小，則式(7.3.6)(7.3.6)所所示的離散控制規(guī)律示的離散控制規(guī)律L L的遞推公式為的遞推公式為)16.3 .7()1()1()()15.3 .7()()()(1212TTTQFkSGGkSGQkLkxkLku)19. 3 . 7()0()0()0()18. 3 . 7()()17. 3 . 7()()(1)()()()1()()(min012122xSxJQNSkLQQkLQkLQkLkGLFkSkGLFkSTTTTT李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計 全部狀態(tài)全用于反饋。這在實際上是難于做到的，因全部狀態(tài)

49、全用于反饋。這在實際上是難于做到的，因為有些狀態(tài)是無法量測的，即使量測到的信號中還可能含為有些狀態(tài)是無法量測的，即使量測到的信號中還可能含有量測噪聲，下面討論狀態(tài)最優(yōu)估計。有量測噪聲，下面討論狀態(tài)最優(yōu)估計。 設(shè)連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程設(shè)連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程( (如圖如圖7.127.12所示所示) )為為)22.3 .7()()()(, 0)()21.3 .7()()()(, 0)(tWwtEwtEwtVvtEvtEvTcTccc其中，其中，VcVc為非負定對稱矩陣，為非負定對稱矩陣，W W為正定對稱矩陣，并假設(shè)為正定對稱矩陣，并假設(shè)v vc c(t)(t)和和w(t)w(t)互不相關(guān)?；ゲ幌嚓P(guān)

50、。李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計1.1.連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程的離散化連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程的離散化 為了設(shè)計離散的為了設(shè)計離散的KalmanKalman濾波器，可首先將式濾波器，可首先將式(7.3.20)(7.3.20)所示的連續(xù)模型進行離散化，從而采樣系統(tǒng)的所示的連續(xù)模型進行離散化，從而采樣系統(tǒng)的KalmanKalman濾波濾波問題便轉(zhuǎn)化為相應的離散系統(tǒng)的設(shè)計問題。問題便轉(zhuǎn)化為相應的離散系統(tǒng)的設(shè)計問題。)23. 3 . 7()()()()(000)()(0)(dvedBuetxetxctttAtttAttA)24. 3 . 7() 1()()(TktkTkTutu方程

51、方程(7.3.20)(7.3.20)的解可寫為的解可寫為這里也假定在連續(xù)的被控對象前有一零階保持器，因而有這里也假定在連續(xù)的被控對象前有一零階保持器，因而有李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計)25. 3 . 7()()()() 1(00dttTkTvedtkBuekxekxcTAtTAtAT)26. 3 . 7()()(kwCxkky其中其中T T為采樣周期，令為采樣周期，令t t0 0=kT,t=(k+1)T,=kT,t=(k+1)T,則式則式(7.3.23)(7.3.23)變?yōu)樽優(yōu)檫M一步將系統(tǒng)的量測方程離散化為進一步將系統(tǒng)的量測方程離散化為則則(7.3.20)(7.3.2

52、0)所對應的離散方程為所對應的離散方程為)28. 3 . 7()()()27. 3 . 7()()()()()()() 1(00TcAtdTAtATddttTkTvekvdtBeGeFkwkCxkykvkGukFxkx李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計2.Kalman2.Kalman濾波公式的推導濾波公式的推導 在方程在方程(7.3.27)(7.3.27)中，由于存在隨機的干擾中，由于存在隨機的干擾v vd d(k)(k)和隨和隨機的測量噪聲機的測量噪聲w(k)w(k)。因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量。因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)x(k)也為隨機向也為隨機向量。其中量。其中y(k)y(k)

53、是能夠量測的輸出量。問題是根據(jù)量測量是能夠量測的輸出量。問題是根據(jù)量測量y(k)y(k)估計估計x(k)x(k)，若記，若記x(k)x(k)的估計量為的估計量為x(k),x(k),則則)29. 3 . 7()( )()(kxkxkx)30. 3 . 7()()()(kxkxEkPT為狀態(tài)估計誤差，因而為狀態(tài)估計誤差，因而為狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差陣。顯然，為狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差陣。顯然，P(k)P(k)為對稱非負定矩為對稱非負定矩陣。根據(jù)最優(yōu)估計理論，最小方差估計為陣。根據(jù)最優(yōu)估計理論，最小方差估計為)31. 3 . 7(),1(),(| )()( kykykxEkx李志俊2014. 117.3.

54、2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計 最后將所有的最后將所有的KalmanKalman濾波遞推公式歸納如下濾波遞推公式歸納如下)32. 3 . 7() 1() 1( ) 1|( kGukxFkkx)34. 3 . 7() 1|() 1|()(1WCkkCPCkkPkKTT)36. 3 . 7()()()()1|()()(kWKkKCkKIkkPCkKIkPTT)33. 3 . 7()1|( )()() 1|( )( kkxCkykKkkxkx x(0) x(0)和和P(0)P(0)給定，給定，k=1,2,3,k=1,2,3, 從上面的遞推公式可以看出，若從上面的遞推公式可以看出，若KalmanKalman濾

55、波增益矩陣濾波增益矩陣K(k)K(k)已知，由已知，由(7.3.32)(7.3.32)、(7.3.33)(7.3.33)便可依次計算狀態(tài)最優(yōu)便可依次計算狀態(tài)最優(yōu)估計，因此必須先計算出估計，因此必須先計算出K(k)K(k)李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計3.Kalman3.Kalman濾波增益矩陣的計算濾波增益矩陣的計算 K(k) K(k)可以直接根據(jù)式可以直接根據(jù)式(7.3.34)(7.3.34)(7.3.36)(7.3.36)的遞推公式的遞推公式進行計算，下面給出迭代計算的流程：進行計算，下面給出迭代計算的流程：給定參數(shù)給定參數(shù)F,C,V,W,P(0)F,C,V,W,P(

56、0)，給定迭代步數(shù)，給定迭代步數(shù)N N，并置，并置k=1;k=1;按式按式(7.3.35)(7.3.35)計算計算P(k|k-1);P(k|k-1);按式按式(7.3.36)(7.3.36)計算計算P(k);P(k);按式按式(7.3.34)(7.3.34)計算計算K(k);K(k);如果如果k=Nk=N，轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn); ;k=k+1k=k+1，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn); ;輸出輸出K(k)K(k)和和P(k)P(k)，k=1,2,3,k=1,2,3,N.N.李志俊2014. 117.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計 在上述迭代過程中，當在上述迭代過程中，當k k逐漸增加時，逐漸增加時，K(k)K(k)和和

57、P(k)P(k)將趨于穩(wěn)態(tài)值。而且只要初始將趨于穩(wěn)態(tài)值。而且只要初始P(0)P(0)是非負定對是非負定對稱矩陣，則稱矩陣，則K(k)K(k)和和P(k)P(k)的穩(wěn)態(tài)值將與的穩(wěn)態(tài)值將與P(0)P(0)無關(guān)。因無關(guān)。因此，如果只需要計算此，如果只需要計算K(k)K(k)的穩(wěn)態(tài)值，則可取的穩(wěn)態(tài)值，則可取P(0)=0P(0)=0或或P(0)=IP(0)=I。李志俊2014. 117.3.3 LQG最優(yōu)控制器設(shè)計 由由LQLQ最優(yōu)控制器和狀態(tài)最優(yōu)估計兩部分，就組成了最優(yōu)控制器和狀態(tài)最優(yōu)估計兩部分，就組成了LQGLQG最優(yōu)控制器。設(shè)連續(xù)被控對象即式最優(yōu)控制器。設(shè)連續(xù)被控對象即式(7.3.20)(7.3.

58、20)的離散狀的離散狀態(tài)方程即式態(tài)方程即式(7.3.27)(7.3.27)為為由狀態(tài)最優(yōu)估計器和由狀態(tài)最優(yōu)估計器和LQLQ最優(yōu)控制器組成的最優(yōu)控制器組成的LQGLQG的方程為的方程為)37. 3 . 7()()()()()()() 1(kwkCxkykvkGukFxkxd)38. 3 . 7()( )()1|( )() 1|( )( ) 1() 1( ) 1|( kxLkukkxCkyKkkxkxkGukxFkkx李志俊2014. 117.3.3 LQG最優(yōu)控制器設(shè)計 顯然，設(shè)計顯然，設(shè)計LQGLQG最優(yōu)控制器的關(guān)鍵是按分離性原理分最優(yōu)控制器的關(guān)鍵是按分離性原理分別計算別計算KalmanKal

59、man濾波器增益矩陣濾波器增益矩陣K K和最優(yōu)控制器和最優(yōu)控制器L L。圖圖7.127.12給給出了采用出了采用LQGLQG最優(yōu)控制器的系統(tǒng)框圖。最優(yōu)控制器的系統(tǒng)框圖。 為了計算為了計算LQGLQG最優(yōu)控制器最優(yōu)控制器, ,首先按式首先按式(7.3.34)(7.3.34)(7.3.36)(7.3.36)迭代計算迭代計算K(k)K(k)，直至趨于穩(wěn)態(tài)值，直至趨于穩(wěn)態(tài)值K K為止；然后按為止；然后按(7.3.16)(7.3.16) (7.3.18)(7.3.18)迭代計算迭代計算L(k)L(k)直至趨于穩(wěn)態(tài)值直至趨于穩(wěn)態(tài)值L L為止。為止。)37. 3 . 7()()()()()()() 1(kw

60、kCxkykvkGukFxkxd李志俊2014. 117.3.3 LQG最優(yōu)控制器設(shè)計 閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能取決于最優(yōu)控制器，而最閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能取決于最優(yōu)控制器，而最優(yōu)控制器的設(shè)計又依賴于被控對象的模型優(yōu)控制器的設(shè)計又依賴于被控對象的模型( (矩陣矩陣A,B,C)A,B,C)、干擾模型、干擾模型( (協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣V,W)V,W)和二次型性能指和二次型性能指標函數(shù)中加權(quán)矩陣標函數(shù)中加權(quán)矩陣(Q0,/Q1,/Q2)(Q0,/Q1,/Q2)的選取。被控對象的選取。被控對象的模型可通過機理分析、實驗方法和系統(tǒng)辨識方法的模型可通過機理分析、實驗方法和系統(tǒng)辨識方法來獲取。來獲取。KalmanKa