1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)(四) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 腳本編寫：孟益民 教案制作：孟益民第四章 數(shù)字特征理解數(shù)學(xué)期望概念，掌握它的性質(zhì)與計(jì)算。理解方差概念，掌握它的性質(zhì)與計(jì)算。掌握（01）分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，正態(tài)正態(tài)分布，指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。掌握協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念及計(jì)算。了解矩、協(xié)方差矩陣的概念。 通常求出隨機(jī)變量的分布并不是一件容易的事, 而人們更關(guān)心的是用一些數(shù)值來反映隨機(jī)變量在某個(gè)方面的特征, 這些數(shù)值常稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征. 最常用的數(shù)字特征為數(shù)學(xué)期望、 方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù). 例如, 在評(píng)價(jià)某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí), 通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量

2、;又如, 在評(píng)價(jià)一批棉花的質(zhì)量時(shí), 既要注意纖維的平均長(zhǎng)度, 又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度之間的偏離程度, 等等.實(shí)際上,描述隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義, 它們能更直接、更簡(jiǎn)潔更清晰和更實(shí)用地反映出隨機(jī)變量的本質(zhì). r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 r.v.取值平均偏離均值的情況 方差方差 描述兩 r.v.間的某種關(guān)系的數(shù) 協(xié)方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望是任何一個(gè)隨機(jī)變量的最重要的也被最廣泛使用的數(shù)學(xué)特征, 英文是

3、expectation, 另一種叫法為均值(everage value)它的實(shí)際意義就是平均值. 但屬于一種更為嚴(yán)格的平均值.先看一個(gè)例子，其情況如下表：與記為環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量，分別擊，擊中在相同的情況下進(jìn)行射有甲乙兩個(gè)射手，他們YX 技術(shù)較好？試問：甲乙兩射手誰(shuí)的環(huán)，共擊中次擊中環(huán)，有擊中次環(huán)，有次擊中次大約有分布可以看出：甲射擊概率次，由他們擊中環(huán)數(shù)的設(shè)甲、乙射手各射擊1060910830100100 . 9306010109308環(huán)解解6 . 0 1 . 0 0.3 10 9 8 概率擊中環(huán)數(shù)甲射手X0.3 5 . 0 2 . 0 10 9 8 概率擊中環(huán)數(shù)乙射手Y.和能值與相應(yīng)概率乘積的

4、量取的一切可性數(shù)值，恰好是隨機(jī)變到的“平均”意義的特環(huán)數(shù)）取里反映隨機(jī)變量（擊中同時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)，這水平乙射手的射擊手的射擊水平要略高于從上式可以看出，甲射環(huán)數(shù)約為這樣，甲平均可能擊中. 3 . 96 . 0101 . 093 . 0810060101001091003081006010109308環(huán)擊中同理，乙射手平均可能環(huán) 1 . 93 . 0105 . 092 . 081 1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 PX=xk=pk, k=1,2,.若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,則稱此級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).即kkkpx(1)1kkkpxE(X)1.kkkXp

5、x的數(shù)學(xué)期望不存在發(fā)散時(shí)，則稱當(dāng)級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望, 又稱為均值.分布10分布，其分布律為服從設(shè)10X.1 , 0,11kppkXPkk由定義有 .110pppXE例1 .XE求解解二項(xiàng)分布其分布律為設(shè),pnBX., 2 , 1 , 0,1,nkpqqpCkXPknkkn knknknkknkknqpknknkqpkCXE10!10111!1!11 !1!1niininkknkknknnkiqpininnqpnpqpnpqpCnpnniiniin11011例2 .XE求解解泊松分布的泊松分布，分布律為服從參數(shù)為設(shè)X, 1 , 0, 0 !kkekXPk.!0eeieii例3 .XE求 0!k

6、kekkXE11!1kkek解解常見常見 r.v. 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望分布分布期望期望概率分布概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為 f(x), 若積分 絕對(duì)收斂,則稱此積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X). 即xxxfd)(2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義定義2 2(2)xf(x)dxE(X) 則率密度為為連續(xù)型隨機(jī)變量，概設(shè)xfX xxfdxxfxxXxPxxx 于是有下面的定義，變量分布律中的，它相

7、當(dāng)于離散型隨機(jī)即的概率為取值集中于成是充分小時(shí)，可以近似看當(dāng) kpdxxfxxfxXx均勻分布密度為服從均勻分布，其概率在設(shè)baX, 其它, 0;,1bxaabxf .XE求 2badxabxdxxxfXEba例4解解例5正態(tài)分布，其概率密度為，設(shè)2NX ,21222xexf .XE求 txdxexXEx令 21222解解dttedtett2222221dtett222分布分布期望期望概率密度概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexf常見常見 r.v. 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 連續(xù)型隨機(jī)

8、變量的概率密度為 其它0)0,(10)(akxkxxa又知E=0.75, 求k 和a的值。 1)(dxx111)(|10110akxakdxkxdxxaa例6由性質(zhì)即 k=a+1 （1） 解解又知 75022102101.akxakdxkx(x)dxxE|aa得 k=0.75a+1.5 (2)由(1)與(2)解得 0.25a=0.5, 即 a=2, k=3 二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)

9、變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的分布求的分布求 得得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，的分布，一般是比較復(fù)雜的一般是比較復(fù)雜的 . .設(shè)Y 是隨機(jī)變量X 的函數(shù), Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))則有絕對(duì)收斂, g(x)f(x)dx(2) X是連續(xù)型, 概率密度為f(x). 若)(.g(x)f(x

10、)dxEg(X)E(Y)5則有絕對(duì)收斂,若1kkk)pg(x)(.)pg(xEg(X)E(Y)kkk41(1) X是離散型, 分布律為PX=xk=pk, k=1,2,., 定理定理 連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: : 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), , 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. . 這給求隨機(jī)這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便變量函數(shù)的期望帶來很大方便. .例7的概率分布如下：設(shè)隨機(jī)變量X .,2YEXY求的概率分布如下：首先求出2XY

11、學(xué)期望定義得出由離散型隨機(jī)變量的數(shù) 8 . 27 . 043 . 00YE0.3 0.3 0.4 2 0 2 P-X解法解法1 10.7 0.3 4 0 PY因此，由定理得為且取這些值的概率依次. 3 . 0 , 3 . 0 , 4 . 0 3 . 023 . 004 . 02gggXgEYE8 . 22 . 16 . 13 . 023 . 004 . 02222解法解法2 2，的可能取值為利用定理，因 2 0 2X .12 的概率分布求函數(shù)的概率分布，而不必去在于只需利用已知的簡(jiǎn)便之處，公式，它比解法直接利用了函數(shù)的期望解法xgYX例8 .,sin0YEXYX求上服從均勻分布，在設(shè)的概率密度

12、為X ., 00 ,1其它xxf 21sinsin0dxxdxxxfYE則解解設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布, 即具有概率密度.,a,v,af(v)其它001又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù), W=kV2(k0, 常數(shù)), 求W的數(shù)學(xué)期望.由定理有.kadvakvf(v)dvkvE(W)a2022311例9解解.312ka力為即飛機(jī)機(jī)翼平均受到壓 例如, 設(shè)Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù)), 若(X,Y)的概率密度為f(x,y) , 則有(6) , y)dxdyg(x,y)f(x,Eg(X,Y)E(Z) 這里設(shè)上面的積分絕對(duì)收斂. 上面定理還可推廣到兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù).又若(X,Y

13、)為離散型隨機(jī)變量, PX=xi,Y=yj=pij, i ，j = 1,2,., 則有(7) jiijji)p,yg(xEg(X,Y)E(Z)這里設(shè)上式的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例10的概率分布為，設(shè)YX. 2YXE求 式得由故而，對(duì)應(yīng)的概率依次為可能取值為12. 1, 11 , 1, 00 , 1, 01 , 0, 00 , 0,81214181,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 0,2ggggYXYXgYX 811 , 1210 , 1411 , 0810 , 02ggggYXE8181121041081081 41 1 21 81 0 1 0 XY解解例11.20 , 10的期望求上服從

14、均勻分布，在矩形域，設(shè)XYZyxYX的概率密度為YX,., 0; 20 , 10 ,21,其它yxyxf 式得由 62121102010 xdxydyxdx解解dxdyyxxyfXYE ,設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度.,.x,xyx,yxf(x,y)其它0112323.求數(shù)學(xué)期望XYE(Y),E1.dxxxxxxddxxxdxyxxx43123ln231ln23ln3ln12313121213113解解例12 f(x,y)dydxxyXYE11 xyf(x,y)dydE(Y) 11323xxdydxyxxy1xyxy o1.dyyxdxxx53231341三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

15、(1) 設(shè)C是常數(shù), 則E(C)=C.(2) 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量, C是常數(shù), 則有，則由定義有事實(shí)上，因?yàn)? CXP 由定理有的概率密度為設(shè),xfX .XCEdxxxfCdxxCxfCXE .1CCCEE(CX)=CE(X).證證其邊緣概率密度為的概率密度為，設(shè), yxfYX dxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , , YEXEdyyyfdxxxfYX證證 式由6,yfxfYX 此性質(zhì)可推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和.(3) 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有E(X Y)=E(X) E(Y).11()nniiiiEXE X(4) 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有 E(XY

16、)=E(X)E(Y).的概率密度與邊緣概率，互相獨(dú)立，則與由于YXYX .,yfxfyxfYX 得由 6 dxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEYX , .YEXEdyyyfdxxxfYX密度滿足關(guān)系式證證 可推廣到多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.11()nniiiiEXE X . 0, 0 1 . ETaeTXaX均修理時(shí)間都是常數(shù)，求計(jì)算機(jī)平其中來計(jì)算，按公式發(fā)生故障的元件數(shù)，并的長(zhǎng)短取決于計(jì)算機(jī)修理時(shí)間的泊松分布服從參數(shù)為機(jī)發(fā)生故障的元件數(shù)在某一周期內(nèi)電子計(jì)算例14的概率分布為：發(fā)生故障的元件數(shù)X ,11., 1 , 0 !aXaXkeETeTEEkkekXP解解又由定理有.!100aae

17、ekkakkakaXeeekeekeeeE . ,2121npXEXEXEXEXXXEpnBXnn證明利用設(shè) . 1 1aeeTE所以. 1 1aeeT間為即計(jì)算機(jī)的平均修理時(shí)例15證證 設(shè)XB(n,p),由二項(xiàng)分布的定義知, 隨機(jī)變量X是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù), 且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p. 引入隨機(jī)變量.次試驗(yàn)不發(fā)生,在第次試驗(yàn)發(fā)生,在第,n,kkA,kAXk2101易知 X=X1+X2+.+Xn,(1)由于Xk只依賴于第k次試驗(yàn), 而各次試驗(yàn)相互獨(dú)立, 于是X1,X2,.,Xn相互獨(dú)立.又知Xk,k=1,2,.,n服從同一(0-1)分布:011kkXppp(1)式表明以n,

18、p為參數(shù)的二項(xiàng)分布變量, 可分解為n個(gè)相互獨(dú)立且都服從以p為參數(shù)的(0-1)分布的隨機(jī)變量之和.由E(Xk)=p,則11()().nnkkkkE XEXE Xnp 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出, 旅客有10個(gè)車站可以下車. 如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車. 以X表示停車的次數(shù), 求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的, 并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量.站有人下車.在第1,站沒有人下車,在第0,1021,iiiXi現(xiàn)在來求E(X).例16解解易知 X=X1+X2+.+X10.按題意, 任一旅客在第i站不下車的概率為9/10.,101,2,i,10911PX,1090PX也就是,1091率為在第i站有人下車的概20i20i20,i20109站下車的概率為第因此20位旅客都不在由此.,i)E(Xi1