1、 高等傳熱學(xué)內(nèi)容4第一章 導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程4第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 4第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 4第四章 凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱 4第五章 導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解 4第六章 對(duì)流換熱基本方程 4第七章 層流邊界層的流動(dòng)與換熱 4第八章 槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱 4第九章 湍流流動(dòng)與換熱 4第十章 自然對(duì)流 4第十一章 熱輻射基礎(chǔ) 4第十二章 輻射換熱計(jì)算 4第十三章 復(fù)合換熱 第七章第七章 層流邊界層的流動(dòng)與換熱層流邊界層的流動(dòng)與換熱 4上一章從質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒出發(fā)，建立了對(duì)流換熱的數(shù)學(xué)描述。但是，由于方程的強(qiáng)非線性，得到這些偏微分方程的分析解通常是十分困難的，只有極個(gè)別的問(wèn)題采用經(jīng)典方法得到了分析解。4本章

2、討論邊界層理論，導(dǎo)出邊界層微分力程，它是基于守恒原理的數(shù)學(xué)近似，為求解實(shí)際問(wèn)題大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)方程組。有關(guān)邊界層微分方程的經(jīng)典解法 相似解，在本章中給予詳細(xì)討論，同時(shí)，對(duì)求解簡(jiǎn)單積分方程的方法進(jìn)行介紹。 7-1 對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題 4工程上經(jīng)常遇到的典型對(duì)流換熱的外部問(wèn)題，如圖7-1 所示，流體以均勻的速度u和溫度T流過(guò)溫度為T(mén)c的平板。這種換熱表面可以是建筑圍護(hù)結(jié)構(gòu)、電于器件冷卻表面，也可以是換熱器的表面或肋表面。工程中需要了解以下兩個(gè)問(wèn)題：4(1) 介質(zhì)中平板的受力情況。4(2) 平板與介質(zhì)的換熱情況。4對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的分析，可以得到流動(dòng)的阻力(壓力損失)，也就是維持流動(dòng)

3、所需要的泵功率或能耗。這是流體力學(xué)與工程熱力學(xué)應(yīng)用于傳熱過(guò)程的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)第二個(gè)問(wèn)題的回答，可以預(yù)測(cè)平板與介質(zhì)之間的傳熱速率，這是傳熱學(xué)的根本問(wèn)題。 7-1 對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題 圖7-1 沿平板流動(dòng)的邊界層速度和溫度分別 7-1 對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題 4可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，也可以通過(guò)分析的方法得到以上問(wèn)題的速度分布和溫度分布，進(jìn)而獲得流動(dòng)阻力和熱流密度。4以二維常物性不可壓縮流體為例，控制微分方程組可由第六章中的基本方程得到：0uvxy22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyxxy 2222()TTTTuvaxyxy4邊

4、界條件為：4壁面處4u = 0，非滑移界面4v = 0，無(wú)滲透表面4T = Tc，常壁溫4遠(yuǎn)離壁面處4uU，均勻流4v = 0，均勻流4T = T，均勻溫度4求解以上方程組，可以得到速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)，利用粘性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里葉定律可以得到壁面處的熱流密度。 7-1 對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題對(duì)流換熱中的根本問(wèn)題 4上一節(jié)給出的二維穩(wěn)態(tài)常物性的數(shù)學(xué)方程是一組非線性偏微分方程，除極少數(shù)簡(jiǎn)單狀況外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗特提出的邊界層理論大大簡(jiǎn)化了納維-斯托克斯方程，使許多工程間題得到了有效的解決。47-2-1 速度邊界層速度邊界層4通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察可以發(fā)現(xiàn)，流體流過(guò)平板時(shí)，由

5、于流體粘性的作用，在壁面處流體的速度為零，在垂直于流動(dòng)方向的很短距離內(nèi)，速度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出現(xiàn)在靠近壁面的區(qū)域）。邊界層理論認(rèn)為，只在貼壁處的薄層內(nèi)考慮粘性的影響，此薄層稱(chēng)為速度邊界層，如圖7-2 所示。 7-2 邊界層分析邊界層分析 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-2 外掠平板的速度邊界層 4通常定義邊界層的外緣為速度達(dá)到主流速度的99處，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y以外區(qū)域，粘性的影響由于速度梯度很小而忽略不計(jì)，按理想流體處理。邊界層理論將流場(chǎng)分為兩個(gè)區(qū)域。其一是流體粘性起主要作用的邊界層區(qū)。此區(qū)域中垂直于主流方向的速度梯度很大，盡管介質(zhì)的粘性較

6、小，但粘性切應(yīng)力很大，動(dòng)量傳遞主要依靠分子擴(kuò)散，認(rèn)為邊界層外緣的速度已達(dá)到主流速度，此處橫向速度梯度接近于零。另一區(qū)域是邊界層外的流動(dòng)，該區(qū)域中流體的速度梯度接近于零，粘性力可以忽略不計(jì)，按無(wú)粘性的勢(shì)流處理，符合伯努利方程。嚴(yán)格地講，邊界層區(qū)與主流區(qū)無(wú)明確的分界面，按實(shí)際壁面粘性滯止作用的影響區(qū)，其邊界應(yīng)在無(wú)限遠(yuǎn)處。因此，邊界層是一種人為引進(jìn)的理想化概念。4邊界層的另一重要特點(diǎn)是其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于平壁的長(zhǎng)度L ，即占L。理論上講，在平板前緣邊界層理論并不成立，在以后的分析中不難得到此結(jié)論。4此外，邊界層內(nèi)的流動(dòng)也分為層流區(qū)、湍流區(qū)和緩沖層區(qū)，這些在流體力學(xué)和基礎(chǔ)傳熱學(xué)中已有詳細(xì)介紹，這里不再重復(fù)。

7、 7-2 邊界層分析邊界層分析 47-2-2 溫度邊界層溫度邊界層4與速度邊界層類(lèi)似，當(dāng)具有均勻溫度的流體流過(guò)一壁面時(shí)，若壁面溫度與流體溫度不同，流體溫度將在靠近壁面的一個(gè)很薄的區(qū)域內(nèi)從壁面溫度變化到主流溫度，該層稱(chēng)為溫度邊界層，或熱邊界層。熱邊界層厚度用t表示，如圖7-3 所示，通常規(guī)定其邊界在垂直于流動(dòng)方向流體溫差tt 等于0.99(ttw)處，t表示主流溫度，tw表示壁面溫度。在溫度邊界層內(nèi)，溫度梯度很大，而其外部溫度梯度很小可以忽略不計(jì)，即熱邊界層外可近似按等溫區(qū)處理。熱邊界層厚度與流動(dòng)方向的尺寸相比也是小量。速度邊界層厚度通常不等于溫度邊界層厚度，兩者的關(guān)系通常取決于流體的熱物性。

8、7-2 邊界層分析邊界層分析 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-3 外掠平板的溫度邊界層 47-2-3 邊界層微分方程組邊界層微分方程組4在主流區(qū)4 (7-2-1)4用表示速度u由壁面處的u= 0 變化到接近主流速度U的距離的數(shù)量級(jí)。在邊界層區(qū)域，可以得到如下數(shù)量級(jí)關(guān)系：4x L ，y，uU (7-2-2)4在包含邊界層的L區(qū)域，考慮連續(xù)性方程4 (7-2-3)4可知 (7-2-4) 7-2 邊界層分析邊界層分析 ,0,vpp ttu=U0uvxyUVLUVL4考慮邊界層內(nèi)x 方向的動(dòng)量方程4在上式中，慣性力項(xiàng)均為 ，不能忽略任一項(xiàng)。但在邊界層區(qū) 域， ，則速度邊界層外的速度u 等于主流速度

9、U，得到該區(qū)域的速度 。 將其帶入方程(7-2-24)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)流項(xiàng)主要由第一項(xiàng)控制，即4 (7-2-25)4進(jìn)一步可以得到 4 (7-2-26) 2,tttttuvaLvUL2ttUt La1 21 21 2 Pr RetLPeL7-2 邊界層分析邊界層分析4其中 是貝克來(lái)數(shù)。比較式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以發(fā)現(xiàn)，溫度邊界層厚度與速度邊界層厚度之間的關(guān)系取決于普朗特?cái)?shù)，即4 (7-2-27) 4低普朗特?cái)?shù)(Pr1 )下的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)可以表示為4 ，Pr 1 (7-2-33) 4 ，Pr1 (7-2-34) 4在邊界層內(nèi)，慣性力與粘性力始終是平衡的，Re反映的是一個(gè)幾

10、何尺寸特性一邊界層的厚度與流動(dòng)長(zhǎng)度的比值見(jiàn)式(7-2 - 20 )。 1 31 2 PrRetLL1 3 Pr1t1 31 2PrReLhL1 31 2 PrReLNu7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 47-3-1 外掠平板層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解外掠平板層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解41. 布勞修斯解布勞修斯解4上節(jié)邊界層分析給出了邊界層微分方程組，在一定條件下，通過(guò)不同方式可以獲得解，本書(shū)采用相似變換求解，也稱(chēng)相似解。相似解的核心是經(jīng)過(guò)選擇合適的相似變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。1908 年，布勞修斯采用無(wú)量綱流函數(shù)及無(wú)量綱坐標(biāo)，求解了外掠平板層流邊

11、界層流動(dòng)的偏微分方程，如圖7-4 所示，邊界層內(nèi)流動(dòng)方向的速度從壁面處為零一直變化到遠(yuǎn)離壁面處的u = U。盡管邊界層內(nèi)速度分布不相似，但不同x處的速度變化范圍是相同的, 即速度分布被伸展。 7-2 邊界層分析邊界層分析 圖7-4 平壁上的速度邊界層 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4引入無(wú)量綱速度 和相似變量：4 ( 7-3-1 ) 4相似變量與坐標(biāo)y 成正比，比例系數(shù)與x有關(guān)。令4 (7-3-2) 4可見(jiàn)，邊界層內(nèi)不同x處 與的關(guān)系是相同的，對(duì)于的無(wú)量綱速度分布亦是相同的。4將速度用流函數(shù)表示：4 (7-3-3) 4則 (7-3-4) uU( )uU 1

12、2Re( )xUyyyxxvxuU,uvyx 1uUUy7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4引入前面定義的相似變量，得到4 (7-3-5) 4令 ，稱(chēng)無(wú)量綱流函數(shù)，則有了4 (7-3-6) 4考慮常物性不可壓流體流過(guò)平板的二維穩(wěn)態(tài)邊界層的連續(xù)性方程(7-1-1)和動(dòng)量方程(7-2-14) ：4 (1)4 (2) ()uUU vxfU vx1 2()( )U vxf0uvxy22uvuuvvxyy7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4對(duì)應(yīng)的邊界條件是4y = 0, u = v = 0 (7-3-7)4y , u U (7-3-8) 4

13、應(yīng)用流函數(shù)，連續(xù)性方程得到滿(mǎn)足, 動(dòng)量方程的形式為4 (7-3-9)4對(duì)應(yīng)的邊界條件是4 y=0, =0, (7-3-10) 4 y, (7-3-11) 22323vyx yxyy 0yy 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4將式(7-3-6)代人式(7-3-9)(7-3-11) ，可以得到相似變換后的常微分方程，并簡(jiǎn)化為4 (7-3-12) 4邊界條件4 (7-3-13) 4 (7-3-14)4方程(7-3-12 )稱(chēng)為布勞修斯方程。4布勞修斯采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法求解了這個(gè)非線性方程。將f()取的泰勒級(jí)數(shù)得4 (7-3-15) 4上式取導(dǎo)數(shù)得4 (7-3-1

14、6) 20fff0,0ff,1f 233201( )2!3!ccfcc23212( )2!3!ccfc7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4由邊界條件可得， 。進(jìn)一步求出 和 ，將所得結(jié)果代入方程(7-3-12 ) ，得到4 (7-3-17) 4為保證在0 范圍內(nèi)上式均成立，則常數(shù)項(xiàng)和相似變量前的系數(shù)必須為零，即 和4所有不為零的系數(shù) 等均可表示成c2的關(guān)聯(lián)式。于是得到4 (7 -3 -18) 010,0ccff225234222()2!2!cccc340,0cc252202!2!cc2252cc 25811,c c c c222582221111( )2!2 5

15、!48!cccf7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4由 時(shí) ，得 ，等等。賽比西(Cebeci ) 等采用龍格-庫(kù)塔法求解了同樣問(wèn)題，霍沃思(Howarth)給出了更高精度的數(shù)值解，表7-l 是其部分結(jié)果。4由表7-1可知， =5.0時(shí) ，通常邊界層外緣處速度取，即4 (7-3-19) 4 (7-3-20) 1f 250.332,0.055cc 0.99155ufU5.0vxU1 25.0Rexx7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 4獲得速度分布后，可以進(jìn)一步得到壁面

16、處的粘性剪應(yīng)力w：4 (7-3-21)4由表7-1 知， ，故4 (7-3-22) 4引入局部摩擦系數(shù)4 (7-3-23) 4對(duì)應(yīng)于整個(gè)平板長(zhǎng)度L 的平均摩擦系數(shù)為4 (7-3-24) 32002()()(0)wyyUufyyvx(0)0.332f320.3320.332RewxUUx1 220.664Re12wfxCU1 2,011.328ReLf mfLCC dxL7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 42. 波爾豪森解波爾豪森解4常物性流體以均勻流速U和均勻溫度t外掠平壁，平壁壁面溫度為tw，流體與壁面間的換熱使得在壁面上形成溫度邊界層。根據(jù)前面的邊界層分析，

17、對(duì)于忽略粘性耗散的常物性不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，其邊界層能量方程即式( 7-3-20 )為4y = 0, t = tw (7-3-25) 4y, t = tw (7-3-26) 4引入無(wú)量綱溫度4 (7-3-27) 4上述邊界層能量方程變?yōu)? (7-3-28) 22tttuvaxyywwtttt 22uvaxyy 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解4與動(dòng)量方程相似解方法類(lèi)似，引入相似變量 有4 (7-3-29) 4 (7-3-30) 4 (7-3-31) 1 2Re( )xUyyyxxvx111( )()( )22Uyvxxxxx ( )Uyyvx 22( )

18、Uyvx 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解4將式(7-3-29) (7-3-31)和流函數(shù)表示的速度代入邊界層能量方程(7-3-28) ，可以得到4 (7-3-32) 4相應(yīng)的邊界條件是4 (7-3-33)4波爾豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分離變量積分方法，由式(7-3-32 )可得4 (7-3-34)4進(jìn)一步積分得4 (7-3-35) 1Pr02f 0,0,1 和0Pr( )(0)exp( )2fd 0Pr( )2fdd0（ ）= （0） exp7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解4由邊界條件式(7-3-33)得4 (7-

19、3-36)4顯然，局部對(duì)流表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為4 (7-3-37) 4因此4 (7-3-38) 4式(7-3-36)已表明 是Pr數(shù)的函數(shù)，波爾豪森給出了一系列 的數(shù)值。表7-2 給出了不同Pr數(shù)時(shí)外掠平壁的 的數(shù)值?？梢园l(fā)現(xiàn)，在Pr = 0.6 15的范圍內(nèi)， 可以十分精確地用 表示，即得 10Pr( )2fdx0（0）=exp -1 2Rexxhx（0）1 2Rex xNu（0）（0）（0）（0）（0）130.332Pr7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解 7-3 層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解層流邊界層流動(dòng)和換熱的相似解4 (7-3-38)4對(duì)于Pr 0.6的低普朗數(shù)

20、流體，其導(dǎo)熱性能很好，前面邊界層分析已說(shuō)明，當(dāng) 時(shí)，與前面推導(dǎo)的基本假設(shè)不一致，因而式(7-5-16 )、(7-5-17 )不適用于低Pr數(shù)的液態(tài)金屬。然而，對(duì)于Pr = 0.51范圍內(nèi)的介質(zhì)， 時(shí)可得t 。x0 = 0時(shí)，積分方程的解與相似解十分接近，因而前面的公式也可用于氣體。4由牛頓冷卻公式可得壁面處的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)4 (7-5-18) 4則局部Nu數(shù)為4 (7-5-19)4若無(wú)初始加熱段，x0=0，則與精確解完全一致。 33()22wwtqhtt1 31 21 300.332RePr1xxhxNux3 4（）001xx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解

21、47-5-2 Pr 1 的邊界層能量方程的近似解的邊界層能量方程的近似解4若流體的Pr 1，則其溫度邊界層的厚度t，遠(yuǎn)大于速度邊界層厚度。溫度邊界層的速度分布將分為兩部分：在速度邊界層內(nèi)，與前面假設(shè)的三次方多項(xiàng)式相同；在速度邊界層外、溫度邊界層內(nèi)，即yt，根據(jù)邊界層的定義，速度為主流速度，uU，而溫度邊界層內(nèi)的溫度分布為4 (7-5-20) 4將速度分布和溫度分布代人能量積分方程式，得4 (7-5-21)4簡(jiǎn)化得到4 (7-5-22) 331()2wttttyytt 333031333()( )1()()1()22222twwwtttttttdyyyydyyUttdyUttdyadxdx243

22、12 11 13(1)85352dadxU7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4因 ，代入上式有4 (7-5-23) 4因流體的Pr1 ，1/ 1，可以近似簡(jiǎn)化為4 (7-5-24)4 (7-5-25) 4進(jìn)一步可得局部數(shù)為4 (7-5-26)4與精確解相差5左右。 14013ddxU 22412 11 11(1)5352.69Pr212.69Pr1 21Pr1.64t1 21 30.531RePrxNu 7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 47-5-3 U任意變化的邊界層積分方程的近似解任意變化的邊界層積分方程的近似解41. 動(dòng)量積分方程式

23、動(dòng)量積分方程式4把邊界層位移厚度和動(dòng)量厚度4代入動(dòng)量積分方程，得到4 (7-5-27) 000()()ydUdduu Uu dyUu dydxdxdy1020(1)(1)udyUuudyUU221wddUUUdxdx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4兩側(cè)同乘以 ，得到 4 (7-5-28) 4定義邊界層剪切厚度4 (7-5-29) 4取無(wú)量綱形狀參數(shù) ， ，代入式( 7-5-29 )，有4 (7-5-30) 2U22212222(2)wUddUdxUdx 40wyUUdudy12H 24T2222()22(2)ddUUTHdxdx7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4其中除物性參數(shù)外其它參數(shù)U、2和H、T 均與坐標(biāo)x有關(guān)，因而可以將影響歸屬于一個(gè)當(dāng)?shù)貐?shù)4 (7-5-31) 4邊界層內(nèi)速度分布取為4 (7-5-32a) 4其中4根據(jù)以上速度分布，可以求出邊界層厚度1、2和4以及H 、T 和w，并都是的函數(shù)。式(7-5-30)的左端可以表示為4 (7-5-32b) 22( )dUxdx( )( )uFGU2431,( )22,( )(1)6yFG2222()( )()ddUUdxdx 7-5 層流邊界層積分方程的近似解層流邊界層積分方程的近似解 4對(duì)于楔狀流(Uc