1、密碼：jixiezhendong2011機(jī)械振動(dòng)課件郵箱： 一般情況下一個(gè)周期性函數(shù)都可以展成付氏級(jí)數(shù)，因此一個(gè)一般情況下一個(gè)周期性函數(shù)都可以展成付氏級(jí)數(shù)，因此一個(gè)周期激振周期激振函數(shù)（激振力）總可以分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)函數(shù)（激振力）總可以分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)來(lái)處理。來(lái)處理。.sin)(2,cos)(2,)(20000 TjTjTjptdttFTbjptdttFTadttFTa)()(TtFtF 假定粘滯阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力假定粘滯阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力一般都可以展成付氏級(jí)數(shù)：一般都可以展成付氏級(jí)數(shù)： 10sincos2)(jjjjptbjptaatF 前面討論的強(qiáng)迫

2、振動(dòng)，都假設(shè)了系統(tǒng)受到的激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，但實(shí)際前面討論的強(qiáng)迫振動(dòng)，都假設(shè)了系統(tǒng)受到的激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，但實(shí)際工程問(wèn)題中遇到的大多是周期激勵(lì)或一般激勵(lì)而很少為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。工程問(wèn)題中遇到的大多是周期激勵(lì)或一般激勵(lì)而很少為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。T為周期為周期頻率頻率P P=2=2 /T/T稱為基本頻率，簡(jiǎn)稱基頻；對(duì)應(yīng)于基頻的簡(jiǎn)諧分量，稱為基波。稱為基本頻率，簡(jiǎn)稱基頻；對(duì)應(yīng)于基頻的簡(jiǎn)諧分量，稱為基波。對(duì)應(yīng)于頻率為對(duì)應(yīng)于頻率為2 2p p，3 3p p的簡(jiǎn)諧分量稱為二次諧波，三次諧波，等等。的簡(jiǎn)諧分量稱為二次諧波，三次諧波，等等。一個(gè)有阻尼的彈簧一個(gè)有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在周期激振力質(zhì)量系統(tǒng)在周期激振力 作用下的微分方程

3、為：作用下的微分方程為：)(tF 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 因?yàn)檎駝?dòng)系統(tǒng)是線性的，由激振力的各個(gè)分量所引起的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可以迭加，因?yàn)檎駝?dòng)系統(tǒng)是線性的，由激振力的各個(gè)分量所引起的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可以迭加，所以單自由度振系在周期激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為：所以單自由度振系在周期激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為： 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax 其中其中：)(1/2an21 jpjptj 為相角。為相角。一個(gè)有阻尼的彈簧一個(gè)有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在單個(gè)簡(jiǎn)諧激振力質(zhì)量系統(tǒng)在單個(gè)簡(jiǎn)諧激振力 作用下的微分方程為：作用下

4、的微分方程為：pthxxnxsin22 Hsinpt)sin(ptp4)p(1kHptpnphx222222 )sin(4)(22222穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 在小阻尼情況下，只要在小阻尼情況下，只要 時(shí)，即當(dāng)振系的固有頻時(shí)，即當(dāng)振系的固有頻率為激振頻率的整數(shù)倍時(shí)，振系將發(fā)生共振。率為激振頻率的整數(shù)倍時(shí)，振系將發(fā)生共振。 jp n 為振系的固有頻率為振系的固有頻率， 為阻尼比。為阻尼比。 12220)2()(1 )sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax 其中其中：)(1/2an21 jpjptj 為相角，為相角，單自由度振系在周期激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：?jiǎn)巫杂啥日裣翟谥芷?/p>

5、激振力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1）系統(tǒng)對(duì)周期激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是周期函數(shù)，其周期仍然為）系統(tǒng)對(duì)周期激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是周期函數(shù)，其周期仍然為T，并且激勵(lì)的每個(gè)諧波都只引起與自身頻率相同的響應(yīng)，這是線性系統(tǒng)并且激勵(lì)的每個(gè)諧波都只引起與自身頻率相同的響應(yīng)，這是線性系統(tǒng)的特點(diǎn)。的特點(diǎn)。2）在周期激勵(lì)中，只要系統(tǒng)的固有頻率和激勵(lì)中的某一諧波頻率接）在周期激勵(lì)中，只要系統(tǒng)的固有頻率和激勵(lì)中的某一諧波頻率接近就會(huì)發(fā)生共振，因此，對(duì)于周期激勵(lì)，要避開系統(tǒng)共振區(qū)比簡(jiǎn)諧近就會(huì)發(fā)生共振，因此，對(duì)于周期激勵(lì)，要避開系統(tǒng)共振區(qū)比簡(jiǎn)諧激勵(lì)要困難。通常使用適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼的方式來(lái)減振。激勵(lì)要困難。通常使用適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼的方式

6、來(lái)減振。 12220)2()(1 )sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax )(1/2an21 jpjptj 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 3） 代表著平衡位置，即代表著平衡位置，即 作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形。作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形。ka2020a例例2 如圖（如圖（a）所示是機(jī)床凸輪進(jìn)給系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。）所示是機(jī)床凸輪進(jìn)給系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。m代表滑臺(tái)及其上代表滑臺(tái)及其上面刀架的質(zhì)量，面刀架的質(zhì)量，k、c分別為切削剛度和阻尼，分別為切削剛度和阻尼，k1為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛度。為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛度。凸輪使頂桿凸輪使頂桿D沿水平線作周期的往復(fù)運(yùn)動(dòng)

7、，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（沿水平線作周期的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖（b）所示）所示的鋸齒波形，再通過(guò)彈簧的鋸齒波形，再通過(guò)彈簧k1使振系產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)。已知凸輪升程為使振系產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)。已知凸輪升程為2cm，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為n=60r/min，求此振系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。，求此振系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Tt,0Tt2x1 解：頂點(diǎn)解：頂點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)方程：的運(yùn)動(dòng)方程：11s60s60radf -1s2 p1s ,T sinjptj121(t)x1j1 （一個(gè)周期內(nèi)）（一個(gè)周期內(nèi)）激振頻率：激振頻率：)x(xkkxcxxm11 .j2jptdtsin)t (FTb,jptdtcos)t (FTa,dt)t (FTaTjTjT 0

8、00020222振系的微分方程：振系的微分方程： 1j111sinjptj12kk)xk(kcxxm sinjptj2k1 m)k(k1 )k(kkx11 對(duì)應(yīng)于等式右端第對(duì)應(yīng)于等式右端第j次簡(jiǎn)諧力次簡(jiǎn)諧力系統(tǒng)的響應(yīng)為：系統(tǒng)的響應(yīng)為：2221j1)jp(2jp1)jk(k)sin(jpt2kx )(1/2an21 jpjptj 對(duì)應(yīng)于等式右端的常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)于等式右端的常數(shù)項(xiàng)k1，系統(tǒng)的響應(yīng)：，系統(tǒng)的響應(yīng)：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 1222)2()(1 )(jj11jpjpjjptsin21kkkx 設(shè)系統(tǒng)的固有頻率為設(shè)系統(tǒng)的固有頻率為srad 60/ 0Tt rad/s0,30,6010

9、,12,15,2p 10. rad/s1080p K與與k1相比較小可忽略不計(jì)，在激勵(lì)頻率相比較小可忽略不計(jì)，在激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，每隔一定間隔計(jì)算一次系統(tǒng)在范圍內(nèi)，每隔一定間隔計(jì)算一次系統(tǒng)在 范圍的響應(yīng)范圍的響應(yīng) x（t），），并取出峰值，標(biāo)為并取出峰值，標(biāo)為xmax，繪出頻域響應(yīng)曲線，可以看出，在，繪出頻域響應(yīng)曲線，可以看出，在響應(yīng)出現(xiàn)尖峰，它們分別是由激振力的基波和響應(yīng)出現(xiàn)尖峰，它們分別是由激振力的基波和26次諧波所激起。次諧波所激起。例例3汽車單缸活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)力學(xué)模型如圖。發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)部件主要由汽車單缸活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)力學(xué)模型如圖。發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)部件主要由活塞、連桿和曲柄（或稱曲軸）

10、組成?，F(xiàn)以等效集中的方法，把連桿的活塞、連桿和曲柄（或稱曲軸）組成?，F(xiàn)以等效集中的方法，把連桿的質(zhì)量集中到活塞和曲柄銷上。運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量最后可用曲柄銷上的質(zhì)量質(zhì)量集中到活塞和曲柄銷上。運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量最后可用曲柄銷上的質(zhì)量m1和活塞上的質(zhì)量和活塞上的質(zhì)量m2來(lái)表示。設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的總質(zhì)量為來(lái)表示。設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的總質(zhì)量為m，曲柄轉(zhuǎn)速為，曲柄轉(zhuǎn)速為n，連桿長(zhǎng)度為連桿長(zhǎng)度為l，發(fā)動(dòng)機(jī)支承剛度和阻尼分別為，發(fā)動(dòng)機(jī)支承剛度和阻尼分別為k和和c。按圖中所示取坐標(biāo)。按圖中所示取坐標(biāo)軸，求發(fā)動(dòng)機(jī)垂直振動(dòng)響應(yīng)軸，求發(fā)動(dòng)機(jī)垂直振動(dòng)響應(yīng)。RcosptpmF211 解：發(fā)動(dòng)機(jī)垂直振動(dòng)的激勵(lì)有兩個(gè)：解：發(fā)動(dòng)機(jī)垂直振動(dòng)的激勵(lì)有兩個(gè)：

11、曲軸的偏心質(zhì)量在垂直方向的分力：曲軸的偏心質(zhì)量在垂直方向的分力：cos2pt)lR(cosptRp-mxmF2222 )ptsinlR1l(1cospt)R(1x22pptsin2lRR(1-cospt)x22p 活塞的慣性力活塞的慣性力F2：活塞的位移：活塞的位移：sin2pt2lpRcosptRpx22p cos2ptlpRcosptRpx222p Xp為活塞從最高點(diǎn)下降的距離，L+R減去m2o的距離激振力：激振力：cos2pt)lRR(pRcospt-m)pm(mFFF22222121 R)pm(mF22101 )p(/pt21112an cos2pt)lRR(pRcospt-m)pm(

12、mkxxcxm222221 系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程：系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程：22202)lRR(pmF 設(shè)：設(shè)：系統(tǒng)的響應(yīng)：系統(tǒng)的響應(yīng)：)cos(2pt)p(4p411(kF)cos(pt)p(2p11(kFx(t)222202122201 )p(/pt212414an 在許多實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)往往不是周期的，而是任意的在許多實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)往往不是周期的，而是任意的時(shí)間函數(shù)，或者只是持續(xù)時(shí)間很短（相對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)固有周期）的沖擊。時(shí)間函數(shù)，或者只是持續(xù)時(shí)間很短（相對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)固有周期）的沖擊。脈沖響應(yīng)函數(shù)法傅立葉變換法拉普拉斯變換法單自由度線性系統(tǒng)在單自由度線性系統(tǒng)在非周期激勵(lì)非

13、周期激勵(lì) 作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)求解方法求解方法脈沖響應(yīng)函數(shù)法解決問(wèn)題的思路：脈沖響應(yīng)函數(shù)法解決問(wèn)題的思路：把非周期激振力看作是一系列作用時(shí)間極短的分力（脈沖力）的疊加；把非周期激振力看作是一系列作用時(shí)間極短的分力（脈沖力）的疊加；在脈沖力作用下的響應(yīng)在脈沖力作用下的響應(yīng) 應(yīng)用動(dòng)量定理；應(yīng)用動(dòng)量定理；總響應(yīng)總響應(yīng) 疊加原理。疊加原理。設(shè)在設(shè)在 時(shí)有一脈沖作用在有阻尼的時(shí)有一脈沖作用在有阻尼的振系上，如圖所示。則此系統(tǒng)的響應(yīng)可振系上，如圖所示。則此系統(tǒng)的響應(yīng)可以看作是以脈沖作用后產(chǎn)生的以看作是以脈沖作用后產(chǎn)生的狀態(tài)狀態(tài)作為作為初始條件初始條件的一種自由振動(dòng)。的一種自由振動(dòng)。1.5.1系

14、統(tǒng)對(duì)脈沖激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)脈沖激勵(lì)的響應(yīng) t)(mvdFd 根據(jù)動(dòng)量定理，元沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的根據(jù)動(dòng)量定理，元沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的微分，即：微分，即：mFddv 上式表明，在脈沖力作用下系統(tǒng)的速度上式表明，在脈沖力作用下系統(tǒng)的速度有了一個(gè)增量。但因作用時(shí)間短，還來(lái)有了一個(gè)增量。但因作用時(shí)間短，還來(lái)不及發(fā)生位移的變化（或者說(shuō)位移是二不及發(fā)生位移的變化（或者說(shuō)位移是二階微量）。階微量）。將這個(gè)初始條件代入有阻尼自由將這個(gè)初始條件代入有阻尼自由振動(dòng)公式，振動(dòng)公式，便得系統(tǒng)對(duì)脈沖激振便得系統(tǒng)對(duì)脈沖激振的響應(yīng)：的響應(yīng)：因此，在這樣一個(gè)脈沖作用下，系統(tǒng)的因此，在這樣一個(gè)脈沖作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)相當(dāng)于初始條件為（

15、假設(shè)原系統(tǒng)是響應(yīng)相當(dāng)于初始條件為（假設(shè)原系統(tǒng)是靜止的）：靜止的）： 時(shí)時(shí)的自由振動(dòng)。的自由振動(dòng)。)(sin)( temFdxtn)( t22n mFdxxt 00, 0,1.5.21.5.2線性系統(tǒng)的迭加原理線性系統(tǒng)的迭加原理則兩個(gè)脈沖聯(lián)合作用下該系統(tǒng)的響應(yīng)為：則兩個(gè)脈沖聯(lián)合作用下該系統(tǒng)的響應(yīng)為：t)(sin)(11 temdFxtn有兩個(gè)脈沖有兩個(gè)脈沖 F1F1、F2F2 作用在有阻尼振作用在有阻尼振系上。根據(jù)線性系統(tǒng)的迭加原理，系上。根據(jù)線性系統(tǒng)的迭加原理，振振系在這兩個(gè)脈沖作用下的響應(yīng)可看作系在這兩個(gè)脈沖作用下的響應(yīng)可看作是兩個(gè)脈沖單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)是兩個(gè)脈沖單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)的

16、迭加的迭加。對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 時(shí)的脈沖時(shí)的脈沖響應(yīng)為：響應(yīng)為：在在 時(shí)的脈沖時(shí)的脈沖響應(yīng)為：響應(yīng)為：st )(sin)(22stemdsFxstn 21xxx 1.5.3 1.5.3 系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)- -杜哈美杜哈美(Duhamel(Duhamel) )積分積分)(tF)(tFkxxcxm 設(shè)有任意激振力設(shè)有任意激振力 作用在振系上。作用在振系上。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 把時(shí)間分割為無(wú)數(shù)微小的間隔把時(shí)間分割為無(wú)數(shù)微小的間隔 ，則，則任意任意激振力的作用可視為一系列微沖量的連續(xù)作用激振力的作用可視為一系列微沖量的連續(xù)作用。因而，可先分別求出振系對(duì)每一個(gè)

17、微沖量的響應(yīng)，因而，可先分別求出振系對(duì)每一個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后根據(jù)線性迭加原理，將各個(gè)響應(yīng)迭加，就得然后根據(jù)線性迭加原理，將各個(gè)響應(yīng)迭加，就得到振系對(duì)任意激振力的響應(yīng)。到振系對(duì)任意激振力的響應(yīng)。 d系統(tǒng)在任意時(shí)刻系統(tǒng)在任意時(shí)刻 時(shí)的微沖量時(shí)的微沖量 作用下的響應(yīng)（記為作用下的響應(yīng)（記為 ）可寫成：）可寫成： t dF)(dx)(sin)()( temdFdxt當(dāng)激振力當(dāng)激振力 從從 瞬時(shí)瞬時(shí) 到到 連續(xù)連續(xù)作用時(shí)響應(yīng)為：作用時(shí)響應(yīng)為：)( F0 t dtemFtxtt)(sin)()()(0 ttdteFm0)()(sin)(1 杜哈美（杜哈美（Duhamel）積分積分 tdtFmx0)(si

18、n)(1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，即為無(wú)，即為無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)。阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)。 )(tFkxxcxm 1.5.3 系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激振的響應(yīng)-杜哈美杜哈美(Duhamel)積分積分系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：當(dāng)激振力當(dāng)激振力 從從 瞬時(shí)瞬時(shí) 到到 連續(xù)連續(xù)作用時(shí)響應(yīng)為：作用時(shí)響應(yīng)為：)( F0 t 任意激任意激振力振力 ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 0 上述方程是在零初始條件下，對(duì)于任意激振力的響應(yīng)。若在上述方程是在零初始條件下，對(duì)于任意激振力的響應(yīng)。若在t=0時(shí)，任意激時(shí)，任意激振力振力F（t）作用的瞬時(shí)，系統(tǒng)的初始位移和

19、初始速度為：）作用的瞬時(shí)，系統(tǒng)的初始位移和初始速度為：00 xx ,xx (0)(0)則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)和初始條件引起的響應(yīng)的疊加：則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)和初始條件引起的響應(yīng)的疊加：d)(tsine)Fm1)sintcos(e(t)(tt0000t(txxxx tdtFmx0)(sin)(1 d) t (sin)(Fm1)sincos() t (t000txtxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，即為無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)：，即為無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)： 0 考慮初始條件引起的響應(yīng)與任意激振力的響應(yīng)的疊加，得無(wú)考慮初始條件引起的響應(yīng)與任意激振力的響應(yīng)的疊加，得無(wú)阻尼系統(tǒng)的全響應(yīng)：阻尼系統(tǒng)的全響應(yīng)：

20、初始條件引起的響應(yīng)初始條件引起的響應(yīng)(無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng))例例1.10 求有阻尼振系在求有阻尼振系在 時(shí)受到突加常力時(shí)受到突加常力 作用下的響應(yīng)。作用下的響應(yīng)。這種載荷稱為這種載荷稱為階躍函數(shù)階躍函數(shù)，用，用 （常數(shù)）表示，如圖所示。（常數(shù)）表示，如圖所示。0 t0F0)(FF 解解 令令 ，則，則tt t dd 0t0sintdtemFxt tttdtemF00sin ) sin (cos1 0ttekFxt 突加載荷突加載荷 除了使彈簧產(chǎn)生靜變形除了使彈簧產(chǎn)生靜變形 外，還使振系發(fā)生振幅為外，還使振系發(fā)生振幅為 的衰減振動(dòng)。當(dāng)?shù)乃p振動(dòng)。當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，則上式變?yōu)椋?，則上式變?yōu)椋?/p>

21、 此時(shí)彈簧的最大變形為靜變形此時(shí)彈簧的最大變形為靜變形 的兩倍。的兩倍。),cos(11 20 tekFxtkF0)1(2 0 keFt , 0)cos1(0tkFx 211an t0F0 kF0運(yùn)用分部積分法得：運(yùn)用分部積分法得：得：得：或或 ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 10tt )cos1(0tkFx 1tt tdtFmx 0)(sin)(1 11 0 )(sin)(1)(sin)(1tttdtFmdtFm 10100cos)(cos)(sinttttkFdtmF （ 表示表示 時(shí)的振幅。）時(shí)的振幅。）2112210212121sin)cos1()(ttkFxxA T

22、tkFtkF1010sin22sin2 2 T0FTt1 若取矩形脈沖持續(xù)若取矩形脈沖持續(xù) ，我們得到振幅，我們得到振幅 （見圖（見圖b）。若?。?。若取 ，則則 , 在此情況下，常力在此情況下，常力 從從0至至A作正功，從作正功，從A回到回到0作相等量負(fù)功，所以系統(tǒng)保作相等量負(fù)功，所以系統(tǒng)保持靜止（見圖持靜止（見圖c）。）。21Tt kFA02 Tt 10 A0F例例1.11 求無(wú)阻尼系統(tǒng)在矩形脈求無(wú)阻尼系統(tǒng)在矩形脈沖作用下的響應(yīng)。沖作用下的響應(yīng)。1x1tt 振系的響應(yīng)為：振系的響應(yīng)為：在在 階段，振系的響應(yīng)就是除去激振力后的自由振動(dòng)。用杜哈美積分有：階段，振系的響應(yīng)就是除去激振力后的自由振動(dòng)

23、。用杜哈美積分有：振系的振幅為振系的振幅為：其中其中為振系的固有周期。為振系的固有周期。在去掉常力在去掉常力 后，振幅隨比值后，振幅隨比值 而改變。而改變。解：解： 在在 階段，階段，第一章第一章 總結(jié)總結(jié)1.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)1 .振動(dòng)微分方程的建立：振動(dòng)微分方程的建立： （1） 牛頓運(yùn)動(dòng)定律：牛頓運(yùn)動(dòng)定律： 牛頓運(yùn)動(dòng)定律可用于質(zhì)點(diǎn)、剛體和結(jié)構(gòu)微元體運(yùn)動(dòng)微分方程的建牛頓運(yùn)動(dòng)定律可用于質(zhì)點(diǎn)、剛體和結(jié)構(gòu)微元體運(yùn)動(dòng)微分方程的建立。對(duì)于自由度比較少、受力分析也不復(fù)雜的系統(tǒng)，一般可以考慮采立。對(duì)于自由度比較少、受力分析也不復(fù)雜的系統(tǒng)，一般可以考慮采用。牛頓運(yùn)動(dòng)定律適合慣性坐標(biāo)系中物體各種

24、運(yùn)動(dòng)的描述，但要注意用。牛頓運(yùn)動(dòng)定律適合慣性坐標(biāo)系中物體各種運(yùn)動(dòng)的描述，但要注意有關(guān)物理量的方向。有關(guān)物理量的方向。 （2 2） 拉格朗日方程：拉格朗日方程： 拉格朗日方程中用到的廣義坐標(biāo)通常不要求具有明確的方向和物拉格朗日方程中用到的廣義坐標(biāo)通常不要求具有明確的方向和物理意義，對(duì)于動(dòng)能和勢(shì)能函數(shù)比較容易確定的系統(tǒng)，都可以選擇這種理意義，對(duì)于動(dòng)能和勢(shì)能函數(shù)比較容易確定的系統(tǒng)，都可以選擇這種方法。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，這種方法更具有優(yōu)越性。方法。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，這種方法更具有優(yōu)越性。拉格朗日方程：拉格朗日方程：jjjjQqUqT- )qT(dtd q qj j第第j j個(gè)廣個(gè)廣義坐標(biāo)義坐標(biāo)廣義力廣義力（非

25、保守力）（非保守力）2 .振動(dòng)微分方程的求解與振動(dòng)特性分析振動(dòng)微分方程的求解與振動(dòng)特性分析描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的三個(gè)要素：振幅描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的三個(gè)要素：振幅A、相位、相位 和固有頻率和固有頻率 tmk 振幅是指系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，描述振動(dòng)狀態(tài)的量（通常指位移）偏離平振幅是指系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，描述振動(dòng)狀態(tài)的量（通常指位移）偏離平衡位置的最大值。衡位置的最大值。相位是指物理量（通常指位移）隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化時(shí)，任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角相位是指物理量（通常指位移）隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化時(shí)，任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角變量。變量。t=0時(shí)對(duì)應(yīng)的相位就是初相位。它是相對(duì)時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)而言的。時(shí)對(duì)應(yīng)的相位就是初相位。它是相對(duì)時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)而

26、言的。固有頻率為線性系統(tǒng)固有振動(dòng)的頻率。對(duì)于單自由度系統(tǒng)，固有頻率和自固有頻率為線性系統(tǒng)固有振動(dòng)的頻率。對(duì)于單自由度系統(tǒng)，固有頻率和自由振動(dòng)的頻率相同，對(duì)于多自由度系統(tǒng)，固有頻率和自由振動(dòng)的頻率是不由振動(dòng)的頻率相同，對(duì)于多自由度系統(tǒng)，固有頻率和自由振動(dòng)的頻率是不一致的。一致的。無(wú)阻尼線性系統(tǒng)的振動(dòng)特性為：無(wú)阻尼線性系統(tǒng)的振動(dòng)特性為：0 kxxcxm 022 xxnx mcnmk 2 ,2 特征方程特征方程0222 nrr特征根特征根222, 1 nnr)tnsin(Aex22nt )sin( tAexnt22n 20020)( nxxxA000annxxxt 欠阻尼是一種振幅逐漸衰減欠阻尼是一

27、種振幅逐漸衰減的振動(dòng)。的振動(dòng)。振動(dòng)方程的通解振動(dòng)方程的通解衰減振動(dòng)的周期衰減振動(dòng)的周期：222122 TnTTnTtnntiieAeAeAAii )(1 mkcn2 振幅衰減率振幅衰減率TnAAii 1ln 對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率)tn2tn1nt2222ece(cex t)c(cex21nt 過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生。過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生。臨界阻尼也是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些。臨界阻尼也是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些。ptHkxxcxmsin pthxxnxsin22 )t (x)t (

28、x)t (x21 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程)tsin(Ae)t (xnt 1)sin()(2 ptBtx222224)(pnphB 222anpnpt 20020)( nxxxA000annxxxt 1.振動(dòng)方程及其通解振動(dòng)方程及其通解振動(dòng)方程的通解振動(dòng)方程的通解2220222222222212114)(BpnphpnphB)sin()(2 ptBtx影響振幅的主要因素：影響振幅的主要因素：uB B0 0的影響：的影響： 它反映了激振力的影響，它相當(dāng)于將激振力的最大幅值它反映了激振力的影響，它相當(dāng)于將激振力的最大幅值H H靜止地作靜止地作用在彈簧上所引起的彈簧靜變形。這說(shuō)明強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅用在彈

29、簧上所引起的彈簧靜變形。這說(shuō)明強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅B B與激振力幅值與激振力幅值H H成正比。因此，改變振幅的方法之一就是按比例改變激振力的幅值。成正比。因此，改變振幅的方法之一就是按比例改變激振力的幅值。u 的影響：的影響：頻率比對(duì)振幅的影響可用幅頻特性曲線說(shuō)明頻率比對(duì)振幅的影響可用幅頻特性曲線說(shuō)明靜力偏移靜力偏移頻率比頻率比相對(duì)阻尼系數(shù)相對(duì)阻尼系數(shù)振幅比（放大因子，動(dòng)力系數(shù)）振幅比（放大因子，動(dòng)力系數(shù)）221 p共振頻率共振頻率振幅振幅 20BBmax 幅頻特性幅頻特性u(píng) 的影響的影響: : 從幅頻特性曲線看出，在共振附近一定范圍內(nèi)，從幅頻特性曲線看出，在共振附近一定范圍內(nèi)，阻尼對(duì)減小振幅有顯著

30、作用，增加阻尼，振幅可以阻尼對(duì)減小振幅有顯著作用，增加阻尼，振幅可以明顯下降。明顯下降。20maxBB222anpnpt 在離開共振較遠(yuǎn)的范圍，阻尼對(duì)減小振幅的在離開共振較遠(yuǎn)的范圍，阻尼對(duì)減小振幅的作用是不大的，尤其在作用是不大的，尤其在p p ，阻尼幾乎沒(méi)有什么，阻尼幾乎沒(méi)有什么作用。作用。)sin()(2 ptBtx相頻特性：相頻特性：2.偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)ptmepkxxcxMsin 2 ptsinpMmexxnx222 )ptsin(Bx 振動(dòng)振動(dòng)微分方程：微分方程：222221)()(MmeB 特解：特解：3.支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)

31、振動(dòng)微分方程：微分方程：支承運(yùn)動(dòng)支承運(yùn)動(dòng))ptsin(B)ptsin(Bx 2特解：特解：2223412 tg4. 振動(dòng)的隔離振動(dòng)的隔離（1 1）主動(dòng)隔振）主動(dòng)隔振 對(duì)于自身是振源的機(jī)器，為減少它對(duì)周圍環(huán)境的影響，對(duì)于自身是振源的機(jī)器，為減少它對(duì)周圍環(huán)境的影響，將其與支撐它的地基隔離開，這類隔振稱為主動(dòng)隔振。將其與支撐它的地基隔離開，這類隔振稱為主動(dòng)隔振。主動(dòng)隔振系數(shù)主動(dòng)隔振系數(shù)（2 2）被動(dòng)隔振）被動(dòng)隔振 對(duì)于受振動(dòng)影響很大的精密儀器或設(shè)備，為減少周對(duì)于受振動(dòng)影響很大的精密儀器或設(shè)備，為減少周圍環(huán)境振動(dòng)對(duì)其造成的影響，將其和支承的基礎(chǔ)隔離，圍環(huán)境振動(dòng)對(duì)其造成的影響，將其和支承的基礎(chǔ)隔離，這類

32、隔振成為被動(dòng)隔振。這類隔振成為被動(dòng)隔振。被動(dòng)隔振系數(shù)被動(dòng)隔振系數(shù)主、被動(dòng)隔振幅頻特性主、被動(dòng)隔振幅頻特性1 1）無(wú)論阻尼大小，只有當(dāng)）無(wú)論阻尼大小，只有當(dāng) 時(shí)才時(shí)才有隔振效果。有隔振效果。2 2） 以后，隨著頻率比的增以后，隨著頻率比的增大，隔振效果提高，但當(dāng)大，隔振效果提高，但當(dāng)以后，無(wú)明顯變化。以后，無(wú)明顯變化。5. 等效粘滯阻尼等效粘滯阻尼vcFe cvF 等效粘滯阻尼等效粘滯阻尼ce等效粘滯阻尼系數(shù)等效粘滯阻尼系數(shù)干摩擦的等效粘滯阻尼系數(shù)與干摩擦的等效粘滯阻尼系數(shù)與摩擦力成正比，與系統(tǒng)的振幅摩擦力成正比，與系統(tǒng)的振幅和頻率成反比。和頻率成反比。等效粘滯阻尼等效粘滯阻尼1 1）干摩擦阻尼

33、）干摩擦阻尼2 2）速度平方阻尼）速度平方阻尼速度平方阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)與系統(tǒng)的振幅速度平方阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)與系統(tǒng)的振幅和頻率成正比。和頻率成正比。3 3）結(jié)構(gòu)阻尼）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)與系統(tǒng)的頻率成反比。與系統(tǒng)的頻率成反比。有了非粘滯阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)，其強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程：有了非粘滯阻尼的等效粘滯阻尼系數(shù)，其強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程：特解：特解：振幅：振幅：222anpnpt mcn2e 初相位初相位)()(TtFtF 10sincos2)(jjjjptbjptaatF.sin)(2,cos)(2,)(20000 TjTjTjptdttFTb

34、jptdttFTadttFTa 10sincos2)(jjjjptbjptaatFkxxcxm 12220)2()(1)sin()cos(2jjjjjjpjpkjptbjptakax )(1/2an21 jpjptj 周期力周期力展成傅里葉級(jí)數(shù)：展成傅里葉級(jí)數(shù)：振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程：響應(yīng)：響應(yīng)：)(sin)( temFdxtn)t ( 22n 系統(tǒng)對(duì)單個(gè)脈沖的響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)單個(gè)脈沖的響應(yīng)：則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)和初始條件引起的響應(yīng)的疊加：則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)和初始條件引起的響應(yīng)的疊加：00 xx ,xx (0)(0) ttdteFmx0)()(sin)(1) t ( 考慮初始條件引起的響應(yīng)與任

35、意激振力的響應(yīng)的疊加，得無(wú)阻尼系統(tǒng)的考慮初始條件引起的響應(yīng)與任意激振力的響應(yīng)的疊加，得無(wú)阻尼系統(tǒng)的全響應(yīng)：全響應(yīng)：當(dāng)激振力當(dāng)激振力 從從 瞬時(shí)瞬時(shí) 到到 連續(xù)連續(xù)作用時(shí)響應(yīng)為：作用時(shí)響應(yīng)為：)(F 0 t d)(tsine)Fm1)sintcos(e(t)(tt0000t(txxxxd) t (sin)(Fm1)sincos() t (t000txtxx例例1 1 如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)剛桿如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)剛桿AB的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，A端彈簧的剛度為端彈簧的剛度為k。求。求O點(diǎn)鉸鏈支座放在何處時(shí)系統(tǒng)的固有頻率最高。點(diǎn)鉸鏈支座放在何處時(shí)系統(tǒng)的固有頻率最高。解：設(shè)解：設(shè)q q為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)

36、能為：為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能為：2222Onl)l2m(ml12121I21T 2eq222)(nlm21)n31n1(1m(nl)21 eqmk 等效質(zhì)量等效質(zhì)量meq：)n31n1m(1m2eq 欲得最高的固有頻率，必須使欲得最高的固有頻率，必須使meq最?。鹤钚。?n32n3dndm3eq 得：得：32n 0nn)2(1dnmd42eq2 代入二階導(dǎo)數(shù)，得：代入二階導(dǎo)數(shù)，得：是極小值，故鉸鏈應(yīng)放在距是極小值，故鉸鏈應(yīng)放在距A端三分之二桿長(zhǎng)處。端三分之二桿長(zhǎng)處。例例2 一質(zhì)量一質(zhì)量m=2000kg，以勻速度，以勻速度v=3 cm/s運(yùn)動(dòng)，與彈簧運(yùn)動(dòng)，與彈簧k、阻尼、阻尼c相撞后一相撞后一起

37、做自由振動(dòng)，已知起做自由振動(dòng)，已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，問(wèn)質(zhì)量，問(wèn)質(zhì)量m在相撞后多少時(shí)在相撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅？最大振幅是多少？間達(dá)到最大振幅？最大振幅是多少？)/(.mks194200048020 )s(.arctant301m 0kxxcxm )tsintcos(exxt 0tsinexxt 0解：系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為：解：系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為：在在 的初始條件下的響應(yīng)：的初始條件下的響應(yīng)：0 xx,0 x,0t 由由 ，得最大振幅發(fā)生在，得最大振幅發(fā)生在0 x )/(.mcs187542000219604.922222 最大振幅最大振幅)cm(.tsinexxmtmaxm52900 注意：最大振幅并不發(fā)生在注意：最大振幅并不發(fā)生在cm.xt ,tsin526021 20020)( nxxxA000annxxxt )tsin(Ae)t (xnt 1例例3 如圖所示的質(zhì)量如圖所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中，在兩個(gè)彈簧的連接處作用一激勵(lì)彈簧系統(tǒng)中，在兩個(gè)彈簧的連接處作用一激勵(lì)ptsinF 0tpsinkkFkxkkkkxm2102221212 。試求質(zhì)量塊。試求質(zhì)量塊m的振幅。的振幅。解：設(shè)解：設(shè) 坐標(biāo)如圖。坐標(biāo)如圖。分別以兩彈簧的連接處和質(zhì)量塊為對(duì)象運(yùn)用牛頓定律：分別以兩彈簧