1、Tuesday, July 05, 20221第五節(jié) 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)Tuesday, July 05, 20222 主要內(nèi)容q幅角定理q奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)q奈氏穩(wěn)定判據(jù)在、 型系統(tǒng)中的應(yīng)用q在波德圖或尼柯?tīng)査箞D上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。Tuesday, July 05, 20223一、幅角定理： 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，其中：為前向通道傳遞函數(shù)， 為反饋通道傳遞函數(shù)。)()()(sHsGsGk)(sG)(sH閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，如下圖所示

2、：)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(2211sNsMsHsNsMsG則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk (a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：212121)(NNMMNMs (b)Tuesday, July 05, 20224 顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫(xiě)成以下形式：njjniipszssF11)()()(。式中， 為F(s)的零、極點(diǎn)。jipz ,由上頁(yè)(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；將閉環(huán)特征

3、方程與開(kāi)環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個(gè)輔助方程，得：kGGHNMNMNNNNMMsF111)(2211212121.(c)Tuesday, July 05, 20225 F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn) 都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn) ， 稱為 在F(s)平面上的映射。sdfdfdsd 同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 ，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線 （為 的映射）。sfs例輔助方程為： ，則s平面上 點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn) 為（0，-j1）,見(jiàn)下圖：s

4、ssF2)(sdfd) 1, 1(jds) 1, 0(jdf平面s平面)(sFTuesday, July 05, 20226同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上 曲線 映射到F(s)平面的曲線為 ，如下圖：ssssssssHGFEDCBAsssAsBsCsDsEsFsGsH12平面s順時(shí)針s逆時(shí)針f平面)(sF示意圖 曲線 是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線 包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。sf再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若 順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若 順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則 包圍原點(diǎn)且順時(shí)針

5、運(yùn)動(dòng)。sfsf 這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。OXTuesday, July 05, 20227柯西幅角定理：s平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線 移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線 將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。ssf若N為正，表示 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；f若N為0，表示 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；f若N為負(fù)，表示 逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。fTuesday, July 05, 20228二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)： 對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不

6、穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程 ，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。)(1)(sGsFk 我們這里是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開(kāi)環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想： 如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為： 當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)右半極點(diǎn)數(shù)右半零點(diǎn)數(shù)| )(| )(sFsFNTuesday, July 05, 20229這里需要

7、解決兩個(gè)問(wèn)題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性 相聯(lián)系？)(jGH它可分為三部分：部分是正虛軸， 部分是右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓； ；部分是負(fù)虛軸， 。 022,從ReRsj0第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線 包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：sje0sTuesday, July 05, 202210F(s)平面上的映射是這樣得到的：以 代入F(s)并令 從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得

8、第二部分的映射；令 從 ，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。js 0jeRs22R0得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。kkPZNkkPZ ,kkPNZ0RZ第2個(gè)問(wèn)題：輔助方程與開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為 ， 為開(kāi)環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的： )(1)(sGsFk)(sGkTuesday, July 05, 202211F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于 對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與 對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。)(sGk

9、)(sGk奈魁斯特路徑的第部分的映射是 曲線向右移1；第部分的映射對(duì)應(yīng) ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。)(sGk0)(sGkF(s)的極點(diǎn)就是 的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是 在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。)(sGk)(sGk由 可求得 ，而 是開(kāi)環(huán)頻率特性。一般在 中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng) 時(shí)， ，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第部分）)(jGk)(jF)(jGkjes0)(sGk)(jGkTuesday, July 05, 202212)(jF)(jGkF(s)與 的關(guān)系圖。)(sGkTuesday, July 05, 202213 根據(jù)上面的討論

10、，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有 個(gè)極點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N0順時(shí)針，N=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1kP0kkPNZTuesday, July 05, 202217當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(sGk0)(LpkZ 2kTuesday, July 05, 202228五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開(kāi)環(huán)頻率特性 在s右半平面無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡(jiǎn)化為：奈氏圖（開(kāi)環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因?yàn)槿鬘=0，且P=0，所以Z=0。)(sGk1cg)(c奈氏圖幅值和相角關(guān)系為：當(dāng) 時(shí)1)(A180)(,cc當(dāng) 時(shí)，180)(1)(gA式中， 分別稱為相角、幅值穿越頻率cg,cg)()(L上述關(guān)系在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系:當(dāng) 時(shí)0)(L18