1、投資中的數(shù)學(xué)問題復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院陸立強(qiáng)2022/7/10主要內(nèi)容等比級(jí)數(shù)貨幣的時(shí)間價(jià)值年金問題投資決策2022/7/10等 比 級(jí) 數(shù)等比數(shù)列等比數(shù)列之和2022/7/10就有留意到公式于是2022/7/10貨幣的時(shí)間價(jià)值1概念和記號(hào)P：本金投資金額n：投資期限r(nóng) ：利率單位本金在單位時(shí)間期中的獲利, 衡量投資價(jià)值的重要目的I：利息投資的收益，I=f(P,n,r)S：本利和，S=P+I2022/7/10貨幣的時(shí)間價(jià)值2概念和記號(hào)利息公式1 單利公式當(dāng)n1時(shí)，單利公式存在缺陷 2022/7/10復(fù)利公式 復(fù)利利息公式2022/7/10闡明不難證明 復(fù)利公式和單利公式中的利率r為單期利率，普通根據(jù)

2、年利率折算而來。2022/7/10年利率和單期利率 返回首頁期長(zhǎng)年利率（%）期利率（%）活期0.360.0013月1.710.42756月1.980.991年2.252.252年2.795.583年3.339.995年3.60182022/7/10例 銀行年利率為2.25%, 一年結(jié)息一次,假設(shè)三年后要得到本利和600元,應(yīng)存入多少錢?即應(yīng)存入561.26元。解 設(shè)存入錢數(shù)為P，由2022/7/10即約需26年.例 假設(shè)本金700元，存一年期，利率為2.25%。 假設(shè)要本利和 到達(dá)1240元，需存多少時(shí)間？解 2022/7/10貨幣的時(shí)間價(jià)值現(xiàn)值n期后持有的貨幣面值S)如今的價(jià)值時(shí)間和利率是貨

3、幣價(jià)值變化的“幕后推手背景：貨幣的數(shù)目隨著時(shí)間(n)而變終值現(xiàn)有貨幣面值P在n期后的數(shù)值2022/7/10例 一處房產(chǎn)價(jià)錢為21萬元，據(jù)預(yù)測(cè)三年后價(jià)錢將上漲到23萬元，某人欲向銀行貸款來進(jìn)展此項(xiàng)投資。設(shè)銀行貸款利率為5%，按復(fù)利計(jì)算，此項(xiàng)投資能否盈利？現(xiàn)值P小于23萬元投資額，不能盈利。終值大于23萬元，即3年后歸還銀行的本利和超越那時(shí)房屋的價(jià)值，不能盈利。解1 三年后23萬元的現(xiàn)值為解2 21萬元3年后的終值為2022/7/10例： 某地2021年人均收入是1999年的8倍，求10年內(nèi)年均收入平均年增長(zhǎng)率。假設(shè)平均年增長(zhǎng)率堅(jiān)持不變，那么2020年是2021年的幾倍？ 復(fù)利公式中r的多重解釋利

4、率增長(zhǎng)率收益率解2022/7/10年金問題AAAAA12nnAAAAA12n-1n期初期末年金：定額定期的投資行為記號(hào)：A每期投資額, r單期利率, n投資期數(shù)投資可發(fā)生在每期之初或每期之末2022/7/10發(fā)生在期初年金的 終值各期的終值求和得2022/7/10發(fā)生在期末年金的終值各期的終值求和得2022/7/10年金終值公式的一致表示 對(duì)發(fā)生在期初的年金，t取1，對(duì)發(fā)生在期末的年金，t取0。利用年金終值公式，得例 零存整取從年初開場(chǎng)，每月存入100元，按月息0.1425%復(fù)利記息，到年底的本利和是多少？解 這是期初發(fā)生的年金問題，本利和為其終值。其中2022/7/10年金的現(xiàn)值由現(xiàn)值公式年

5、金的現(xiàn)值為對(duì)發(fā)生在期初的年金，t取1，對(duì)發(fā)生在期末的年金，t取0。例 房屋抵押貸款某人貸款購(gòu)房，采用等額本息還款，假設(shè)借款70萬元，20年還清，月利率為0.63%，每月應(yīng)還款多少？2022/7/10解 每月末的還款可視作發(fā)生在期末的年金，其現(xiàn)值等于貸款總額，由現(xiàn)值公式解得2022/7/10投資決策投資報(bào)答率記號(hào)：投資I(元);投資行為終了時(shí)回收V(元,稱為毛收益);凈收益f(元),扣除本金后的收益， f=V-I.定義：?jiǎn)挝煌顿Y的凈收益為投資報(bào)答率，記為R對(duì)于期限一樣的不同投資方案，可根據(jù)它們的投資報(bào)答率大小來判別工程的優(yōu)劣。2022/7/10有第二項(xiàng)報(bào)答率高，優(yōu)于第一項(xiàng)投資。例 有兩套房產(chǎn)，一

6、套報(bào)價(jià)100萬，據(jù)評(píng)價(jià)3年后升值為110萬；另一套報(bào)價(jià)50萬，3年后值58萬。哪項(xiàng)投資更優(yōu)？解 分別記兩項(xiàng)投資的投資額、毛收益、凈收益、報(bào)答率為：2022/7/10復(fù)雜投資決策舉例例 某藥廠貸款進(jìn)展技術(shù)改造，有兩種方案：方案1：投資100萬元購(gòu)買新設(shè)備，每年年末可增收20萬元；方案2：投資80萬元更新設(shè)備，每年初可節(jié)省16萬元的檢修費(fèi)； 假設(shè)這些設(shè)備均可運(yùn)用8年，銀行貸款利率為9%，哪個(gè)方案經(jīng)濟(jì)效益更好？對(duì)投資期限不同的投資，需根據(jù)貨幣時(shí)間價(jià)值的觀念詳細(xì)問題詳細(xì)分析。解 比較8年后的收益。 方案1：投資100萬元8年后的價(jià)值為萬元2022/7/108年后增收的終值為萬元凈收益為萬元方案2：投資

7、8年后的價(jià)值為萬元 8年后節(jié)省檢修費(fèi)的終值為萬元2022/7/10方案2的凈收益為萬元所以方案2優(yōu)于方案1。例 某廠試制新產(chǎn)品，投產(chǎn)后每年末可添加收益10萬元，為消費(fèi)該產(chǎn)品須添加某些設(shè)備，假設(shè)購(gòu)置需一次付款25萬元；假設(shè)租賃這些設(shè)備，每年初付租金3.3萬元。假設(shè)廠方用貸款措籌資金，貸款復(fù)利年利率為9.8%設(shè)設(shè)備的壽命為10年，哪一方案更好？萬元解 用現(xiàn)值的觀念討論。10年每年末增收10萬元的現(xiàn)值為2022/7/10購(gòu)置設(shè)備或租賃設(shè)備凈收益的現(xiàn)值分別為萬元萬元萬元方案2更好。每年初付租金的現(xiàn)值為：2022/7/10現(xiàn)金流對(duì)于存在多次投資、多次收益且運(yùn)用貸款的復(fù)雜投資那么普通先構(gòu)造投資期限內(nèi)的現(xiàn)金

8、流F0, F1, Fn,Fi0:收益金額， Fi0:投資金額，i=0,n例：某廠試制新產(chǎn)品，投產(chǎn)后每年末可添加收益10萬元，為消費(fèi)該產(chǎn)品須添加某些設(shè)備，需一次付款25萬元,設(shè)設(shè)備的壽命為10年.那么該項(xiàng)投資的現(xiàn)金流為： -25,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10例：房地產(chǎn)開發(fā)的現(xiàn)金流2022/7/10內(nèi)部收益率設(shè)某項(xiàng)投資的現(xiàn)金流為 F0, F1, Fn,那么稱方程的解為該項(xiàng)投資的內(nèi)部收益率，是比較投資方案的重要根據(jù)例：有兩個(gè)投資方案方案1：投資41萬，每年收益5萬，延續(xù)10年；方案2：投資32萬，每年收益5萬，延續(xù)14年；比較投資收益2022/7/10解：方案1的現(xiàn)金流為 -41,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,對(duì)應(yīng)方程等價(jià)于：采用近似計(jì)算如二分法，可解得y=3.78%2022/7/