1、第五章 隨機變量的數(shù)字特征 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性，但在一些實際問題中，只需知道隨機變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù). 評定某企業(yè)的經(jīng)營能力時，只要知道該企業(yè)人均贏利水平；例如： 研究水稻品種優(yōu)劣時，我們關心的是稻穗的平均粒數(shù)及每粒的平均重量； 檢驗棉花的質(zhì)量時，既要注意纖維的平均長度，又要注意 纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度越長、偏離程度越小，質(zhì)量就越好; 考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高，還要看他彈著點的范圍是否小，即數(shù)據(jù)的波動是否小. 由上面例子看到，與隨機變量有關的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量，但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特

2、征 , 這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.隨機變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字來描寫 隨機變量的平均取值 數(shù)學 期望 隨機變量取值平均偏離平均值的 情況 方差 描述兩個隨機變量之間的某種關 系的數(shù) 協(xié)方差與相關系數(shù)本章內(nèi)容概率統(tǒng)計與隨機過程習題解集,15元1本,以班為單位自愿購買, 購書地點主樓208,購書時間:每天晚上:7點-9點 5.1 隨機變量的數(shù)學期望加 權 平 均初賽復賽決賽總成績算術平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75勝者甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:673.7 70.0 66.873.2 70.1 67.8甲 乙 乙引

3、例1 甲乙兩學生參加數(shù)學競賽, 觀察其勝負引例2 測量 50 個圓柱形零件直徑（見下表） 則這 50 個零件的平均直徑為尺寸（cm）8 9 10 11 12數(shù)量（個）8 7 15 10 10 50換一個角度看，從這50個零件中任取一個零件，它的尺寸為隨機變量X , 則X 的概率分布為X P 8 9 10 11 12則這 50 個零件的平均直徑為稱之為這 5 個數(shù)字的加權平均，數(shù)學期望的概念源于此定義1 設 X 為離散型隨機變量，其概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則稱其和為隨機變量 X 的數(shù)學期望記作 E( X )數(shù)學期望的定義定義2 設 X 為連續(xù)型隨機變量, 其密度函數(shù)為若廣義積分絕對收斂，則

4、稱此積分為隨機變量 X 的數(shù)學期望記作 E( X ) 隨機變量的數(shù)學期望的本質(zhì) 加 權 平 均，它是一個數(shù)不再是隨機變量例1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解常見隨機變量的數(shù)學期望分布期望概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(, 2)注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學期望例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學期望不存在 設X 為離散型隨機變量，概率分布為Y = g(X ), 若級數(shù)絕對收斂，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 設X 為連續(xù)型隨機變量，密

5、度函數(shù)為f (x)Y = g(X ), 絕對收斂，則若廣義積分 設(X ,Y )為二維離散型隨機變量，概率分布為Z = g(X ,Y ),絕對收斂，則若級數(shù) 設(X ,Y )為二維連續(xù)型隨機變量， 密度函數(shù)為 f (x ,y)Z = g(X ,Y ), 絕對收斂，則若廣義積分幾個重要的隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 X 的 k 階原點矩 X 的 k 階絕對原點矩 X 的 k 階中心矩 X 的 方差 X ,Y 的 k + l 階混合原點矩 X ,Y 的 k + l 階混合中心矩 X ,Y 的 二階原點矩 X ,Y 的二階混合中心矩 X ,Y 的協(xié)方差 X ,Y 的相關系數(shù)例4 設二維連續(xù)型隨機變量(X

6、,Y )的密度函數(shù)為求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解 數(shù)學期望的性質(zhì)數(shù)學期望的性質(zhì)注意：X ,Y 相互獨立例5 設 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的數(shù)學期望.解解 (1) 設整機壽命為 N , 五個獨立元件, 壽命分別為都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，若將它們 (1) 串聯(lián)； (2) 并聯(lián)成整機，求整機壽命的均值. 例6即 N E( 5), (2) 設整機壽命為 可見，并聯(lián)組成整機的平均壽命比串聯(lián)組成整機的平均壽命長11倍之多.例7 設X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互獨立，求 E (max(X ,Y )

7、. 解D1D2其中 稱為 概率積分一般地，若X ,Y 相互獨立，則所以 市場上對某種產(chǎn)品每年的需求量為X 噸 ， X U 2000,4000 , 每出售一噸可賺3萬元 , 售不出去，則每噸需倉庫保管費1萬元，問 應該生產(chǎn)這中商品多少噸, 才能使平均利潤 最大？解設每年生產(chǎn) y 噸的利潤為 Y 顯然，2000 y 4000例8顯然，故 y = 3500 時，E (Y )最大， E (Y )= 8250萬元例9 假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 X (mm) N ( ,1). 已知銷售每個零件的利潤T (元)與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下的關系：問平均直徑 為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？解即

8、可以驗證，零件的平均利潤最大故時銷售一個 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 當X ,Y 相互獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在常數(shù) a 使 P(X a) = 1, 則 E (X ) a ； 若存在常數(shù) b 使 P(X b) = 1, 則 E (X ) b.數(shù)學期望的性質(zhì)性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互獨立反例 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注X Y P -1 0 1但反例 2但 設 X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 分布函數(shù) 為 F (x), 則故證 性質(zhì)5例10 將 4 個可區(qū)分的球隨機地放入 4 個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子數(shù)的數(shù)學期望. 解一 設 X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分布為X P0 1 2 3解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4Xi P 1 0 為普查某種疾病, n 個人需驗血, 可采用兩種方法驗血： 分別化驗每個人的血, 共需化驗 n 次；(2) 將 k 個人的血混合在一起化驗，若化驗結(jié) 果為陰性, 則此 k 個人的血只需化驗一次； 若為陽性, 則對 k 個人的血逐個化驗，找 出有病者, 這時 k 個人的血需化驗