1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（ ）A橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D橫坐標伸長到原來的

2、2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度2已知函數(shù)的值域為，函數(shù)，則的圖象的對稱中心為（ ）ABCD3我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質(zhì)數(shù)）的和”，如，在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（ ）ABCD以上都不對4已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（ ）ABCD5在邊長為2的菱形中，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD6為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐

3、標原點，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD7將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）ABCD8在中，若，則實數(shù)( )ABCD9已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB復數(shù)的共軛復數(shù)是CD10已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD11已知雙曲線：的左右焦點分別為，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD12已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD二、填空

4、題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則_。14某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二 人、高三人中，抽取人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_15已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_16滿足約束條件的目標函數(shù)的最小值是 . 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設，其中（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值18（12分）已知函數(shù)（，），.（）討論的單調(diào)性；（）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明

5、：當時，.（3）證明：當時，.20（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，求的面積最小值.21（12分）橢圓：的離心率為，點 為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數(shù)，直線的斜率之積為定值.22（10分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，（）求與平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

6、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將 向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.2B【解析】由值域為確定的值，得，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為，又依題意知的值域為，所以 得，所以，令，得，則的圖象的對稱中心為.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù) 的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標錯寫為03A【解析】首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概

7、型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有，共個，從這個素數(shù)中任選個，有種可能；其中選取的兩個數(shù)，其和等于的有，共種情況，故隨機選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.4A【解析】根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，所以雙曲線方程為.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5D【解析】取AC中點N，由題意得即為二面角的平面角，過點B作于O，易得點O為的中心，則三棱

8、錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，列出方程即可得解.【詳解】如圖，由題意易知與均為正三角形，取AC中點N，連接BN，DN，則，即為二面角的平面角，過點B作于O，則平面ACD，由，可得，即點O為的中心，三棱錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，,解得，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.6D【解析】過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作

9、，設該雙曲線的右焦點為，連接.，.， ，為的中點，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7A【解析】根據(jù)y=Acos（x+）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，根據(jù)定義域求出的范圍，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的取值范圍【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，周期，若函數(shù)在上沒有零點， ， ，解得，又，解得，當k=0時，解，當k=-1時，可得，.故答案為：A.【點睛】本題考查函數(shù)y=Acos

10、（x+）的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關系式，求解可得，屬于較難題.8D【解析】將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.9D【解析】首先求得，然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù)，則，所以A選項不正確；復數(shù)的共軛復數(shù)是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)，復數(shù)的模，復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識；考查

11、運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.10A【解析】解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關系，結(jié)合數(shù)軸進行求解即可.【詳解】，.因為，所以有，因此有.故選：A【點睛】本題考查了已知集合運算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學運算能力.11D【解析】 由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，設，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)

12、化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)12B【解析】由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，為的中點，.，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由已知求，再利用和角

13、正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式與和角的正切公式。14【解析】由分層抽樣的知識可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應填答案150.08【解析】先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得，故答案為：0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差，明確方差的計算公式是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16-2【解析】可行域是如圖的菱形ABCD，代入計算，知為最小.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）1（2）1【解析】分析：（1）當時可得，可得.（2）先得到關系式，累乘可得，從而可得，即為

14、定值詳解：（1）當時，又，所以. （2） 即，由累乘可得，又，所以即恒為定值1點睛：本題考查組合數(shù)的有關運算，解題時要注意所給出的的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解由于運算量較大，解題時要注意運算的準確性，避免出現(xiàn)錯誤18（）見解析 （）【解析】（）求導得到，討論和兩種情況，得到答案.（）變換得到，設，求，令，故在單調(diào)遞增，存在使得，計算得到答案.【詳解】（）（），當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（）（），即，（）.令（），則，令，故在單調(diào)遞增，注意到，于是存在使得，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上知，.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，意在考查學生對于導數(shù)知識

15、的綜合應用能力.19（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）求出的定義域，導函數(shù)，對參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設函數(shù)，求導說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域為，當，時，則在上單調(diào)遞增；當，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當，時，則在上單調(diào)遞減；當，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設函數(shù)，則.因為，所以，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當時，.由（1）知，所以，即.當時，則，即，又，所以，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含

16、參函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.20（1）；（2）16.【解析】（1）將極坐標方程化為直角坐標方程即可；（2）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標方程，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出的面積最小值.【詳解】（1）曲線：，即化為直角坐標方程為：；（2），即同理當且僅當，即（）時取等號即的面積最小值為16【點睛】本題主要考查了極坐標方程化直角坐標方程以及極坐標的應用，屬于中檔題.21（1）；（2）證明見解析【解析】（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，進而得到橢圓方程；（2）設直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值【詳解】（1）因為，所以， 又橢圓過點， 所以 由，解得所以橢圓的標準方程為 .（2）證明 設直線：， 聯(lián)立得， 設，則 易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題22 (1) .(2) .【解析】分析：（1）直接建立空間