1、民辦學(xué)校與薄弱學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實踐的比較以銳角的三角比的意義為例上海市西南位育中學(xué)何軼琳一、教學(xué)選題背景在之前的三角形及相似三角形學(xué)習(xí)中，我們主要從定性方面研究三角形或兩個三角形的特征和性質(zhì)。而銳角的三角比這部分內(nèi)容，主要從定量方面研究直角三角形。銳角的三角比是三角學(xué)的基礎(chǔ)。直角三角形中的邊角之間的數(shù)量關(guān)系，主要通過三角形內(nèi)角和定理、勾股定理和銳角的三角比來表述。有了這些數(shù)學(xué)工具，我們就能解決生活實際中的許多問題，如測量物體的高、測量兩點(diǎn)的距離、有關(guān)斜坡的計算、工件設(shè)計中的計算等等。解直角三角形是解任意三角形的基礎(chǔ)，銳角的三角比的概念是三角函數(shù)概念的準(zhǔn)備，因此銳角三角比這一章是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要

2、基礎(chǔ)。教師是民辦中學(xué)的初中數(shù)學(xué)老師，由于強(qiáng)校工程的需要，來到區(qū)里成績排名相對靠后的一所公辦初中任教初三，在教學(xué)上遇到了許多新的問題與挑戰(zhàn)，因此，以一節(jié)在此公辦初中教授的概念課為例，來探討民辦學(xué)校與薄弱學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與實踐的比較。二、教學(xué)設(shè)計與實踐【教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析】【教學(xué)目標(biāo)】1、知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時，它的對邊與鄰邊的比值都不變；2、能根據(jù)正切、余切概念正確進(jìn)行計算；3、體會轉(zhuǎn)化思想，初步形成由特殊到一般的演繹推理能力。【解析】第一條目標(biāo)的達(dá)成，有助于學(xué)生在解題時轉(zhuǎn)化問題，將要求的三角比轉(zhuǎn)化成相等角的三角比，但對薄弱學(xué)校的一些學(xué)生來說，只要求他們知道“角等，比值等”的結(jié)論，并且會將

3、這個結(jié)論用在習(xí)題中，而并不要求他們都能理解；第二條是最基本的要求，也是本節(jié)課的主要目標(biāo)，對于薄弱學(xué)校的學(xué)生更是重點(diǎn)要達(dá)成的；第三條目標(biāo)是在教學(xué)過程中自然而然形成的，對于學(xué)生來講，體會轉(zhuǎn)化思想不難，形成由特殊到一般的演繹推理能力因人而異?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)與難點(diǎn)解析】【重點(diǎn)難點(diǎn)】理解正切余切概念，并正確進(jìn)行計算。【解析】很多民辦初中的學(xué)生，已經(jīng)提前學(xué)習(xí)了銳角三角比的內(nèi)容，就算有些學(xué)生是第一次接觸，對他們來說這一課的概念和計算也是比較簡單的。但是對于薄弱學(xué)校的基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，理解并記憶概念就是難點(diǎn)，能根據(jù)概念正確計算更是難點(diǎn)?！緦W(xué)情分析與問題診斷】學(xué)生已經(jīng)具備了一定的運(yùn)算能力，并且已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形（包

4、括特殊直角三角形）的性質(zhì)及判定，其中角與角的關(guān)系（直角三角形兩銳角互余）、邊與邊的關(guān)系（勾股定理等）都是這節(jié)課甚至整個章節(jié)的基礎(chǔ)。教師根據(jù)平時教學(xué)的實際情況，比較兩所學(xué)校，發(fā)現(xiàn)對于民辦學(xué)校的學(xué)生，之前的基礎(chǔ)比較扎實，因此在教授本課時，只要將重點(diǎn)放在新的知識點(diǎn)上，有些關(guān)鍵的地方再加以強(qiáng)調(diào)即可。而且民辦學(xué)校的學(xué)生確實能力較強(qiáng)，對于新知的理解、記憶和運(yùn)用，能比較快地掌握。但是對于薄弱學(xué)校的學(xué)生，這些就沒有如此輕而易舉了。因此，教師認(rèn)為，對于薄弱學(xué)校的學(xué)生，不僅要關(guān)注本節(jié)課的知識點(diǎn)講授，還同時要復(fù)習(xí)到與這節(jié)課相關(guān)的其他知識，也就是說教師在教學(xué)設(shè)計時要考慮得更詳盡，講解時要更細(xì)致，并能根據(jù)實際情況做出調(diào)

5、整。【教學(xué)過程設(shè)計與實踐】（一）復(fù)習(xí)引入 1. 如圖，在RtABC中，C=90，（1）AB是_邊, _是直角邊；直角邊中，_是A的對邊，_是A的鄰邊.教師：A的鄰邊是指與A相鄰的直角邊.教師在黑板上畫出RtABC，并標(biāo)出斜邊、A的對邊、A的鄰邊.【設(shè)計意圖】對學(xué)生來說，直角三角形中斜邊、直角邊的概念并不陌生。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生明確某個銳角的對邊和鄰邊的概念，這對整節(jié)課的學(xué)習(xí)非常重要。A、B、C所對的邊分別記為_，則三邊的數(shù)量關(guān)系為_.復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理，教師寫在黑板上.【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)用單個字母表示三角形的三邊，這也是習(xí)題中常見的表示方式；復(fù)習(xí)勾股定理，該定理在之前的學(xué)習(xí)中也有應(yīng)用，并且在

6、這節(jié)課以及之后求銳角的三角比、解直角三角形中，都是重要的解題工具；勾股逆定理對于一些基礎(chǔ)較弱的學(xué)生來說已經(jīng)遺忘，而本節(jié)課的例題中需要用到這個知識點(diǎn)，放在此處復(fù)習(xí)也為了做一個鋪墊。（2）C是_角, A、B是_角；A、B的數(shù)量關(guān)系為_.教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中，邊、角、邊與邊、角與角的相關(guān)知識點(diǎn)，今天這節(jié)課我們重點(diǎn)研究邊與角之間的關(guān)系，教師寫在黑板上.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生知道這節(jié)課的研究重點(diǎn)，銳角的三角比是對直角三角形的進(jìn)一步研究，體會學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性和有序性。2RtABC中，C=90o，（1）A=45o，則A的對邊與鄰邊比=_.教師：隨著三角形的放大與縮小，它的邊、周長、面積發(fā)生變化，但是不變

7、的是45角以及與這個角相關(guān)的比值.教師拿出大小不等的等腰直角三角形紙片，貼在黑板上展示，并讓學(xué)生說明推導(dǎo)過程.（2）若A=60o呢？（3）一般地，當(dāng)A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與鄰邊的比是否也是一個定值？【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)等腰直角三角形、含30的直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn)，從特殊的45、60角出發(fā)，讓學(xué)生探索并得到，當(dāng)銳角的角度一定時，它的對邊比鄰邊是一個定值這個重要結(jié)論，在探索的過程中，讓學(xué)生體會從特殊到一般的思考方法。BBCCA（二）新課探索1如圖：RtABC與RtABC，C=90，A=，那么與有什么關(guān)系？為什么？教師：比值是定值，也就是=.學(xué)生：由ABCABC可得. 結(jié)論：在直角三角形中

8、，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，A的對邊與鄰邊的比是一個_.教師板書1：角定，比值定.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生將探索得到的結(jié)論加以證明，并將結(jié)論簡化成五個字角定，比值定，讓學(xué)生能快速記憶。同時，自然引出這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的新知。教師：既然這個比值這么特殊，我們就給它下個定義.CAB2如圖 ，RtABC中，C90，A的對邊（ ）與A的鄰邊（ ）的比值叫做A的 ，用 表示，即tan A.教師板書2:兩個定義，并說明取英文tangent的前三個字母，注意書寫格式：tanA、tan、tanBAC、tan1.問：當(dāng)A一定時，它的鄰邊比對邊是否也是定值呢？顯然是，因此也給它下一個定義.同樣在直角三角形

9、中，一個銳角A確定后，此角的鄰邊與其對邊的比也是一個確定的值，我們稱此比值為銳角A的 ，用 表示，即：cot A=.【設(shè)計意圖】用填空的形式給出概念，將重點(diǎn)和易混淆的地方留給學(xué)生填寫，加深印象。結(jié)論：銳角A的正切和余切的關(guān)系：_.問：如何得到這個結(jié)論？學(xué)生簡單說明.教師板書3：tanAcotA=1.例1、在直角ABC中，C90o,AC12，BC7， 求tan A、cot A、tanB 和cot B的值.教師提醒學(xué)生，養(yǎng)成邊讀題邊標(biāo)記的習(xí)慣，明確格式：先寫什么？為什么要寫？答：先寫C=90，根據(jù)定義，要求的是銳角的對邊和鄰邊的比值，即兩條直角邊.教師：C=90這句說明了AC、BC就是直角邊；另外

10、，要先寫tanA=哪兩條線段比，再代入數(shù)據(jù).教師帶著學(xué)生做，并板書過程.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明確格式，緊扣定義，再次鞏固新知，并引出思考。思考：在上題中，在同一個直角三角形中，B是A的余角，那么它們的正切、余切值之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？學(xué)生：tanA=cotB，cotA=tanB；教師寫下結(jié)論.問：沒有兩條直角邊具體等于多少的數(shù)據(jù)，結(jié)論還成立嗎？為什么？答：成立.BC既是A的對邊，也是B的鄰邊，AC既是A的鄰邊，也是B的對邊，所以根據(jù)定義BC:AC=tanA=cotB，與AC、BC的長度無關(guān).【設(shè)計意圖】讓學(xué)生思考并再次鞏固定義，得到的結(jié)論也為下面的例題做了鋪墊。例2、如圖，在ABC中，ABCD（

11、1）ADBC于D，AD4，BD6，CD2，求cot C，tan B的值.學(xué)生做后講，教師板書cotC的求解過程.問：求cotC，放在哪個三角形中？tanB呢？學(xué)生齊答，教師板書分析過程:cotCRtACDAD，CD已知tanBRtABDAD，BD已知問：勾股定理可求AC、BC，tanB=AC:BC對嗎？為什么不對？關(guān)鍵：根據(jù)定義，找Rt三角形，兩邊.教師板書.提醒：這節(jié)課的兩邊都是直角邊，但之后還牽涉到斜邊，所以一定要清楚定義，找對邊.【設(shè)計意圖】與例1相比，提升了一些難度，ABC中添了一條線，出現(xiàn)了三個三角形，需要學(xué)生找對三角形。此題先要通過ADBC得到90，才能求相關(guān)的三角比。并且這題中的

12、BAC并不是90，通過教師的設(shè)問，讓學(xué)生在此明確求解的關(guān)鍵，還是根據(jù)定義。（2）AB=3,AC=1,BC=，求cot A，tan B的值.問：沒有90，怎么辦？答：證90，勾股逆定理問：哪個角是90？如何判斷？答：AB=3是最長邊，勾股逆定理可證.畫正確草圖.例2小結(jié)：根據(jù)定義，求某個角的三角比，要找到該角所在的直角三角形和相關(guān)的兩邊.【設(shè)計意圖】與例2第（1）小題相比，又提升了一些難度，第（2）小題需要根據(jù)三邊的長度，證得三邊構(gòu)成的是直角三角形，進(jìn)而再次重申強(qiáng)調(diào)，求三角比要在直角三角形中解決。ABCD例3、如圖，在RtABC中，C90，（1）CDAB，垂足為D，BC=5，CD=4，求tan

13、A的值.基本型：子母三角形.學(xué)生講方法，教師分析總結(jié)，并板書：方法一：直接求tanARtACDCD=4，AD=？ADCCDB或者 RtABCBC=5，AC=？相似方法二：間接求tanA=tanBCDA=BCD（why？角定，比值定）RtBCD（BD=3勾股可求，CD=4）或者 tanA=BC:AC=cotB=BD:CDRtCDBRtABC小結(jié)：直接求：根據(jù)定義；間接求：轉(zhuǎn)化：找等角或互余角【設(shè)計意圖】此題與例2第（1）小題的圖看上去一樣，但是加了ACB=90這個條件，因此出現(xiàn)了上一章相似三角形中常見的基本型：子母三角形，因此解題的方法就變多了。學(xué)生一般會先講間接求解的方法，因為此題間接求比較簡

14、單，兩種間接求解的方法正好復(fù)習(xí)了一開始“角定，比值定”的歸納結(jié)論，以及例1所得的互余角正切、余切值關(guān)系的總結(jié)。而直接求解的方法中，也再次復(fù)習(xí)了子母三角形證的三對直角三角形的相似。ABCDE（2）點(diǎn)E在AC上，EDAB，垂足為D，BC=3，AC=4，求tanAED的值.問：可以直接求嗎？分析：tanAEDRtAEDED、AD=？三邊不可求間接求:（方法一老師引導(dǎo)，方法二、三可讓學(xué)生嘗試講）方法一：ED:AD可求嗎？ED:AD=BC:AC比值可求相似方法二：等角AED=BtanAED=tanB可求方法三：余角AED=90-AtanA=BC:AC可求小結(jié)：直接求：有時不可求；那就間接求：還可以找相似

15、三角形的等線段比.【設(shè)計意圖】將第（1）小題圖形中斜邊上的高稍稍左移，使得ADE三邊不可解，所以無法根據(jù)定義直接求tanAED。除了第（1）小題兩種間接求解的方法之外，重點(diǎn)講間接求的第一種方法：證相似三角形，找到相等的線段比。通過例3的（1）（2）兩小題，教會學(xué)生分析解決問題的基本方法，思考問題的有序性條理性，體會轉(zhuǎn)化的思想。（三）課堂小結(jié)這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？1、正切、余切的定義2、如何求正切、余切值（1）直接求，根據(jù)定義，找Rt，兩邊（2）間接求，找等角，余角，或相似三角形的等線段比3、思想方法（1）轉(zhuǎn)化（2）特殊到一般學(xué)生講，教師補(bǔ)充總結(jié)，并板書.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生重新回顧整節(jié)課的內(nèi)容，梳理

16、知識點(diǎn)，把握重點(diǎn)難點(diǎn)，并將所學(xué)的求解三角比的幾種方法歸納整理，同時體會在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科，乃至生活中分析解決問題的兩種重要基本方法。（四）作業(yè)布置【教學(xué)過程設(shè)計與實踐解析】在復(fù)習(xí)引入部分，教師特別設(shè)計了直角三角形的邊、角、邊與邊、角與角相關(guān)知識的復(fù)習(xí)，為的就是讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確地說出一些概念、運(yùn)用一些定理。同時，教師設(shè)計了在直角三角形中求45角和60角的對邊比鄰邊的值，以此來引入問題，當(dāng)角為某個定值時，相關(guān)對應(yīng)邊的比值是否也是定值呢？教師在第一個班級授課時，有幾個同學(xué)說不是，而且也沒有人提出反對意見。教師只能換一種方式，畫上圖形，重新提問，在兩個直角三角形中，都含有一個角等于，這兩個角的對邊比鄰邊的

17、值是否相等呢？這樣學(xué)生才覺得是一樣的。由此比較艱難地引出新課。所以在第二次教學(xué)時，教師準(zhǔn)備了大小不等的幾種直角三角形紙片，貼在黑板上展示，并且也用不同的方式解釋了引入新課的問題。另外，在講解本節(jié)課的例2時，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生在回答問題時暴露出，還沒有正確地掌握正切余切值的概念，并且在計算和化簡的過程中也有不少的問題。所以教師及時做出調(diào)整，重新強(qiáng)調(diào)概念，并對如何分母有理化的方法進(jìn)行具體說明。三、目標(biāo)檢測設(shè)計1、在RtABC中，C=900，AC=3，BC=4，那么的正切值是( ).（A） （B） （C） （D）【設(shè)計意圖】考察正切值的定義。2、已知為銳角,且，則_.【設(shè)計意圖】考察正切、余切值的定義，及它

18、們之間互為倒數(shù)的結(jié)論。3、在RtABC中，則的長是_【設(shè)計意圖】考察余切值的定義，讓學(xué)生體會將兩條直角邊和一個三角比中兩個作為已知條件，則一定可得第三個，即“知二求一”的確定性。4、如圖，在RtABC中，為垂足，若，則_【設(shè)計意圖】考察正切、余切值的定義以及勾股定理，讓學(xué)生嘗試在基本型中找到不同的求解方法，體會轉(zhuǎn)化的思想方法。5、如圖,矩形中,求.【設(shè)計意圖】主要考察正切值的定義、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等，有些學(xué)生會想到構(gòu)造直角三角形，有些學(xué)生會想到“角平分線、平行線、等腰三角形，知二求一”的基本型，則可在已有的RtBCE中解決。而這兩種方法都需要轉(zhuǎn)化角?！灸繕?biāo)檢測設(shè)計解析】第1、2、3題

19、屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)該要力求所有學(xué)生掌握。第4、5題屬于中檔題，對民辦學(xué)校的學(xué)生，這些應(yīng)該是比較簡單的題目，在這些題目之后還應(yīng)該有一些更難的提高題。但是對于薄弱學(xué)校的大部分學(xué)生，做到第5題的難度就差不多了，再難的題目只會讓學(xué)生望而卻步，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。四、課后反思本節(jié)課的設(shè)計富有層次性。概念的引入部分，采用了探究問題從特殊到一般的基本思想，從求45、60角的三角比出發(fā)，讓程度較弱的學(xué)生能夠比較好上手，從而猜測“角定，比值定”的結(jié)論。此外，例題的設(shè)計也從易到難。例1直接給出90和兩條直角邊的值，求兩個銳角的三角比；例2需要證90，第（1）小題的直角三角形比較好找，第（2）小題需要用到勾股逆定理，稍有一些難度；例3的第（1）小題是三個直角三角形組成的子母三角形，第（2）小題是它的變形。圖形在由簡到繁的變化過程中，解題的方法也呈現(xiàn)出多樣性。然而，本由于節(jié)課的教學(xué)面對的是基礎(chǔ)較差的學(xué)校的學(xué)生，因此定義和基本解法的落實顯得更為重要。教師在向?qū)W生提問例2的過程中，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生還沒有將tanA、A的正切值、A的對邊比鄰邊，這些等價起來。說明對于有些程度較弱的學(xué)生，定義的落實還不太到位。因此對于本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計有以下改進(jìn)方案：首先，在例1前可以加入