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1、第一學期第二十九次課第五章 1雙線性函數(shù)5.1.1線性空間上的線性函數(shù)的定義1、線性函數(shù)的定義定義 設(shè)為數(shù)域上的線性空間，為映射，滿足；，則稱為由到的一個線性函數(shù)（即為到的一個線性映射）。如同一般的線性映射，有以下事實：i）、是線性函數(shù)當且僅當；ii）、；iii）、。命題 數(shù)域上的維線性空間上的線性函數(shù)的全體關(guān)于函數(shù)加法和數(shù)乘構(gòu)成上的維線性空間。證明 容易證明數(shù)域上的維線性空間上的線性函數(shù)的全體關(guān)于函數(shù)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間。定義線性函數(shù)，使得對于的某一組基，。則可以驗證構(gòu)成上述線性空間的一組基。定義 由數(shù)域上的維線性空間上的線性函數(shù)的全體構(gòu)成的線性空間稱為的對偶空間，記為；5.1.2雙線性函

2、數(shù)1、雙線性函數(shù)的定義定義 設(shè)為數(shù)域上的線性空間，為映射，滿足i）、；ii）、，其中。則稱為上的一個雙線性函數(shù)。2、雙線性函數(shù)在給定基下的矩陣設(shè)為上的一組基，為雙線性函數(shù)，設(shè)；，則定義 上述稱為雙線性函數(shù)在下的矩陣。引理 設(shè)有集合即映射和，若為恒同映射，則單且滿。推論 和同上，若且，則與是一一對應（雙射）。命題 設(shè)為線性空間的一組基，定義映射和和則和是一一對應。證明 由于和在處取值相同，由雙線性，得到，是恒同映射；又有，于是由引理可知，為一一對應。證畢。命題 數(shù)域上的維線性空間上的雙線性函數(shù)的全體關(guān)于函數(shù)加法和數(shù)乘構(gòu)成上的維線性空間（與M作為上線性空間同構(gòu)）。3、雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣設(shè)和為的兩組基，為一個雙線性函數(shù)，設(shè)在這兩組基下的矩陣分別為和，又設(shè)從到的過渡矩陣為，即，設(shè)和在下的坐標分別為和，則和在下的坐標分別為和則雙線性函數(shù)與矩陣一一對應，于是有：命題 設(shè)線性空間上的雙線性函數(shù)在一組基下的矩陣為，由基到基的過渡矩陣為，則在下的矩陣為. 4、矩陣的合同定義 設(shè)，若存在可逆矩陣，使得，則稱合同于。命題 合

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