1、第八章矩陣特征值與特征向量的計算同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系計算數(shù)學(xué)教研室矩陣特征值問題:給定n階方陣A G Rnxn，尋找常數(shù)入G C和非零向量x G Cn,使得Ax =入 x,其中C和C分別表示復(fù)數(shù)域和n維復(fù)向量空間。特征多項式與特征方程det(A XI) = 0特征多項式與特征方程det(A 入 /) = 0線性代數(shù)中介紹方法：求解特征方程，得到矩陣A的所有特征值；求解齊次方程(A Xi/)x = 0,得到入所對應(yīng)的特征向量特征多項式與特征方程det(A 入 /) = 0線性代數(shù)中介紹方法：求解特征方程，得到矩陣A的所有特征值；求解齊次方程(A Xi/)x = 0,得到人所對應(yīng)的特征向量. , HYP

2、ERLINK l bookmark2 o Current Document (1), !例1.11 0 2 計算矩庫0 1 -1的全部特征值。111 _解:矩陣A/r1入 op（入）=det（A 入/） = det f I 01 =（1 入）（入2 2 入 + 4）.矩陣A的特征值為p（入）=0的解，即入1 = 1,入2,3 :定理1.1若入i(i = 1, 2,，n)是矩陣A的特征值，則有nn(1)力人=tr(A),其中tr(A)=力表示矩陣A的跡;i=1i=1nn人 =det(A)。i =1定理1.1若入i(i = 1, 2,，n)是矩陣A的特征值，則有nn(1)力人=tr(A),其中tr

3、(A)=力表示矩陣A的跡;i=1i=1nn人 =det(A)。i =1定義1.1A, B n ，若存在可逆矩陣P,使得P-1AP = B,則稱A B定理1.2若矩陣A與矩陣B相似，則A與B具有相同的特征值定理1.3(Gerschgorin丿設(shè)A = (aj)”xn,則A的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中n| 入aii1 W 1 aij1,i = 1, 2, ,n,j =1j=in其中式 HYPERLINK l bookmark3 o Current Document 表示復(fù)平面上以an為中心，以刀|aj|為半徑的圓盤。j=1,j =i例1.2411,圓盤定理中的圓盤為:對于矩陣 0 2 12

4、 0 9Ri = 入 G Z : |入4| 2R2 = 入 G Z : |入2| 冬 1R3 = 入 G Z : |入9| 冬 2例1.2_4 1 1 _對于矩庫0 2 1,圓盤定理中的圓盤為:_ 2 0 9 _Ri = 入 G Z : |入一4| 2R2 = 入 G Z : |入一2| 18.48534.63181.88281.2前言特征值問題的基礎(chǔ)知識證:設(shè)入是4的任一特征值,x為其對應(yīng)的特征向量，即（A 入 / ）x = 0.X是特征向量，故X = （xi, X2,，Xn）T = 0。|xi| = max |Xj-1 =0,i個方程可得1y 入2 九為其全部特征值,則入n q W x)

5、Q入1,Vx = 0 G Rn;(2)入n = minx=0入 1 = maxx=0證： A,x（i）, x,x（n）A，即（x（i）, x（j）=n非零向量x都能表示為x = E aix, 且i=1(x,x)=(力 aix(i)，力 aix(i) I =力 a2,lWn1i n丿1i |入2 22 I入n|.乘幕法是一種計算矩陣按模最大特征值的方法，該方法簡單有效 并能給出對應(yīng)的特征向量。為應(yīng)用乘幕法，需要對實矩陣A做如下假設(shè)：nx，i = 1,2,，n;Ax()=入ix(i),入/足I入1| |入2 22 I入n|.算法描述(未考慮停止迭代條件)v(0) G Rn；v(k+1)= Av(k

6、)迭代計算。2.1幕方法乘幕法例2.1 12 6 -6 用乘幕法計算矩陣A =6 16 2的按模最大特征值及其-6 2 16 對應(yīng)的特征向量。:1.0, 0.5, -0.5T = 1.0 x 10-4。利用v（k+i）= Av（k 冷100000網(wǎng)1Z比乙Z09兀6乙7乙/09兀6乙7【60【8/980000lizKTS809iz96%【801?96%896憶0口L1000EizWTS8 乙 l09 8 乙 【09 9西乙 6刀9190009SWT20乙的乙6乙0乙的乙6乙8006Z9W96000Z199T2fc9Z9l- 9/91 80ZlO8ZTO9289*12乙6乙9 76乙9 帰6刀H

7、zSl2092*1206乙06乙7圧乙218【IGoGoOt0習(xí)丿丿3Ma191 乙 9_ 一乙91 9=0刮奇意垂談晝淞宙9-9 乙 I乙酚液譽涯液華譽17例2.112 6 -6 用乘幕法計算矩陣A =6162的按模最大特征值及其-6 2 16 對應(yīng)的特征向量。:入1代21.5440,對應(yīng)的特征向量為x(1) e 36784710912, 2925607232, 2925607232T.注：特征向量x(1)的分量隨著k的增大而不斷增大！算法2.1(原始乘幕法)給定初始非零向量v(0)及控制參數(shù)&v(1) = Av(), v(2) = Av(% vN v (1);jeM2 vj對k = 2,3

8、,-v(k+1) = Av(k);-Xk +1 = 工k+1 j EMk+ij +1)v(,(k)-errk+1 = | 入k+1 入k|；-當(dāng)errk+1 三時,;返回近似按模入k+1和近似特征向量v(k+1).Mk+1v(k)斤,Nk+1v(k)中非零分量的個數(shù)v()G Rnx,x，x(n)線性無關(guān)，故v(0)=力 ax(i) = a1x + a2x + anx(n).i=1v(k+l)= Av(k,v(k).v(k)走。Ax(i)=入ix(i),丿v (1)=Av()=入 gix + 入 2a2x + + 入” anx(n),v =Av (1)=入 faix + 入2a2x + + 疋

9、an x(n).一般地，由歸納法可得v(k)=Av(k-1)=入 1 a1x + 入 2 a2x + + 入叮 anx (”)=疋 aix(1) + (欝)k a2x + + (鬻)k anx().當(dāng)k充分大時，因為閉 1(i = 2, 3,n),所以 v(k) e 入 1 aix.于是v(k+1) e 入 1+1aix e 入iv(k).注意到v(k+1)= Av(k),則有Av(k)e A1v1 (k).v(k)A入i所 TOC o 1-5 h z v(k)jv(),(1)可V伙+1)二 v(k+1)(k)入 1 e jk廠或入 1 e n E jkT，刃)=.,k ,v（k冶,|入i|

10、1 或|入i| 1 或|入i| 1 或|入i| 1 時，v（k），:k J,“上溢和“下溢，/錯誤的結(jié)果。,先v（k）v（k）, imaxv（k）,u（k）=嚶幣.利用規(guī)范maxv（k丿化的方法可將向量u（k）的各個分量控制在-1,1.,v（k）= -2, 3, 5,1 丁，則 maxv1（k） = -5,u（k）= 0.4, 0.6,1, 0.2T.算法2.2( )(1)v(0)&入0v(0)；u(0) = v(0)/入;對k = 1, 2,-v(k+1)= Au(k);-入k+1v(k+1)的按模最大分量;-u(k+1)= v(k+1)/入k+1；-errk = | 入k+1 入k |；-

11、當(dāng)erg 時,；入k+1和近似特征向量u(k+1)例2.2用改進乘幕法計算例2.1中矩陣A的按模最大特征值及其對應(yīng)的特 征向量。:v(0) = 1.0, 0.5, -0.5t和控制參數(shù) = 1.0 x 10-4.入o = 1 和 u(0) = v(0).例2.2用改進乘幕法計算例2.1中矩陣A的按模最大特征值及其對應(yīng)的特 征向量。kv伙）入ku(k)01.0, 0.5, 0.51.00001.0000,0.5000, 0.5000118,13, 1318.00001.0000,0.7222, 0.7222220.6667,16.1111, 16.111120.66671.0000,0.7796

12、, 0.7796321.3548,16.9140,-16.914。21.35481.0000,0.7920, 0.7920421.5045,17.0886, 17.088621.50451.0000, 0.7947, 0.7947521.5358,17.1251, 17.125121.53581.0000, 0.7952, 0.7952621.5423,17.1327, 17.132721.54231.0000, 0.7953, 0.7953721.5437,17.1343, 17.134321.54371.0000, 0.7953, 0.7953821.5439,17.1346, 17.13

13、4621.54391.0000,0.7953, 0.7953921.5440,17.1347, 17.134721.54401.0000,0.7953, 0.7953例2.2用改進乘幕法計算例2.1中矩陣A的按模最大特征值及其對應(yīng)的特 征向量。:k = 9 時errg e,:A入 1 e 21.5440,x(1) e 1.0000,0.7953, -0.7953T.選定初始向量v(0),利用關(guān)系式u(k)= ma；V(k), v(k+l)= Au(k)，-列u(k)走。和v(k)去.v(0) = a1x + a2x + + an x(n), 故有u(0)=v(0)=ax + a2 x + an

14、 x (”)maxv(0)maxaix + &2X + + anX(n)v (1) = Ah(0)=入 iaix(1) + 入 2Q2X + 入 n anX(n)maxaix + a2X + + anX(n)一般地，(k )=入 1 QX + 入 2&2X + 入 n QnX(n)max入 1 aix + 入22X + X：anX(n)v(k+1)=Au(k)=入 1+1a1X(1)+ 入2+1Q2X(2) Hh 入n+1anx(n)max入 1 aix + 入 2 a2X + Xn an x(n)所以,a2 x +（牛）a2X +（牛）k+l （2）丄 丄（入n、a2X + 牛）u（k）=

15、aiX + （爲(wèi) maxaix + （尹） maxaix + （學(xué)） maxv（k）=入i哄、maxaix + （彳）kan X何k,anX（n）k+1an X 何kan X 何當(dāng)k充分大時，因為| 1（i = 2, 3,n）,所以xu（k+1）沁 u（k）沁）ma（小,maxv（k）沁入i.ixx（丿當(dāng)k充分大時，因為| 1(i = 2, 3,n),所以xu(k+1)沁 u(k)沁(-)-,maxv(k)沁入.maxx 從而(k+nv(k+1)Au(k)Au(k+1)u(k+1丿=.maxv(k)入 1入 1,maxv(k)入1的近似，u(k+1)可作為對應(yīng)的近似薛征由量。2.5幕方法源程序

16、function t,y = eigIPower(a,xinit,ep) v0 = xinit;tv,ti = max(abs(vO); lam0 = vO(ti);u0 = vO/lamO; flag = 0;while (flag=0)v1 = a*u0;tv,ti = max(abs(v1);lam1 = v1(ti);u0 = v1/lam1;err = abs(lam0-lam1);if (err |入n| 0.反幕法可用來計算非奇異矩陣的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征 向量。 TOC o 1-5 h z ,Anx ；Ax(i)=入ix(i),入/足|入1| 2 |入2 2 |入n|

17、0.因為 Ax =入x 3 A-1x =入-1x反幕法可用來計算非奇異矩陣的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征 向量。 TOC o 1-5 h z ,Anx ；Ax(i)=入ix(i),入/足|入1| 2 |入2 2 |入n| 0.因為Ax =入x今A-1x =入-1x所以A-1的特征值滿足I入-11 |A-1| 冬- |入n| 0.因為Ax =入x今A-1x =入-1x所以A-1的特征值滿足I入-11 |A-1| |入-1|.A-1M 及x(n)A入 n = “-1 及x (叭算法2.3（反幕法）（1）v（0）&入0v（）； u（0）= v（0）/入0； 對k = 1, 2,-v（k+1）= A-

18、1u（k）;-入k+1v（k+1）的按模最大分量;-u（k+1）= v（k+1）/入k+1;-errk =1 入-+1 入-1|;-當(dāng)errk 時,；（5）入-；和近似特征向量u（k+l）.算法2.3（反幕法）（1）v（0）&入0v（）； u（0）= v（0）/入0； 對k = 1, 2,，做-Av（k+1）= u（k）；-入k+1v（k+1）的按模最大分量;-u（k+1）= v（k+1）/入k+1;-errk =1 入-+1 入-1|;-當(dāng)errk 時,；（5）入-；和近似特征向量u（k+l）.例2.3用反幕法計算例2.1中矩陣A的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征向 量。:v(0) = 1.0,

19、 0.5, 0.5T和控制參數(shù) = 1.0 x 10-4.入o = 1 和 u(0) = v(0).例2.3用反幕法計算例2.1中矩陣A的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征向 量。:v(0) = 1.0, 0.5, 0.5T和控制參數(shù) = 1.0 x 10-4.入o = 1 和 u(0) = v(0).,Av(k+1)= u(k 用求解。由于矩陣三角分解僅需計算一次，所以計算量可大為減 少。1.000000A =0.50001.00000-0.50000.38461.000012.0000 6.0000 6.00000 13.00005.00000011.0769例2.3用反幕法計算例2.1中矩陣A

20、的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征向量。kv (k)入-u(k)01.0, 0.5, 0.511, 0.5, 0.510.2083, 0.1250,0.12504.80001.0000, 0.6000,0.600020.2208, 0.1375, 0.13754.52831.0000, 0.6226,0.622630.2237, 0.1403,0.14034.47101.0000, 0.6274,0.627440.2243, 0.1409,0.14094.45911.0000, 0.6284,0.628450.2244, 0.1411, 0.14114.45661.0000, 0.6286,0.6

21、28660.2244, 0.1411, 0.14114.45611.0000, 0.6287,0.628770.2244, 0.1411, 0.14114.45601.0000, 0.6287,0.628780.2244, 0.1411, 0.14114.45601.0000, 0.6287,0.6287例2.3用反幕法計算例2.1中矩陣A的按模最小特征值及其對應(yīng)的特征向 量。:因此，矩陣A4.4561，對應(yīng)的特征向量約1.0000, 0.6287,0.6287T.Ap,p征向量。Ap,p征向量。為應(yīng)用結(jié)合原點平移的反幕法，我們作如下假設(shè)：(1) p A i入，,且滿0 1 入i p| 1 入j p1, j = i.Ap,p 征向量。為應(yīng)用