1、平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用：折疊問題一、平行線的性質(zhì)方法歸納：平行關(guān)系數(shù)量關(guān)系（由“線”推“角”）由“線”的位置關(guān)系（平行），定“角”的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）如（1）如圖兩平行線a、b被直線l所截，且160，則2的度數(shù)為（）A.30B.45C.60D.120解：ab，3160（兩直線平行，同位角相等）2360。故選C。（2）如圖，直線c與a、b均相交，當(dāng)ab時，則（）A.12B.12C.12D.1290解：ab，12（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），故選：C。二、折疊問題（翻折變換）1.折疊問題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換。2.折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱。（1）對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線；

2、（2）折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化；（3）對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等。3.對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。例題1如圖所示。已知ABCD，B100，EF平分BEC，EGEF。求BEG和DEG。解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可求出BEC、BED的度數(shù)，再根據(jù)EGEF可得出要求的兩角的度數(shù)。答案：解：由題意得：BEC80，BED100，BEF12BEC40，BEG90BEF50，DEGBED5050。BEG和DEG都為50。點(diǎn)撥：解答此類題目要熟悉平行線的性質(zhì)，注意掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

3、例題2如圖所示，將寬為4厘米的紙條折疊，折痕為AB，如果ACB30，折疊后重疊部分的面積為多少平方厘米？解析：根據(jù)翻折不變性，得到CAB，從而求出Aeqoac(,BC)BAC，再得出ACB為等腰三角形，求出AD和CB的長，進(jìn)而求出ABC的面積。答案：解：延長GA到F，根據(jù)翻折不變性，CAB，AGBC，GACACB30，CAB（18030）275，ABC180307575，ACBC。作ADBC，垂足為D，紙條的寬4cm，AD4cm，在RtACD中，ACD30，AC2AD248cm，ACBC8cm，ABC的面積為（48）216cm2。故重疊部分的面積為16cm2。點(diǎn)撥：此題考查了翻折不變性和平行線

4、的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及含30的角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)。平行線的性質(zhì)的熟練掌握和靈活運(yùn)用至關(guān)重要，對于后繼學(xué)習(xí)尤其是四邊形的學(xué)習(xí)有鋪墊性作用。綜合平行線性質(zhì)和折疊不變性的題目靈活性較強(qiáng)，關(guān)鍵要找準(zhǔn)平行線再確定角的關(guān)系。滿分訓(xùn)練如圖，直線ACBD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成、四個部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分。當(dāng)動點(diǎn)P落在某個部分時，連接PA，PB，構(gòu)成PAC、APB、PBD三個角。（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0角）（1）當(dāng)動點(diǎn)P落在第部分時，求證：APBPACPBD；（2）當(dāng)動點(diǎn)P落在第部分時，APBPACPBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)

5、動點(diǎn)P落在第部分時，全面探究PAC、APB、PBD之間的關(guān)系，并寫出動點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論。選擇其中一種結(jié)論加以證明。（解析：1）如圖1，延長BP交直線AC于點(diǎn)E，由ACBD，可知PEAPBD。由APBPAEPEA，可知APBPACPBD；（2）過點(diǎn)P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論。答案：解：（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點(diǎn)E。ACBD，PEAPBD。APBPAEPEA，APBPACPBD；解法二：如圖2過點(diǎn)P作FPAC，PACAPF。ACBD，F(xiàn)PBD。FPBPBD。APBAPFFPBPACPBD；解法三：如圖3，ACBD，CAB

6、ABD180，PACPABPBAPBD180。又APBPBAPAB180，APBPACPBD。（2）不成立。（3）（a）當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是PBDPACAPB。（b）當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是PBDPACAPB?；騊ACPBDAPB或APB0，PACPBD（任寫一個即可）（c）當(dāng)動點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時，結(jié)論是PACAPBPBD。選擇（a）證明：如圖4，連接PA，連接PB交AC于M。ACBD，PMCPBD。，又PMCPAMAPM（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）PBDPACAPB。選擇（b）證明：如圖5點(diǎn)P在射線BA上，APB0。ACBD，PBDPAC。PBDPA

7、CAPB或PACPBDAPB，PACPBD。選擇（c）證明：如圖6，連接PA，連接PB交AC于FACBD，PFAPBD。PACAPFPFA，PACAPBPBD。點(diǎn)撥：此題考查了角平分線的性質(zhì)；是一道探索性問題，旨在考查同學(xué)們對材料的分析研究能力和對平行線及角平分線性質(zhì)的掌握情況。認(rèn)真做好（1）（2）小題，可以為（3）小題提供思路。（答題時間：45分鐘）一、選擇題1.如圖，直線l1l2，若1140，270，則3的度數(shù)是（）A.70B.80C.652.如圖，ABCD，AD平分BAC，若BAD70，那么ACD的度數(shù)為（D.60）A.40B.50C.60*3.如圖，ABCD，CDE140，則A的度數(shù)為

8、（）D.140A.140B.60C.50*4.下列圖形中，由ABCD，能得到12的是（）A.B.D.40C.D.*5.如圖，直線ab，1120，240，則3等于（）A.60B.70C.80D.90*6.如圖，把矩形ABCD沿直線EF折疊，若120，則2（）A.80B.70C.40D.20二、填空題.7.如圖，直線l1l2l3，點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、l3上。若170，250，則ABC_度。*8.如圖，AD平分ABC的外角EAC，且ADBC，若BAC80，則B_。*9.如圖，一個含有30角的直角三角形的兩個頂點(diǎn)放在一個矩形的對邊上，若125，則2_。*10.如圖，有一塊含有60角的直角

9、三角板的兩個頂點(diǎn)放在矩形的對邊上。如果118，那么2的度數(shù)是_。三、解答題11.如圖，ABCD，AE交CD于點(diǎn)C，DEAE，垂足為E，A37，求D的度數(shù)。12.如圖，ABCD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG平分AEF，140，求2的度數(shù)。*13.如圖，一條鐵路修到一個村子邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角A是105度，第二次拐的角B是135度，第三次拐的角是C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，那么C應(yīng)為多少度？*14.將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角FEC64。（1）求1的度數(shù)；（eqoac(,2)）求證：EFG是等腰三角形。*15.如圖a是長方形紙帶，D

10、EF20，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，求圖c中的CFE的度數(shù)。1.A解析：直線l1l2，1140，14140，518014040，270，6180704070，36，3的度數(shù)是70。故選：A。2.A解析：AD平分BAC，BAD70，CADBAD70，又ABCD，ADCBAD70，又ACD+ADCCAD180，ACD180707040，故選A。3.D解析：CDE140，ADC18014040，ABCD，AADC40。故選D。4.B解析：A.ABCD，12180，故本選項錯誤；B.ABCD，13，23，12，故本選項正確；C.ABCD，BADCDA，而當(dāng)ACBD時，12；故本選項錯

11、誤；D.當(dāng)梯形ABCD是等腰梯形時，12，故本選項錯誤。故選B。5.C解析：如圖，ab，14120，423，而240，120403，380。故選C。6.B解析：過G點(diǎn)作GHAD，如圖，24，矩形ABCD沿直線EF折疊，34B90，ADBC，HGBC，1320，4902070，270。故選B。7.120解析：如圖，l1l2l3，170，250，3170，4250，ABC347050120。故答案為：120。8.50解析：BAC80，EAC100，AD平分ABC的外角EAC，EADDAC50，ADBC，BEAD50。故答案為：50。9.115解析：四邊形ABCD是矩形，ADBC，2DEG1FEG115。故答案為：115。10.12解析：如圖，13906030，而118，3301812，ABCD，2312。故答案為12。11.53解析：ABCD，A37，ECDA37。DEAE，D90ECD903753。12.100解：ABCD，1AEG。EG平分AEF，1GEF，AEF21。又AEF2180，21802118080100。13.150解析：過點(diǎn)B作直線BECD。CDAF，BECDA