1、理工大學 2016 級工科數(shù)學分析第一學期期末試題解答及評分標準2016 年 1 月 18 日一、每小題 4 分，共 20 分13 1) ；2.x 1 ；（2e21.ln 3 ；3.9x 215. x( C).2cos C ；x4.x tan xx tan x1 sec2 x lim limlim二、13 分23x0cos 2 x 12 cos x(sin x)13 lim lim 5 分23x6xx0 x0dy exdxdy yexdxxe y 0方程兩邊同時對 x 求導，得： ey23 分yexey解得： dy xe dxexy5 分21sin xdx 2sinsin32 分000 x22

2、x3 2 4 (cos2 (sin)(43 分30 4( 2 1)5 分dy du 1令： u x y ，則42 分dxdxdu代入原方程，得： u 2 1解得： arctan u x c4 分dx通解為： y tan(x c) x代入， arctan(x y) x c5 分2x2 x ax b三、由條件知： lim x 1 0得xx2x2 xa lim 23 分x (x 1)x2x2 x x 1b lim 2x 36 分xf (四、（1）設則 f (0) 0 ， f (x) 1 cos x 0(x 0)2 分f (x) f (0) 0,所以 f (x) 是單調增加函數(shù)，則有即當 x 0時，有

3、 x sin x3 分（2）由（1）知，對自然數(shù)n ，有n1又 0 xn1 sin xn 1，所以 xn 單調有界必有極限，5 分設 lim xn a則有 a sin aa 06 分n五、定義域 x 0y 4(x 2) ， y 0 得x 2 ； y 8(x 3)， y 0 得x 3 。 3 分12x3x 4列表：lim f (x) 2漸近線： y 2 及 x 06 分x ,3 3 3,2 2 2,000,f -0+不存在-f -0+f拐點極值點（ 3, 26)9 3六、由對稱性可知：心形線長 2 2 d 41 cos d 8cosd 16s 223 分2000心形線所圍面積：1A 2 ( )d

4、 4(1 cos ) d 6226 分200七、（1）由對稱性可知：1V 22y (x)dx2 分0320 2sin t 3cos t(sin t)dt 6sin t cos tdt ，627224 分105023sin 2 t cos tdydxdydx tan t 1 ，（2）5 分，3cos t(sin t)2t 4d 2 ysec2 td 2 y 4 21，6 分3cos t(sin t)3cos t sin t23224dxdxt 442 233k 8 分3(1 y2 ) 222八、（1）設注水t 秒后，液面的高度為h h(t) ，則容器內水的容積是2hhV x dy 2y dy32

5、 分002 h 3dVdh ，兩邊對t 求導dtdtdh dt3dV已知 3 ，則dt4 分2h 3y （2）選 y 為積分變量， y 0,1，2dw x2dyg(1 y) g(1 y) y 3 dy（其中 水的密度， g 重力度）6 分291w g(1 y) y dy g 。38 分400九、（1）證明：作代換，令u x t, du dt1 分0 tf (x t)dt x (x u) f (u)(du) x0f (u)du 0 uf (u)duxx xf (t)dt tf (t)dt（2）將（1）代入已知等式，有2 分00 xxf (x) xf (t)dt tf (t)dt sin x 0，

6、兩邊對 x 求導，有00 xf (x) f (t)dt cos x 0 ，再求導，有0f (x) f (x) sin x 0 ，而 f (0) 0, f (0) 1，即 f (x) 滿足：y y sin x y(0) 0, y(0) 14 分y y 0 的特征根為 r i ，通解為Y (x) c1 cos x c2 sin x作輔助方程： y y exi ， i 是特征方程的單根，設 y Axe xi ，5 分6 分： A 1 i ， y 1 ixe xi ，取虛部，得特解：代入方22y 1 x cos x ，通解為： y ccos x c sin7 分1222 0, c 1 ，代入初始條件，

7、解得： c故122y f (x) 1 sin28 分2十、（1）由f (x) 連續(xù)，有f (x)f (1) lim f (x) lim(x 1) 5 0 01 分x1 (x 1)x1f (x) f (1) lim f (x)f (1) lim 53 分x 1x1 (x 1)x1f (sin x )f (sin x )sin x 1x 2xx x lim（2） lim5 分sin x 1x0 ln(1 x )22ln(1 x )2xx0 xf (sin x ) lim x lim sin x x 5( 1) 56 分sin x 1x366x0 x1x十一、構造輔助函數(shù)F(x) x3 f (x)2 分由 f (x) 在0.1 上連續(xù)，且 f (0) f (1) 1，則必有一點 （0