1、初三年級 數(shù)學(xué)新函數(shù)探究新函數(shù)探究知識層面確定自變量取值范圍求函數(shù)值畫函數(shù)圖象根據(jù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系能力層面研究函數(shù)的基本方法借助函數(shù)知識和方法解決問題一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)已有經(jīng)驗知識概要關(guān)鍵內(nèi)容典型例題新函數(shù)探究一、知識概要函數(shù)概念函數(shù)圖象描點法一個概念 函數(shù)概念一種方法 描點法一種思想 數(shù)形結(jié)合實際問題抽象函數(shù)模型解決問題觀察圖象規(guī)律函數(shù)性質(zhì)表格/表達(dá)式二、關(guān)鍵內(nèi)容 一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù) 函數(shù)概念兩個變量的相互關(guān)系兩個實質(zhì)單值對應(yīng)描點法畫函

2、數(shù)圖象描點法畫函數(shù)圖象的過程：列表描點連線函數(shù)圖象直觀表示變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系探究函數(shù)性質(zhì)解決問題 數(shù)形結(jié)合思想 在利用函數(shù)模型解決問題時，數(shù)形結(jié)合是重要的研究問題的方法圖象法數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化表達(dá)式、列表法深入局部和細(xì)節(jié)三、典型例題例1 如圖，在矩形ABCD中， E是BA延長線上的定點， M為BC邊上的一個動點，連接ME，將射線ME繞點M順時針旋轉(zhuǎn)76，交射線CD于點F，連接MD76小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段BM，DF，DM的長度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究下面是小東探究的過程，請補充完整：（1）對于點M在BC上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BM，DF，DM的長度的幾組值，如上表位置1

3、位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的長度這三個量中，確定 的長度是自變量， 的長度和 的長度都是這個自變量的函數(shù)；BMDFDM76（1）對于點M在BC上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BM，DF，DM的長度的幾組值，如上表位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692

4、.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的長度這三個量中，確定 的長度是自變量， 的長度和 的長度都是這個自變量的函數(shù)；DMDFBM76思考： 如何在具體情境中確定哪個變量是自變量，哪個變量是函數(shù)呢？位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00D

5、M/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00描點橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)BM的長度對應(yīng)的DF的長度用平滑的曲線從左到右連線關(guān)注自變量取值范圍（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（以BM的長是自變量，畫表示DF長度的函數(shù)圖象為例）（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)DF=2cm時，DM的長度約為 cm思考：直線y=2與函數(shù)y1圖象交點的橫坐標(biāo)代表什么？自變量BM的長，約為1.23和3.14y=2表示DF長度的函數(shù)記為y1，表示DM長度的函數(shù)記為y2思考：如何求DM的長？當(dāng)x=1.23和3.14時， 對應(yīng)y2的值2.98，1.35數(shù)形結(jié)合理解圖象

6、上點的橫縱坐標(biāo)代表的含義y2 y1 （1）對于點M在BC上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BM，DF，DM的長度的幾組值，如上表位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的長度這三個量中，確定 的長度是自變量， 的長度和 的長度都是這個自變量的函數(shù)；DMDFBM76例2 在研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，我們對函數(shù)解析式進(jìn)

7、行了深入分析首先確定自變量x的取值范圍是全體非零實數(shù)，因此函數(shù)圖象會被y軸分成兩部分；其次分析解析式，得到y(tǒng)隨x的變化趨勢：當(dāng)x0時，隨著x值的增大， 的值減小，且逐漸接近于零；隨著x值的減小， 的值會越來越大由此，可以大致畫出在x0時的部分圖象，如圖所示： 利用同樣的方法，我們可以研究函數(shù) 的圖象與性質(zhì)通過分析解析式畫出部分函數(shù)圖象如圖所示 （1）請沿此思路在圖中完善函數(shù)圖象的草圖并標(biāo)出此函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為0的點A；（畫出網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的部分圖象即可）全體非零實數(shù)，因此函數(shù)圖象會被y軸分成兩部分；其次分例2 在研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，我們對函數(shù)解析式進(jìn)行了深入分析首先確定自變量x的取值范圍

8、是析解析式，得到y(tǒng)隨x的變化趨勢：當(dāng)x0時，隨著x值的增大， 的值減小，且逐漸接近于零；隨著x值的減小， 的值會越來越大利用同樣的方法，我們可以研究函數(shù) 的圖象與性質(zhì)通過分析解析式畫出部分函數(shù)圖象如圖所示 （1）請沿此思路在圖中完善函數(shù)圖象的草圖并標(biāo)出此函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為0的點A；（畫出網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的部分圖象即可）思考：函數(shù) 自變量的取值范圍y隨x的變化趨勢：當(dāng)x1時，y隨x的增大而減小思考：當(dāng)0 x1時，y隨x的增大而減小思考：當(dāng)0 x1時，y隨x的增大而減??；當(dāng)0 x0時A的圖象與直線 有兩個交點過定點(1,0)當(dāng)a0時A自變量的取值范圍確定描點法函數(shù)圖象函數(shù)表達(dá)式函數(shù)性質(zhì)觀察圖象結(jié)合表達(dá)式

9、數(shù)形結(jié)合解決問題增減性最值圖象特征對稱性探究函數(shù)圖象性質(zhì)的過程例3 如圖，在ABC中，AB=8cm，點D是AC邊的中點，點P是邊AB上的一個動點，過點P作射線BC的垂線，垂足為點E，連接DE設(shè)PA=x cm，ED=y cm小石根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究下面是小石的探究過程，請補充完整：xy（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù)）x /cm012345678y /cm3.02.41.91.82.13.44.25.0找準(zhǔn)動點位置xyPE依題意準(zhǔn)確畫圖精準(zhǔn)測量2.7（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補全后

10、的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象；x /cm012345678y /cm3.02.41.91.82.13.44.25.02.7（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：點E是BC邊的中點時，PA的長度約為 cm E86.8DE是ABC的中位線DE= AB=4（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：點E是BC邊的中點時，PA的長度約為 cm 6.8取BC的中點E方法二：作PEBC，交AB于點P測量AP的長PE補全表格有表達(dá)式應(yīng)用取點、畫圖、測量代入求值函數(shù)圖象描點法自變量取值范圍關(guān)注與變量相關(guān)的等式幾何圖形性質(zhì)解決問題數(shù)形結(jié)合無表達(dá)式例4 如圖，Q是AB與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點，P是

11、弦AB上一動點，連接PQ并延長交AB于點C，連接AC已知 AB=6cm，設(shè)A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為 y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究下面是小騰的探究過程，請補充完整：y2 y1 x（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了y1 ，y2與x的幾組對應(yīng)值x /cm0123456y1 /cm5.624.673.762.653.184.37y2 /cm5.625.595.535.425.194.734.113.00y2 Cy1 Px（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補

12、全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(x，y1)，(x，y2)，并畫出函數(shù)y1，y2的圖象ACPC（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)APC為等腰三角形時，AP的長度約為 cmACPC分類討論：3當(dāng)AC=PC時1當(dāng)AP=PC時2當(dāng)AP=AC時y2 y1 x3.00關(guān)注直線y=x與y1圖象交點的橫坐標(biāo)關(guān)注y1與y2圖象交點的橫坐標(biāo)或 4.81或 5.86關(guān)注直線y=x與y2圖象交點的橫坐標(biāo)函數(shù)圖象描點法與變量相關(guān)的等式幾何圖形性質(zhì)應(yīng)用補全表格無表達(dá)式取點、畫圖、測量問題的解檢驗解決問題數(shù)形結(jié)合函數(shù)與方程的聯(lián)系 從實際中抽象出函數(shù)的有關(guān)概念，又運用函數(shù)解決實際問題，這是貫穿于函數(shù)學(xué)習(xí)的主線例5 某種型號的電熱

13、水器工作過程如下：在接通電源以后，從初始溫度20下加熱水箱中的水，當(dāng)水溫達(dá)到設(shè)定溫度60時加熱停止；此后水箱中的水溫開始逐漸下降，當(dāng)下降到保濕溫度30時，再次自動加熱水箱中的水至60，加熱停止；當(dāng)水箱中的水溫下降到30時，再次自動加熱，按照以上方式不斷循環(huán) 小宇根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對該型號電熱水器水箱中的水溫隨時間變化的規(guī)律進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)水溫y是時間x的函數(shù)，其中y(單位：)表示水箱中水的溫度，x(單位：min)表示接通電源后的時間（1）小宇記錄了從初始溫度20第一次加熱至設(shè)定溫度60，之后水溫冷卻至保濕溫度30的過程中，y隨x的變化情況如下表所示接通電源后的時間x(單位：min)02481

14、01214161820水箱中水的溫度y(單位：)20304060514540363330請寫出一個符合加熱階段y與x關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式 由表格可知，08分鐘是加熱階段接通電源的時間每增加1min，水箱中水的溫度增加5y=5x+20(0 x8)（1）小宇記錄了從初始溫度20第一次加熱至設(shè)定溫度60，之后水溫冷卻至保濕溫度30的過程中，y隨x的變化情況如下表所示接通電源后的時間x(單位：min)0248101214161820水箱中水的溫度y(單位：)20304060514540363330根據(jù)該電熱水器的工作特點，當(dāng)?shù)诙渭訜嶂猎O(shè)定溫度60時，距離接通電源的時間x為 min26（2）根據(jù)上述的表格

15、，小宇畫出了當(dāng)0 x20時的函數(shù)圖象，請根據(jù)該電熱水器的工作特點，幫他畫出當(dāng)20 x40時的函數(shù)圖象接通電源后的時間x(單位：min)0248101214161820水箱中水的溫度y(單位：)20304060514540363330直線型：(20，30) ，曲線型：(26，60)，直線型：(38，30) ，(32，40)，(34，36)，(36，33)，(38，30)(30，45)，(28，51) ，(40，40)(26，60)（2）根據(jù)上述的表格，小宇畫出了當(dāng)0 x20時的函數(shù)圖象，請根據(jù)該電熱水器的工作特點，幫他畫出當(dāng)20 x40時的函數(shù)圖象接通電源后的時間x(單位：min)0248101214161820水箱中水的溫度y(單位：)20304060514540363330（3）已知適宜人體沐浴的水溫約為35-40，小宇在上午8點整接通電源，水箱中水溫為20，熱水器開始按上述模式工作，若不考慮其他因素的影響，請問在上午9點30分時，熱水器的水溫 （填“是”或“否”）適合他沐浴，理由是 接通電源后的時間x(單位：min)0248101214161820水箱中水的溫度y(單位：)20304060514540363330 從第2分鐘起，每18分鐘，水溫從30上升到60，再下降到30，循環(huán)一次從8:00-