1、3.1 線性變換的概念及根本定理3.2 隨機過程的微分和積分3.3 隨機微分方程3.4 隨機過程經(jīng)過線性系統(tǒng)的分析第三章 隨機過程的線性變換 3.5 隨機序列的線性變換.3.1.1、線性變換的根本概念1、普通函數(shù)的變換概念，假設(shè)給定一個函數(shù)x(t)，假設(shè)按照某種法那么T可以確定一個新的函數(shù)y(t)，那么我們就說y(t)是x(t)經(jīng)過變換T后的結(jié)果，記為： y(t)=Tx(t)，其中T稱為從x(t)到y(tǒng)(t)的變換。定義3.1 給定一個隨機過程X(t)，對于他的每一個樣本函數(shù)x(t)，都可以確定一個對應(yīng)的函數(shù)y(t)，于是我們得到一個新的隨機過程Y(t), 記為： Y(t)=TX(t)，其中T稱

2、為從隨機過程X(t)到Y(jié)(t)的變換。Tx(t)樣本函數(shù)X(t)隨機過程y(t)樣本函數(shù)Y(t)隨機過程圖1 隨機過程的變換表示圖.2、對于變換可以分為確定性變換和隨機性變換。即，假設(shè)e1和e2是兩個實驗結(jié)果，且有x(t,e1)=x(t,e2)，其變換結(jié)果有y(t,e1)=y(t,e2)，那么稱變換T為確定性變換，否那么稱為隨機性變換。線性變換線性系統(tǒng)：就是任務(wù)過程可以用線性微分方程描畫的系統(tǒng)，對于離散信號和系統(tǒng)而言，凡是任務(wù)過程可用線性差分方程描畫的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。高放變頻中放檢波限幅低放負載天線本振圖2 通訊接納機典型構(gòu)造圖線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng).3、設(shè)某線性系統(tǒng)輸入端加一信號x(t)，那么

3、在輸出端得到呼應(yīng)信號y(t)，y(t)可以看作是線性系統(tǒng)對信號x(t)經(jīng)過一定變換的結(jié)果。假設(shè)這個變換L是線性的，我們表示為y(t)=Lx(t)，那么稱輸出y(t)是輸入x(t)的線性變換關(guān)系。定義3.2 設(shè)有恣意n個隨機變量Ak以及恣意n個隨機信號Xk(t)(k=1,2,n),假設(shè)那么稱變換L為線性變換。留意：對于線性變換L，必需保證無論Ak(k=1,2,n),為何值，也無論Xk(t)(k=1,2,n),為何種函數(shù)，上述關(guān)系式一定可以成立。.4、線性變換的性質(zhì)：疊加性比例性時不變性定義3.3 對于線性變換L,即Y(t)=LX(t)，假設(shè)Y(t+)=LX(t+)成立，其中為恣意常數(shù)，即輸入的延

4、時對輸出也只產(chǎn)生一個相應(yīng)的延時，那么稱L為線性時不變的。L所對應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性時不變系統(tǒng)。.3.1.2、線性變換的根本定理定理3.1 設(shè)隨機過程X(t)，且Y(t)=LX(t)，其中L是線性變換那么有即隨機過程經(jīng)過線性變換后，其輸出的數(shù)學期望等于輸入的數(shù)學期望經(jīng)過線性變換后的結(jié)果。由于因此該定理闡明：當把L和E看作算子的話，那么L和E算子的次序是可以交換的。.定理3.2 設(shè)隨機過程X(t)和Y(t)，且Y(t)=LX(t)，其中L是線性變換那么有其中 表示t1作L變換， 表示t2作L變換。.闡明： 從定理3.1和3.2可以看出，對于線性變換，系統(tǒng)輸出的均值和相關(guān)函數(shù)可以分別由系統(tǒng)輸入的均值和相

5、關(guān)函數(shù)確定。推行： 對于線性變換，輸出k階矩可以由輸入的相應(yīng)矩來確定。例如：假設(shè)系統(tǒng)是線性是不變得，由線性是不變得根本特征和兩個根本定理可以看出：假設(shè)輸入過程X(t)是狹義平穩(wěn)的，那么輸出過程Y(t)也是狹義平穩(wěn)的；假設(shè)輸入過程X(t)是廣義平穩(wěn)的，那么輸出過程Y(t)也是廣義平穩(wěn)的。也就說，線性變換不改動隨機過程的平穩(wěn)性。.3.2.1 、隨機過程的極限定義3.4 設(shè)一隨機變量序列 ，n=1,2，又設(shè)有隨機變量X，假設(shè)其中為恣意小的正數(shù)，那么稱隨機變量序列 依概率收斂于隨機變量X；或者說，隨機變量X的隨機序列 依概率收斂意義下的極限，記作.定義3.5 設(shè)一隨機變量X及隨機變量序列 ，n=1,2

6、，都有二階矩，即 , ，并且有 那么稱 依均方收斂于隨機變量X；或者說，隨機變量X是隨機序列 依均方收斂意義下的極限，記作.定義3.6 設(shè)一隨機過程X(t),當 時，X(t)依概率收斂于隨機變量X的定義或者稱隨機變量X是隨機過程X(t)當 時依概率收斂意義下的極限，記作定義3.7 設(shè)一隨機過程X(t),當 時，X(t)依均方收斂于隨機變量X的定義或者稱隨機變量X是隨機過程X(t)當 時依均方收斂意義下的極限，記作.3.2.2 、隨機過程的延續(xù)性定義3.8 設(shè)隨機過程X(t),假設(shè)果有即那么稱X(t)依均方收斂意義下在t時辰是延續(xù)的。以后簡稱X(t)在t時辰延續(xù)。定理3.3 假設(shè)隨機過程X(t)

7、的自相關(guān)函數(shù) 在t1=t2=t處二元延續(xù)，那么X(t)在每一時辰t都是依均方意義下延續(xù)。.定理3.4 假設(shè)隨機過程X(t)依均方意義下延續(xù)，那么其均值 也必為延續(xù)的。即有或.平穩(wěn)隨機過程的延續(xù)性設(shè)X(t)是平穩(wěn)隨機過程，那么其相關(guān)函數(shù)為：于是可以得出：很明顯，只需平穩(wěn)隨機過程X(t)的相關(guān)函數(shù) 在=0處是延續(xù)的，那么當 時，上述式子的右邊趨于零，反之亦然。因此可以得出結(jié)論：只需平穩(wěn)隨機過程X(t)的相關(guān)函數(shù) 在=0處延續(xù)，那么平穩(wěn)隨機過程X(t)就是依均方收斂意義下延續(xù)的。.3.2.3 、隨機過程的微分定義3.9均方導數(shù)的定義或柯西判別準那么：假設(shè)成立，那么隨機過程X(t)的導數(shù)存在。.定理3.5 平穩(wěn)隨機過程X(t)存在均方意義下的導數(shù)條件是其自相關(guān)函數(shù)在=0處存在的二階導數(shù)。證明：略。定理3.6 非平穩(wěn)隨機過程X(t)存在均方意義下的導數(shù)條件是當t1=t2時，其自相關(guān)函數(shù)存在二階偏導數(shù)。.定義3.10假設(shè)隨機過程X(t)滿足可微條件，那么經(jīng)微分后得到的導數(shù)是一個時間函數(shù)，這個函數(shù)也是一個隨機過程，將其稱之為導數(shù)過程，記作對于導數(shù)過程Y(t)的數(shù)學期望和相關(guān)函數(shù)分別記為 和因此可以得到：.那么隨機過程X(t)與導數(shù)過程Y(t)的相互關(guān)函數(shù)為用類似的方法可以得到Y(jié)(t)的自相關(guān)函數(shù)為.同理可以得到：假設(shè)X(t)為平穩(wěn)隨機過程時，那么