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文檔簡介

1、 第七節(jié) 泰勒公式 一、泰勒公式 二、函數(shù)的麥克勞林公式 精選ppt 在討論函數(shù)的微分時，f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0)，當(dāng) xx0 時，其誤差是比 x-x0 高階無窮小。 令 R1(x)= f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0) ，并假設(shè) f (x) 在 x =x0 的某個鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，易得 R1(x0)=0 , R1(x0)=0 , R1(x) = f (x) 。當(dāng) xx0 時，將無窮小R1(x) 與 (x-x0)2 相比較，利用柯西中值定理，有 ( 1 在 x 與 x0 之間)精選ppt 其中 在 x0 與 1 之間，從而也在 x0 與 x

2、之間。于是故 此式稱為函數(shù) f (x) 的一階泰勒公式 , R1(x) 稱為一階泰勒公式的余項，當(dāng) xx0 時，它是比 x-x0高階無窮小 如果在一階泰勒公式中， 將（在 x0 與 x 之間）用 x0代替，則有近似公式 令精選ppt可用上述類似推理，得出 （ 在 x0 與 x之間） 此式稱為函數(shù) f (x) 的二階泰勒公式， R2(x) 稱為二階泰勒公式的余項，當(dāng) xx0 時，它是比 (x-x0)2 高階的無窮小。精選ppt 定理2-9 泰勒 ( Taylor) 中值定理 如果函數(shù) f (x) 在含有 x0 的某個區(qū)間 (a , b) 內(nèi)具有直到 (n+1) 階的導(dǎo)數(shù)，則對任意 x(a , b

3、) ，有其中 （ 在 x0 與 x之間） 此式稱為函數(shù) f (x) 在點 x0 處的 n 階泰勒公式，或按（ x-x0 ）的冪展開的泰勒公式，簡稱 n 階泰勒公式。Rn(x) 稱為 n 階泰勒公式的余項，當(dāng) xx0 時，它是比 (x-x0)n 高階的無窮小。精選ppt 二、函數(shù)的麥克勞林公式 在泰勒公式中，如果取 x0 =0 時，則 在 0與 x 之間，因此可令 = x (0 0）精選ppt如果取 x=1，則得無理數(shù) e 的近似式為其誤差為當(dāng) n=10 時，可算出 e 2.718281，其誤差不超過10-6 。 例2-62 求 f (x)=sin x 的 n 階麥克勞林公式。 解 因為精選ppt 又 f (0)=0，知它們順次循環(huán)地取四個數(shù): 0 , 1 , 0, -1,于是按麥克勞林公式得（令n=2m）其中如果

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