1、第十章偏微分方程數(shù)值解法1阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法第十章目錄1 差分方法的基本概念 1.1 偏微分方程的定解問題 1.2 差分方法的基本概念2 橢圓型方程第一邊值的差分方法 2.1 差分格式的建立 2.2 差分格式解的存在唯一性3 拋物型方程的差分解法及其穩(wěn)定性 3.1 差分格式的建立 3.2 差分格式的穩(wěn)定性4 雙曲型方程的差分解法 4.1 幾種簡單的差分格式 4.2 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性2阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法 補充知識 “高數(shù)”中接觸了一些簡單偏微分，也接觸了簡單偏微分方程，如： 其中： 1.2.滿足： 3阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法 補充知識

2、 （續(xù)1） 3. 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 滿足： 4. 滿足： 5. 滿足： 6. 滿足： 上面是已知函數(shù)， ，驗證滿足等式，反過來，將等式視為方程，則是求解方程，得到解函數(shù)。 4阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法 因此偏微分方程： 1. 含偏微分的等式， 2. 求解偏微分方程、求含多個自變量的函數(shù) 3. 帶有初值、邊界條件。 常微分方程的求解已很困難，通過分門別類研究，能求得一些特殊類型方程的解（只含一個變量），即便是一階方程，也很難求出解析解表達式，也因此，在上一章我們研究了一階微分方程 的 數(shù)值解法。 補充知識 （續(xù)2）5阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法1

3、差分方法的基本概念 要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏微分方程的數(shù)值解更顯重要，實際上，絕大部分偏微分方程不可能求到解析函數(shù)解，基本上都是數(shù)值解法。 一般來說，偏微分方程從實際問題抽出后，多是下列幾種類型: （1）泊阿松方程（Poisson），又稱為橢圓型方程： ：自變量的變化區(qū)域，有界區(qū)域。 ：的邊界，分段光滑曲線。 1. 偏微分方程定解問題當(dāng) 稱為拉普拉斯方程（Laplace）或調(diào)和方程， 例如 滿足： 6阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法相應(yīng)第一邊值條件： 第二、第三邊值條件： 為邊界的外法線方向， 為第二邊界條件， 為第三邊界條件。 各種物理性質(zhì)的定長問題（不隨時間變

4、化過程），都可用橢圓型方程描述。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無熱源的穩(wěn)定場的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定克旋流動及靜電場的電熱等均滿足上述方程。 橢圓型方程（續(xù)） 7阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法（2）熱傳導(dǎo)方程（拋物型） 相應(yīng)有：柯西（Cauchy）初值條件： 初邊值條件為： 第一邊值條件： 第二邊值條件： 8阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法拋物型方程（續(xù)）第三邊值條件為： 其中 在熱傳導(dǎo)過程的研究中，氣體的擴散現(xiàn)象及電磁場的傳播等隨時間變化的非定常物理問題，都可用上述方程來描述。 9阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法（3） 波動方程（雙曲型） 最簡單形式為線性雙曲方程： 其初邊值

5、條件為： 邊值條件同熱傳導(dǎo)方程。 物理中常見的一維振動及各類波動問題，均可用波動方程描述。 10阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法的基本概念 如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一，并且連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)（即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函數(shù)），則此定解問題是適定的?？梢宰C明，上面所舉各種定解問題都是適定的。 2. 差分方法的基本概念： 先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域 用有限離散點（網(wǎng)格點）集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點上離散變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格

6、式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無限變小時其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。 11阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法的基本概念（續(xù)1） 所以，偏微分方程數(shù)值解法，實際上是通過網(wǎng)格及差分格式將偏微分方程定解問題離散化后求定義域上有限離散點（網(wǎng)格點）對應(yīng)函數(shù)值u(x,y)的近似值（差分值），體現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解法中是求定義區(qū)間上離散點xi對應(yīng)y(xi)的近似值yi。 因此，用差分方法求解偏微分方程定解問題，一般需解決以下問題： （1）選取網(wǎng)格：對定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、 菱形等格式。 （2）對偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列

7、 出差分格式，化偏微分方程為差分方程組（線 性代 數(shù)方程組）。 12阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法的基本概念（續(xù)2） 如可用差商（差分）代替導(dǎo)數(shù)： 對偏導(dǎo)數(shù)同樣有： 一般還可以得出： 等等； 13阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法 （3）求解充分方程（解的存在性與唯一性） 差分方法的基本概念（續(xù)3） （4）討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近似值（收斂性及誤差估計）。 按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，為了幫助理論，下面先簡單介紹在常微分方程中近值問題數(shù)值解法； 二階線性微分方程第一邊值問題： 14阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程第一

8、邊值問題（1）差分方程的建立： 將a, b分為n個相等的小區(qū)間， 要將 離散化，建立充分方程，即要用： 則在內(nèi)節(jié)點xi處，方程化為： x1 ,xn-1 稱為內(nèi)節(jié)點，x0 ,xn稱為邊界點。 15阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)1） 在上式中略去余項，并記qi=q(xi), fi=f(xi), yi=y(xi),則得差分方程： 此為（n-1)(n-1)階線性代數(shù)方程組。其解作為邊值問題精確解y(x)在x1,x2,xn-1處的近似值，稱為差分解。 以 則差分方程組可簡記為： 16阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)2） 可證：

9、 1. 極值定解：設(shè)y0 ,y1 ,yn不全相等: 若滿足條件 ， ，則 y0 ,y1 ,yn 中正的最大值只能是 y0 或yn 。 2. 充分方程解唯一存在。 若滿足 ，則 y0,y1,yn 中負的最小值只能是y0 或 yn 。 17阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程第一邊值問題（續(xù)3） 這是(n-1)(n-1)的三對角方程組， 系數(shù)矩陣對角占優(yōu)追趕法求解。 3. 方程組解法： 亦即： 18阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程邊值問題例題例用差分法解二階線性微分方程第一邊值問題： 解：取h = 0.1,則所以：因此差分方程為 ：19阜師院數(shù)科院第十章 偏

10、微分方程數(shù)值解法二階線性微分方程邊值問題例題（續(xù)）xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332解此差分方程，計算結(jié)果列在下表中：其中：二階線性微分 方程的解函數(shù)為20阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法求解偏微分方程簡例 下面，我們再通過一個簡單的例子來說明用差分方法求解偏微分方程問題的一般過程及差分

11、方法的基本概念。 設(shè)有一階雙曲型方程初值問題： 首先對定解區(qū)域： 作網(wǎng)格剖分，最簡單常用的一種網(wǎng)格是： 用兩族分別平行于x軸與t 軸的等距直線21阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法求解偏微分方程簡例（續(xù)1）將D分成許多小矩形區(qū)域（見圖10-1）。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點稱為網(wǎng)格點，也稱為節(jié)點，h和分別稱作x方向和t方向的步長。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。如果我們用向前差商表示一階偏導(dǎo)數(shù)，即 :其中: 0233h-h2hh-2htx（圖10-1）22阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法于是，方程（10-1）在節(jié)點 處可表示為 :差分方法求解偏微分方程簡例（續(xù)2） (10-2)其中： 由

12、于當(dāng)h，足夠小時， 是小量，在式（10-2）中略去 就得到一個與方程（10-1）相近似的差分方程。緊接下屏記為23阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法求解偏微分方程簡例（續(xù)3）此處， 可看作是問題（10-13）的解在節(jié)點 處的近似值。由初條件有： (10-4)式（10-3）與（10-4）結(jié)合，就得到求問題（10-1）的數(shù)值解的差分格式。 而稱式（10-5）為差分方程（10-3）的截斷誤差。(10-3)24阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法求解偏微分方程簡例（續(xù)4） 如果一個差分方程的截斷誤差為 ，則稱差分方程對t是q階精度，對x是p階精度的。顯然，截斷誤差的階數(shù)越大，差分

13、方程對微分方程的逼近越好。 若網(wǎng)格步長趨于0時，差分方程的截斷誤差也趨于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。 如果當(dāng)網(wǎng)格步長趨于0時，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。 用差分格式求解時，除了截斷誤差外，每步計算都會產(chǎn)生舍入誤差，在遞推計算的過程中，誤差還會傳播。對計算過程中誤差傳播的討論就是差分格式的穩(wěn)定性問題。25阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法差分方法求解偏微分方程簡例（續(xù)5） 如果利用某種差分格式求解，計算過程中誤差越來越大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是數(shù)值不穩(wěn)定的。后面的討論表明，差

14、分格式的穩(wěn)定性不僅與差分格式本身有關(guān)，而且與網(wǎng)格步長之比（稱為網(wǎng)格比）的大小有關(guān)。如果一種差分格式對任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，則稱該差分格式是無條件穩(wěn)定的；若只對某些網(wǎng)格比的值穩(wěn)定；則稱為條件穩(wěn)定。如果對任何網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，則稱完全不穩(wěn)定。完全不穩(wěn)定的差分格式是無效的。值得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無關(guān)。 定理10.1 （Lax等價定理） 給定一個適定的初值問題，如果逼近它的差分格式與它相容，則該差分格式收斂的充分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。 由此定理，在對差分格式的穩(wěn)定性進行討論的同時， 收斂性問題也就解決了。 （證明略）26阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法2 橢圓型方程第一邊值問題的差分解法

15、本節(jié)以Poisson方程為基本模型討論第一邊值問題的差分方法。 2.1 差分格式的建立 考慮Poisson方程的第一邊值問題： (10-6) 取h和分別為x方向和 y方向的步長，如圖10-2所示，以兩族平行線： 將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格 。節(jié)點的全體記為： RQPTS圖10-227阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法Poisson方程差分格式的建立定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點稱為內(nèi)點，記內(nèi)點集 為 。邊界 與網(wǎng)格線的交點稱為邊界點，邊界點全體記為 。與節(jié)點 沿x方向或y方向只差一個步長的點 和 稱為節(jié)點 的相鄰節(jié)點。 如果一個內(nèi)點的四個相鄰節(jié)點均屬于 ，如圖10-2中的點S，T 稱為正則內(nèi)點，正則內(nèi)點

16、的全體記為 ，至少有一個相鄰節(jié)點不屬于 的內(nèi)點稱為非正則內(nèi)點，非正則內(nèi)點的全體記為 。我們的問題是要求出問題（10-3）在全體內(nèi)點上的數(shù)值解。 為簡便起見，記: 對正則內(nèi)點 ，由二階中心差商公式:緊接下屏28阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法Poisson方程差分格式的建立（續(xù)1） Poisson方程（10-6）在點(k , j)處可表示為 :(10-8)(10-7)其中：29阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法在式（10-8）中略去R(k , j)即得與方程（10-6）相近似的差分方程 :Poisson方程差分格式的建立（續(xù)2） 式（10-9）為其截斷誤差表示式 .（10-10） 式（

17、10-10）中方程的個數(shù)等于正則內(nèi)點的個數(shù)，而未知數(shù)uk ,j 則除了包含正則內(nèi)點處解u的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點處u的近似值，因而方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)。在非正則內(nèi)點處Poisson方程的差分近似不能按式（10-10）給出，需要利用邊界條件得到。 30阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法Poisson方程邊界條件的處理 邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡單的兩種。 （1）直接轉(zhuǎn)移 用最接近非正則內(nèi)點的邊界點上的u值作為該點上u值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖10-2，點R(k , j)為非正則內(nèi)點，其最接近的邊界點為Q點，則有 （10-11）將式（10-11）代入式（

18、10-10），方程個數(shù)即與未知數(shù)個數(shù)相等。式（10-11）可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點處u的近似值，容易求出，其截斷誤差為O(h+ ) 。 31阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法Poisson方程邊界條件的處理（續(xù)1）（2）線性插值 這種方案是通過用同一條網(wǎng)格線上與點P相鄰的邊界點與內(nèi)點作線性插值得到非正則內(nèi)點P(k,j)處u值的近似。如圖10-2，由點R與T的線性插值確定u(p)的近似值uk,j，得: （10-12）其中 ，其截斷誤差為 。 將式（10-12）與（10-10）聯(lián)立，得到方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到Poisson方程第一邊值問題（10-6）的數(shù)

19、值解。32阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法（10-13）由式（10-10）所給出的差分格式稱為五點菱形格式，它所涉及的節(jié)點如圖10-3所示。簡記為: （10-14）jk圖10-3Poisson方程邊界條件的處理（續(xù)2）實際計算時經(jīng)常取h= ，此時五點菱形格式可化為:其中: 33阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法例 1用五點菱形格式求解Laplace方程第一邊值問題其中 取 。 解 如圖10-4所示，網(wǎng)格中有四個內(nèi)點，均為正則內(nèi)點。由五點菱形格式（10-13），得方程組:(0.3)(1.3)(2.3)(3.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy圖10-434阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法例 1(續(xù)1)代入邊界條件： 35阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法例 1（續(xù)2）其解為得 36阜師院數(shù)科院第十章 偏微分方程數(shù)值解法五 點 矩 形 格 式（10-17）當(dāng) 時，利用點 構(gòu)造的差分格式：（10-15）稱為五點矩形格式，簡記為（10-16）其截斷誤差為：