1、1.3 單自由度系統(tǒng)受迫振動受迫振動系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動激勵形式可以為力（直接作用力或慣性力），也可以為運動（位移、速度、加速度）。外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。簡諧激勵是最簡單的激勵。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加。有阻尼系統(tǒng)在簡諧激振力作用下，系統(tǒng)的運動微分方程為令得到有阻尼質量彈簧系統(tǒng)受迫振動微分方程的標準形式微分方程的全解等于齊次方程的通解與非齊次方程的特解之和。齊次方程通解: x1(t)非齊次方程特解: x2(t)有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解x1(t) 有阻尼自由振動運動微分方程的解：特解為:有阻尼系統(tǒng)在簡諧

2、激勵下，運動微分方程的全解由二部分組成：第一部分振動的頻率是自由振動頻率 ；由于阻尼的作用，這部分的振幅都時間而衰減。-瞬態(tài)振動第二部分以激勵頻率作簡諧振動，其振幅不隨時間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動。特解為:代入方程解得幅頻特性與相頻特性引入量綱為1的參數(shù) ， s， -稱為靜力偏移 為振幅與靜力偏移之比，稱為振幅比（又稱放大因子）。s 是激勵頻率與固有頻率之比，稱為頻率比。 s 稱為幅頻特性曲線 s 稱為相頻特性曲線結論：（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩(wěn)態(tài)響應的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質（m, k, c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進

3、入運動的方式（即初始條件）無關單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性以s為橫坐標畫出 (s) 曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應特性：（1）當激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低響應的振幅A 與靜位移B 相當（2）當激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高響應的振幅很?。?）在以上兩個領域對應于不同 值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性（4）當對應于較小 值， (s) 迅速增大當 = 0 (s) 共振 振幅無窮大但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅

4、明顯下降單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性（5）對于有阻尼系統(tǒng)， 并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左振幅無極值（6）當單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性記:品質因子在共振峰的兩側取與對應的兩點帶寬與的關系阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 穩(wěn)態(tài)響應的特性以s為橫坐標畫出 (s) 曲線相頻特性曲線（1）當s1（1（0） 位移與激振力反相（3）當s 1 0共振時的相位差為 ，與阻尼無關【例】圖示帶有偏心塊的電動機，固定在一根不計自重的彈性梁上。設電機的質量為m1，偏心塊的質量為m2，偏心距為e，彈性梁的剛度系數(shù)為k，阻力系數(shù)為c，求當電機以勻角速度旋轉時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振

5、動的位移幅值?！窘狻肯到y(tǒng)可簡化為圖示的力學模型，將電機與偏心塊看成一個質點系設電機軸心在t 瞬時相對平衡位置的坐標為x偏心塊的坐標為x + esint，質點系動量定理在x方向的投影表達式為整理后得系統(tǒng)的微分方程為引入微分方程化為標準形式解得令解得其幅頻特性和相頻特性曲線【例】圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為m，彈簧剛度系數(shù)為k，阻力系數(shù)c。測振儀放在振動物體表面，將隨物體而運動。設被測物體的振動規(guī)律為 。求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律?！窘狻恳晕飰K的靜平衡位置為坐標原點，考察其相對地球的運動（絕對運動），運動微分方程可寫為令則微分方程可寫成其中微分方程特解：回代得：由前計算化

6、簡可得系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為代入引入量綱為1的量:系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應是暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應的疊加回顧：顯含t，非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解阻尼自由振動逐漸衰減持續(xù)等幅振動暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段先考慮無阻尼的情況，假設激勵為正弦激勵通解：齊次方程通解非齊次方程特解由初始條件確定單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段初始條件響應自由伴隨振動強迫

7、響應以系統(tǒng)固有頻率振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段初始條件響應自由伴隨振動強迫響應初始條件為零自由伴隨振動強迫響應由于系統(tǒng)是線性的,也可以利用疊加定理求解通解:初始條件響應自由伴隨振動強迫響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段即使在零初始條件下,也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生.實際中總是存在著阻尼的影響,因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減,進而消失,最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應.單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段例:計算初始條件,以使 的響應只以頻率 振動.解:如果要使系統(tǒng)響應只以 為頻率振動必須成立:初始條件:例:計算初始條件,以使

8、 的響應只以頻率 振動.單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段解:全解由求一階導數(shù)由單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段如果要使系統(tǒng)響應只以 為頻率振動初始條件:單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段若激勵頻率與固有頻率十分接近令為小量考慮穩(wěn)態(tài)響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段可看作頻率為 ，振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動 這種在接近共振時的特殊振動現(xiàn)象稱為拍拍的周期為：圖形的包絡線：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段當隨著t增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的響應曲線即使是無阻尼系統(tǒng)，要達到理論上的無窮大振幅，也需要無限長的時間。所以，如果機器的工作運轉速度設計

9、在共振轉速以上，穿越共振去并沒有很大困難，只要穿越的快些就好。單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應利用前述相同的方法，可得初始條件響應自由伴隨振動強迫響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段初始條件響應自由伴隨振動強迫響應經(jīng)過充分長的時間，作為瞬態(tài)響應的前兩種振動將消失，只剩下穩(wěn)態(tài)強迫響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 受迫振動的過渡階段初始條件響應自由伴隨振動強迫響應對于零初始條件單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動背景：地基振動，轉子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比坐標：相對基座的位移

10、動力學方程基座運動規(guī)律單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動解得：回顧：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動若以絕對位移 為坐標單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動可以看出：當 時，振幅恒為支撐運動的振幅D當 時，振幅恒小于D增加阻尼反而會使振幅增大單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動解：汽車行駛的路程可表示為：則路面的激勵頻率為由為常數(shù)得與 成反比空載時的阻尼比為：滿載和空載時的頻率比：單自由度系統(tǒng)受迫振

11、動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動滿載時的阻尼比為：空載時的阻尼比為：滿載時的頻率比：空載時的頻率比：記滿載時的振幅為空載時的振幅為滿載與空載的振幅比為單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質量不計例支座A產(chǎn)生微小豎直振動支座B不動求：質量m的穩(wěn)態(tài)振動振幅解：在質量m作用下，由材料力學可求出靜撓度固有頻率：因 的運動而產(chǎn)生的質量m處的運動動力學方程：振幅單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動支承運動小結基座位移規(guī)律：相對位移絕對位移單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動高速旋轉機械中，偏心質量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉機械

12、總質量為M，轉子偏心質量為m，偏心距為e，轉子轉動角速度為。x：機器離開平衡位置的垂直位移則偏心質量的垂直位移：由達朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動力學方程：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動不平衡量引起的離心慣性力設單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動例：偏心質量系統(tǒng)共振時測得最大振幅為0.1m由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為設求：（1）偏心距e，（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質量需要增加多少？單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動解：（1）共振時的最大振幅（2）若要使共振時的最大振幅0.01m單

13、自由度系統(tǒng)受迫振動/ 簡諧慣性力激勵的受迫振動偏心質量小結單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 機械阻抗和導納機械阻抗與導納工程中常用機械阻抗來分析結構的動力特性。機械阻抗定義為簡諧激振時復數(shù)形式的輸入與輸出之比動力學方程：輸入：輸出：代入得：根據(jù)定義，位移阻抗：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 機械阻抗和導納位移阻抗與復頻響應函數(shù)互為倒數(shù)， H( ) 也稱為導納輸出也可以定義為速度或加速度，相應的機械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗機械阻抗的倒數(shù)稱為機械導納，相應 、 、 分別有位移導納、速度導納和加速度導納機械阻抗和機械導納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性（m，k，c），它們都是復數(shù)。單自由度系統(tǒng)受

14、迫振動/ 機械阻抗和導納現(xiàn)已有多種專門測試機械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率，相對阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動力特征。單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀慣性式測振儀基礎位移x 為m 相對于外殼的相對位移動力方程：振幅：當儀器的固有頻率遠小于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值A1 接近外殼振動的振幅D低固有頻率測量儀用于測量振動的位移幅值，稱為位移計單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀當儀器的固有頻率遠大于外殼振動頻率時，儀器讀數(shù)的幅值A1與外殼加速度的幅值成正比高固有頻率測量儀用于測量振動的加速度幅值，稱為加速度計被測物體的加

15、速度幅值單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀另一種分析方法基礎位移假定為正弦:x 取絕對位移，受力圖動力學方程：疊加原理，解為右端兩項解之和單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/慣性式測振儀和前述支承運動中的絕對位移法結果相同單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離振動的隔離將作為振源的機器設備與地基隔離，以減少對環(huán)境的影響稱為主動隔振主動隔振系數(shù) 隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：隔振后系統(tǒng)響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離隔振后通過k、c傳到地基上的力：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的

16、受迫振動問題/振動的隔離單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/振動的隔離解：頻率比：彈性支承的剛度：機器振動的振幅：主動隔振系數(shù)：傳到地基上的力幅：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速轉子的臨界轉速汽輪機、發(fā)電機等高速旋轉機械在開機或停機過程中經(jīng)過某一轉速附近時，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會發(fā)生劇烈振動臨界轉速在數(shù)值上很接近轉子橫向振動的固有頻率以單盤轉子為例單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動

17、問題/轉子的臨屆轉速可見，當阻尼比較小時，即使轉子平衡得很好（e很?。?，動撓度f也會相當大，容易使軸破壞，這樣的轉速成為臨屆轉速，為：用每分鐘轉速表示：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 工程中的受迫振動問題/轉子的臨屆轉速單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應當 作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應分別為第n次諧波激勵所對應的振幅放大因子和相位差單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響

18、應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 非周期激勵的響應系統(tǒng)的單位脈沖響應即初始位移為零，而初始速度為1/m的自由振動解為無阻尼系統(tǒng)：若單位脈沖力不是作用在時刻t = 0，而是作用在 時刻：如果系統(tǒng)在 時刻受到?jīng)_量為I0 的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)暫態(tài)響應可用脈沖響應函數(shù)表示為：單自由度系統(tǒng)受迫振動/ 任意