1、遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)學(xué)院 王樹新金融(jnrng)數(shù)學(xué)教程郵箱：shuxin_共一百一十一頁前言(qin yn)金融數(shù)學(xué)是指采用高等數(shù)學(xué)的研究方法(fngf)研究金融資產(chǎn)及其衍生資產(chǎn)的定價、復(fù)雜投資技術(shù)與金融政策制定的一門交叉性學(xué)科。金融數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容從大的方面講主要是金融有價證券和金融衍生證券的定價理論、不完全市場的經(jīng)濟(jì)均衡理論。金融數(shù)學(xué)的主要研究方法：1、運(yùn)用高等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化、概率論、微積分等知識對金融原理進(jìn)行推導(dǎo)。2、運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時間序列分析等知識對金融原理進(jìn)行假設(shè)檢驗，并提出一些經(jīng)驗性結(jié)論。共一百一十一頁參考書籍(shj)：1、蔡明超（譯），金融數(shù)學(xué) ，機(jī)械工業(yè)出版

2、社.2、葉中行，王桂蘭，林建忠，金融數(shù)學(xué)衍生產(chǎn)品定價引論，人民郵電出版社.3、約翰. 赫爾(h r)，期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品，人民郵電出版社。4、陳啟宏，陳迪華 （譯），金融隨機(jī)分析 上海財經(jīng)大學(xué)出版社。共一百一十一頁 第一章我們(w men)將從金融市場和研究金融產(chǎn)品定價的問題入手，在簡單的單時段兩值模型中引入一些關(guān)于金融市場和金融衍生產(chǎn)品的一些最基本的定義。 所謂單時段模型，即只允許金融參與者在兩個(lin )特定的時間對金融市場進(jìn)行觀察，兩個(lin )特定的時間分別是金融合約的生效日和金融合約的到期日。 單時段模型雖然簡單，但是它揭示了現(xiàn)代金融核心的重要性，它為我們以后研究多時段模型

3、和連續(xù)模型奠定堅實的基礎(chǔ)，同時它還能夠是我們接觸到與金融相關(guān)的一系列金融定義和術(shù)語。第一章 單時段模型共一百一十一頁1.1 金融市場中的一些(yxi)相關(guān)概念和定義金融市場工具按金融產(chǎn)品(chnpn)存在的形式一般可分為兩種類型：一類是原生股票（underlying stock）（“標(biāo)的證券”）：包括股票、股份、債券、商品、外匯以及貨幣等等；另一類是衍生產(chǎn)品 (derivative)（“衍生證券”）：即保證在未來某一時確定的時間給與某人或某公司某種支付或者轉(zhuǎn)移某種原生股票的未定權(quán)益，這種權(quán)益視原生股票的行為而定。金融衍生產(chǎn)品依據(jù)權(quán)益的不同大致可分為遠(yuǎn)期期權(quán)、看漲期權(quán)、看跌期權(quán)等等。共一百一十一

4、頁1、衍生產(chǎn)品(chnpn)在金融市場中所起的作用：衍生產(chǎn)品(chnpn)通過參與者在現(xiàn)在確定某種原生股票未來交易的價格，因而能減少或者擴(kuò)大風(fēng)險，有一種無需花費的合約，不但能消去股票和某些已確定未來價格的股票價格之間的差異，而且使雙方都能承擔(dān)屬于股票自身固有的風(fēng)險，并不需要馬上用資金去購買。 2、原生股票和衍生資產(chǎn)之間的關(guān)系：在同一市場上原生股票和衍生產(chǎn)品的十分復(fù)雜和緊密，一般難以確定，可以確定的是沒有原生股票就沒有未定權(quán)益。但從形式上講，衍生證券依賴于原生股票，原生股票所表現(xiàn)出的隨機(jī)性轉(zhuǎn)移到本身也表現(xiàn)到隨機(jī)性的衍生產(chǎn)品上。下面我們來分析一下金融衍生(yn shn)產(chǎn)品在金融市場所起到的作用以

5、及衍生(yn shn)資產(chǎn)和原生股票之間的關(guān)系。共一百一十一頁從衍生產(chǎn)品的定義很容易看出衍生產(chǎn)品（“衍生證券”）是保證在未來給予衍生產(chǎn)品購買者某種支付和轉(zhuǎn)移的權(quán)益。如果某個交易者想獲得某種權(quán)利來減少或者擴(kuò)大未來對某種原生資產(chǎn)交易的風(fēng)險，那么一個很自然的問題便是，他應(yīng)該為得到相應(yīng)的權(quán)利支付多少錢給賦予他相應(yīng)權(quán)利的交易者，這是我們這本書，甚至可以(ky)說是整個金融領(lǐng)域比較關(guān)注的的一個主要問題，即 衍生產(chǎn)品 (derivative)（“衍生證券”）：即保證在未來給與某人或某公司某種支付或者轉(zhuǎn)移某種原生股票(gpio)的未定權(quán)益怎樣才能獲得衍生產(chǎn)品賦予的權(quán)益？共一百一十一頁如何確定(qudng)金融

6、衍生產(chǎn)品的價格？即為了獲得某種將來的買或者賣的權(quán)利，期權(quán)購買者需要花費多少錢來購買期權(quán)。為了解決這個問題，我們首先要學(xué)習(xí)一些與金融衍生產(chǎn)品密切相關(guān)的術(shù)語，包括金融衍生產(chǎn)品中的遠(yuǎn)期期權(quán)、歐式看漲期權(quán)、看跌期權(quán)的定義，之后我們會討論遠(yuǎn)期期權(quán)、歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)來確定擁有相應(yīng)的期權(quán)應(yīng)該(ynggi)支付多少錢給期權(quán)的出賣者以及相應(yīng)期權(quán)的收益是多少。共一百一十一頁定義 1.1.1 遠(yuǎn)期合約（期權(quán)）（forward contract）是規(guī)定在未來的某一個日期 T，以規(guī)定的價格 K 購買（或出售）一種資產(chǎn)的協(xié)議。買方被稱為持有(ch yu)多頭，賣方被稱為持有(ch yu)空頭。遠(yuǎn)期(yun q)

7、合約的賣方在日期T要交付相應(yīng)的資產(chǎn)給合約的購買方，到達(dá)日期T合約的賣方不再擁有相應(yīng)的資產(chǎn)，所以稱之為持有空頭。遠(yuǎn)期合約的買方在日期T,會以規(guī)定的價格K購買相應(yīng)的資產(chǎn)而擁有資產(chǎn)，所以稱合約的買方為持有多頭。共一百一十一頁遠(yuǎn)期合約起源于法國，是交易的雙方自愿簽訂的，無需繳納(jion)違約金并且簽訂遠(yuǎn)期合約無需繳納(jion)任何費用，因此違約的現(xiàn)象比較普遍。在金融市場中，期貨合約是與遠(yuǎn)期合約本質(zhì)上是相同的，但合約的簽訂和執(zhí)行(zhxng)在形式上是有所不同的。期貨合約是規(guī)定在未來某一特定的時間和地點交易一定數(shù)量的實物或金融產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)化合約。共一百一十一頁 遠(yuǎn)期合約與期貨合約形式上的區(qū)別： 遠(yuǎn)期合

8、約一般不在交易所里進(jìn)行，簽訂合約不需要任何費用，期貨合約是在正規(guī)的交易所進(jìn)行交易，具有標(biāo)準(zhǔn)化的條款和特定的清算方式(fngsh)，期貨合約違約需按規(guī)定的要求繳納違約費用。 通過以后的學(xué)習(xí)我們會知道遠(yuǎn)期合約是最簡單的衍生證券 ，相應(yīng)的定價也是最容易處理的，因為簽訂遠(yuǎn)期合約不需要(xyo)任何費用。 圍繞衍生證券定價有大量豐富的理論，不同的期權(quán)期權(quán)讓期權(quán)持有人擁有某種權(quán)利但不負(fù)任何義務(wù)去做某件事情。期權(quán)以許多不同的形式出現(xiàn)，布萊克和斯科爾斯由于在20世紀(jì)70年代，提出并且準(zhǔn)確的定價了歐式看漲期權(quán)而獲得了較大的聲譽(yù)。共一百一十一頁為了便于同學(xué)們的理解，首先我們來看一個遠(yuǎn)期合約(hyu)的例子。定義(

9、dngy)1.1.2 遠(yuǎn)期合約的到期時間 T 稱為執(zhí)行日或到期日，價格 K 稱為敲定價格或執(zhí)行價格。注：下面我們將要講到的歐式看漲和歐式看跌期權(quán)的到期日和執(zhí)行價格也是類似的定義，為了說明的方便，我們做此調(diào)整，如不加特別的說明，我們將不再給出歐式期權(quán)，美式期權(quán)、亞式期權(quán)到期日和執(zhí)行價格的定義。共一百一十一頁例：假設(shè)某公司擁有某一支(y zh)股票的一個遠(yuǎn)期合約，合約六個月之后到期，敲定的股票價格是50 美元。如果到期日股票的價格為100美元,試計算該遠(yuǎn)期合約的收益和遠(yuǎn)期合約的總收益。思考：1、如果(rgu)遠(yuǎn)期合約的敲定價格為K，合約到期日股票的價格為ST，那么遠(yuǎn)期合約的收益應(yīng)該與什么因素有關(guān)，

10、具體的函數(shù)表達(dá)式是什么。 2、在1的假設(shè)前提下，考慮遠(yuǎn)期合約的收益和遠(yuǎn)期合約的總收益的關(guān)系。共一百一十一頁定義 1.1.3 歐式 (European) 看漲 (Call) 期權(quán)讓持有人有權(quán)利但不負(fù)有義務(wù)在規(guī)定的時間 T ，按規(guī)定價格 K 購買一單位某種原生資產(chǎn)。歐式 (European) 看跌(kn di)期權(quán) (Put)期權(quán)讓持有人有權(quán)利但不負(fù)有義務(wù)在規(guī)定的時間 T ，按規(guī)定價格 K 出售一單位某種原生資產(chǎn)。共一百一十一頁例：某人在2012年1月1日購買(gumi)了六個月后到期的某一股票的歐式看漲期權(quán)，敲定價格為50美元，若到期日股票的價格為90美元，則此人則可以以50美元的低價從期權(quán)出售

11、者手中購買市場上價格為90美元的一份股票。思考: 若到期日股票的價格(jig)低于或小于50美元，期權(quán)購買者會采取什么策略。共一百一十一頁例：某人在2012年1月1日購買了六個月后到期的某一股票的歐式看跌期權(quán)，敲定價格為50美元，若到期日股票的價格為20美元，則此人則可以(ky)以50美元的高價向期權(quán)出售者一份股票。思考：若期權(quán)到期日，股票的價格高于或等于50美元(miyun)，期權(quán)購買者會采取什么策略。共一百一十一頁注：1、通過上面(shng min)兩個例子我們很容易看出，一般對期權(quán)的購買者而言，看漲是在期權(quán)到期日以較低的價格購買，看跌是在期權(quán)到期日以較高的價格出售。 2、看漲期權(quán)的出售(

12、chshu)者可以不持有原生股票而出售(chshu)看漲期權(quán)，但是若在到期日看漲期權(quán)的購買者執(zhí)行期權(quán)，看漲期權(quán)的出售(chshu)者必須能夠采取一種方式來執(zhí)行合約。共一百一十一頁歐式期權(quán)的持有人，持有期權(quán)一直到 T 時刻，期間不允許期權(quán)發(fā)生任何(rnh)變化，即合約期滿以及期權(quán)的收益情況完全依賴于規(guī)定的時間 T。存在其他形式的期權(quán)，包括(boku)美式期權(quán)和亞式期權(quán)，而這的收益由原生資產(chǎn)在整個時間段 0,T 上的綜合表現(xiàn)來確定。本章的討論僅對歐式期權(quán)有意義，并且本書也是以此為主，我們只是在適當(dāng)?shù)那闆r下給出美式期權(quán)的相關(guān)解釋。歐式期權(quán)的特點：共一百一十一頁通過歐式看漲期權(quán)的定義我們很容易(rng

13、y)知道，期權(quán)購買者擁有某種權(quán)利但不承擔(dān)任何義務(wù)，那么期權(quán)購買者自然需要為獲得這種權(quán)利支付一定的費用，也就是我們之前提過并且思考的歐式看漲、看跌以及遠(yuǎn)期期權(quán)的定價問題。假設(shè)條件:除非另作其他說明，原生(yun shn)資產(chǎn)可以在沒有額外費用和收益的情況下被持有。為了更好的理解上述問題，我們先仔細(xì)的思考一下書中給出的一個例子。共一百一十一頁例：假設(shè)一家公司通常經(jīng)營一種有內(nèi)在風(fēng)險的金融資產(chǎn)，比如石油。例如，他們可能知道在三個月內(nèi)將需要1000桶原油，并且由于國際原油市場的動蕩，在三個月內(nèi)原油的價格可能發(fā)生比較大的波動。公司通過以敲定價格K購買關(guān)于原油的歐式看漲期權(quán)，估計出為了購買1000桶原油在三

14、個月內(nèi)他們之多需要支付多少錢。在此例中，公司購買的看漲期權(quán)可以認(rèn)為(rnwi)是作為保險來規(guī)避油價上漲所帶來風(fēng)險的工具，在這個例子中，看漲期權(quán)的定價問題是：給定到期日T和敲定價格K，該公司應(yīng)該為這樣的保險支付多少現(xiàn)金。注：如果(rgu)公司自己用倉庫存儲原油，情況會更加復(fù)雜，公司在計算看漲期權(quán)的定價時一定要把石油的存儲費用考慮進(jìn)去。共一百一十一頁接下來我們來仔細(xì)的分析一下下列問題，1、歐式看漲、看跌期權(quán)(q qun)都在什么情況下會被期權(quán)(q qun)購買者執(zhí)行，在什么情況下，歐式看漲、看跌期權(quán)(q qun)會有正的收益，在什么情況下購買相應(yīng)期權(quán)(q qun)的總收益是正的？2、歐式看漲(kn

15、 zhn)、看跌期權(quán)的相應(yīng)收益函數(shù)圖像、總收益的圖像怎么表示，怎么由期權(quán)的收益圖像看出期權(quán)的相關(guān)參與者購買的是什么類型的期權(quán)。首先我們來針對上述兩個問題分析一下歐式看漲、看跌期權(quán)的的一般形式。共一百一十一頁例：假設(shè)某公司要簽一份歐式看漲期權(quán)合約，該合約賦予它一種權(quán)利，但不負(fù)有義務(wù)，以價格(jig) K 購買 T 個月到期的一單位的股票，如果假設(shè)到期日股票的價格為 。思考(sko)： 1、該公司購買的看漲期權(quán)的敲定價格和到期日分別是什么？ 2、該公司在什么情況下會行使期權(quán)賦予的權(quán)利？ 3、本例中看漲期權(quán)的收益和總收益分別由什么因素決定，具體的關(guān)系如何？下面我們來具體的看一下歐式看漲期權(quán)什么情況下

16、會被執(zhí)行，它的收益是什么。共一百一十一頁實值狀態(tài)(zhungti) (in the money): 虛值狀態(tài)(zhungti)（out of the money）: 平值狀態(tài) （at the money）:因此歐式看漲期權(quán)在 T 時刻的收益是：思考：假設(shè)歐式看漲期權(quán)的購買人購買期權(quán)的價格為 S, 那么到期日 T 時刻歐式看漲期權(quán)購買者的總收益與哪些因素有關(guān)，具體的函數(shù)表達(dá)式是什么？共一百一十一頁思考：1、該公司在什么情況(qngkung)下會執(zhí)行看跌期權(quán)？ 2、在 T 時刻該公司購買的歐式看跌期權(quán)的收益怎么表示？ 3、在 T 時刻該公司購買的歐式看跌期權(quán)的期權(quán)收益和總收益的區(qū)別和聯(lián)系。 4、該

17、公司在什么情況下會獲得正的收益？ 例：假設(shè)某公司要簽一份歐式看跌期權(quán)合約，該合約規(guī)定(gudng)期權(quán)購買者可以以價格 K 賣出 T 個月到期的一單位的股票。假設(shè) T 個月后股票的價格為 。共一百一十一頁期權(quán)(q qun)處于實值 (in the money) : 期權(quán)(q qun)處于虛值 (out of the money): 期權(quán)處于平值 (at the money): 因此歐式看跌期權(quán)在 T 時刻的收益是：共一百一十一頁思考：假設(shè)歐式看跌期權(quán)的購買(gumi)人購買(gumi)期權(quán)的價格為 S, 那么到期日 T 時刻歐式看跌期權(quán)購買者的總收益與哪些因素有關(guān)，具體的函數(shù)表達(dá)式是什么？相應(yīng)

18、的圖像怎么表示？綜合我們之前對遠(yuǎn)期期權(quán)、歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)的分析，我們很容易得到遠(yuǎn)期期權(quán)、歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)的收益函數(shù)(hnsh)與 t 時刻股票價格的關(guān)系函數(shù)表達(dá)式。共一百一十一頁圖1-1圖1-1 中的 (a), (b), (c) 分別表示的是遠(yuǎn)期期權(quán)，歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的收益函數(shù)，容易看出(kn ch)每一種都是到期日股票價格的函數(shù)。共一百一十一頁注意在零時刻合約生效之日前，我們允許自己是空頭，并且期權(quán)(q qun)出售者可以不持有原生資產(chǎn)而出售期權(quán)(q qun)，即我們允許在零時刻期權(quán)(q qun)出售者可以進(jìn)行賣空操作。共一百一十一頁 例1.1.4 同價對敲(s

19、traddle)假設(shè)投機(jī)者希望股票價格有一個大的變動，但他不知道股票價格變動的方向: 那么投機(jī)者采取的一個可能的組合就是同價對敲.這涉及到同時持有具有相同敲定(qio dn)價格和到期日的同一種原生資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)。共一百一十一頁思考：1、投機(jī)者購買同價對敲期權(quán)的收益函數(shù)怎么表示，在股票價格的不同(b tn)情況下投機(jī)者所采取的策略分別是什么？ 2、同價對敲期權(quán)的收益函數(shù)圖象具體的形式是什么？ 解：設(shè)到期日股票的價格為 ，股票的敲定(qio dn)價格為 ，期權(quán)的收益為 。共一百一十一頁投機(jī)者可能采取的策略(cl)是：1）當(dāng)市場上的股票價格 時，他會在市場上以 的價格購買股票，

20、然后執(zhí)行歐式看跌期權(quán)以敲定價格 賣出股票給歐式看跌期權(quán)出售者,獲得正的收益 。2）當(dāng)市場上的股票價格(jig) 時，他會執(zhí)行歐式看漲期權(quán)以敲定價格(jig) 從期權(quán)出售者手中購買股票，然后在市場上以市場價格(jig) 賣出股票，獲得正的收益 。共一百一十一頁3）當(dāng) 時，無論如何(w ln r h)期權(quán)投資者都不能獲得正的收益。共一百一十一頁同價對敲的期權(quán)(q qun)收益函數(shù)圖象共一百一十一頁注：1、雖然同價對敲期權(quán)的收益總是非負(fù)的，但是(dnsh)如果期權(quán)到期日如果股票的價格非常接近期權(quán)的敲定價格，那么同價對敲期權(quán)的收益極有可能不足以支付期權(quán)購買者購買期權(quán)的費用，從而使投資者有損失，另一方面

21、，如果股票的價格有較大的波動，則同價對敲期權(quán)一定會給期權(quán)的購買者帶來較大的利潤收益。 2、同價對敲的本質(zhì)是期權(quán)購買者多支付一倍的期權(quán)購買權(quán)益金而減少一般風(fēng)險的做法。共一百一十一頁異價對敲：是購買不同執(zhí)行價格或不同到期時間的兩個或兩個以上看漲期權(quán)(q qun)（或看跌期權(quán)(q qun)）的組合。根據(jù)(gnj)組合中期權(quán)的參數(shù)的差異，異價對敲可分為兩種基本類型： 1.垂直組合，又稱價格異價對敲，指同時購進(jìn)和賣出具有不同執(zhí)行價格、相同到期時間的期權(quán)。 2.水平組合，又稱時間異價對敲，指同時購進(jìn)和賣出具有不同到期時間、相同執(zhí)行價格的期權(quán)。與同價對敲期權(quán)緊密相連的是異價對敲期權(quán)，根據(jù)形式的不同分為如下兩

22、種形式：共一百一十一頁通過上面我們對遠(yuǎn)期期權(quán)、歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)收益的分析很容易知道(zh do)，期權(quán)購買人總的收益都是與期權(quán)的價格相聯(lián)系的，下面一個很自然的問題就是如何給出期權(quán)一個合理的定價。通過我們對同價對敲期權(quán)的期權(quán)收益和總收益的分析，大家可以思考，異價對敲期權(quán)的期權(quán)收益函數(shù)、異價對敲的總收益的函數(shù)表達(dá)式及圖像表示(biosh)，特別的，異價對敲適合的范圍是什么。參見課后習(xí)題1的，情況(e).共一百一十一頁1.2 遠(yuǎn)期合約(hyu)定價為了求解期權(quán)的定價問題，我們需要對市場的運(yùn)作方式和市場的環(huán)境做一些最基本的假設(shè)，特別的，為了給出遠(yuǎn)期合約的定價，我們需要從詳細(xì)(xingx)的討

23、論遠(yuǎn)期合約開始。因為遠(yuǎn)期合約的定價與市場上貨幣的利率密切相關(guān)，所以我們首先從討論金融市場的利率出發(fā)。共一百一十一頁假設(shè)數(shù)額為 A 的貨幣以年利率 R 投資了 n 年。如果(rgu)利息按每一年計一次復(fù)利，則上述投資的終值為： 如果每年計 m 次復(fù)利，則終值為： 當(dāng) m 趨于無窮大時， 就稱為連續(xù)復(fù)利（Continuous compounding），此時的終值為關(guān)于利率的基本(jbn)預(yù)備知識。共一百一十一頁貨幣的時間價值:假設(shè)對于小于某個時間 的任何時刻 T和某個常數(shù) r 0，在 T 時刻 1 美元的現(xiàn)值期望是 ，則稱常數(shù) r 是這個時間段中的連續(xù)(linx)復(fù)利(continuously c

24、ompounded)利率。注：貨幣的時間價值，簡單(jindn)的理解就是貨幣隨著時間的推移而發(fā)生的增值。連續(xù)復(fù)利簡單的理解就是在某一固定時間范圍內(nèi)，計算無窮多次利率，與離散利率（在有限的時間內(nèi)計算有限多次利率）相對應(yīng)，平時我們的銀行采用的都是離散型利率以年或者月為計息周期。共一百一十一頁無風(fēng)險利率(ll)：是指將資金投資于某一項沒有任何風(fēng)險的投資對象而能得到的利息率。注：一般而言，無風(fēng)險利率是一種(y zhn)理想的投資收益。 無風(fēng)險利率是期權(quán)價格的重要影響因素之一，無風(fēng)險利率（Risk-free Interest Rate）水平會影響期權(quán)的時間價值。當(dāng)利率提高時，期權(quán)的時間價值會減少；反之

25、，當(dāng)利率下降時，期權(quán)的時間價值則會增高。不過，利率水平對期權(quán)時間價值的整體影響還是十分有限的。例：美國的政府債券衍生的市場，不帶有任何違約的風(fēng)險，即未來對美元的承諾總會實現(xiàn)，我們把這樣市場中的利率稱為無風(fēng)險利率。在這樣的市場中，通過購買或者出售現(xiàn)金債券，投資者可以以無風(fēng)險利率貸款和借款給別人而獲得無風(fēng)險利率。共一百一十一頁回到我們本節(jié)課的主題，考慮遠(yuǎn)期合約的定價，首先我們來回顧一下(yxi)遠(yuǎn)期合約的定義。遠(yuǎn)期合約是指在未來的某一日期 T ，依規(guī)定的價格 K 購買或者出售(chshu)某種金融資產(chǎn)的一個協(xié)議。 假設(shè)某一個公司或者個人購買了一個遠(yuǎn)期合約，即該公司或者個人同意在未來的某一日期 T

26、以敲定的價格 K 購買或者出售相應(yīng)的金融資產(chǎn)。通過上一節(jié)課我們的分析很容易知道，遠(yuǎn)期合約的收益恰好為 , 其中 為 T 時刻金融資產(chǎn)的實際價格。共一百一十一頁通過上述的分析，根據(jù)到期日金融資產(chǎn)價格(jig) 與敲定價格(jig) K 的關(guān)系，我們很容易知道遠(yuǎn)期合約的收益 可能是正的也可能是負(fù)的，因為簽訂遠(yuǎn)期合約無需支付任何費用，對遠(yuǎn)期合約來說 就是全部收益，所以對與遠(yuǎn)期合約而言，我們需要考慮的問題就是如何確定公平的敲定價格。定義 1.2.1 (套利機(jī)會) 金融市場上獲得無風(fēng)險利潤(lrn)的機(jī)會稱為套利機(jī)會?，F(xiàn)代金融理論中，建立金融模型的基礎(chǔ)都是假設(shè)或者規(guī)定不存在套利機(jī)會。事實上，有些人完全靠

27、利用獲得套利機(jī)會來過日子，但是在市場價格波動將他們淘汰之前，這樣的機(jī)會不會長時間存在，所以假設(shè)是合理的。共一百一十一頁套利與投機(jī)(tuj)的區(qū)別套利（arbitrage）:是基于對同一類風(fēng)險資產(chǎn)的觀察，利用市場(shchng)價格的差異，在不同的市場(shchng)同時進(jìn)行交易，獲取瞬時無風(fēng)險利益，套利與投機(jī)不同。投機(jī)是基于對未來原生資產(chǎn)價格的預(yù)測，以謀取暴利，這是有風(fēng)險的。套利是利用不同市場在價格聯(lián)系上的差異的現(xiàn)實，以套取利潤，這是無風(fēng)險的。共一百一十一頁引理1.2.2 假設(shè)市場無套利， 為零時刻的股票價格， 為無風(fēng)險利率，那么到期日為 T 的遠(yuǎn)期合約敲定(qio dn)價格為證明：因為市場

28、的無風(fēng)險利率為 ，那么數(shù)量為 的現(xiàn)金在遠(yuǎn)期合約到期日的收益是 。 現(xiàn)在(xinzi)我們來討論 與敲定價格的 K 關(guān)系，說明只有 才能保證公平，即金融市場無套利。共一百一十一頁若 ，則期權(quán)的出售者一定可以獲得無風(fēng)險利潤。期權(quán)出售者采用如下策略: 在零時刻借入 美元(即以價格 美元出售債券)，然后用借得的錢購買一單位股票在 T 時刻，期權(quán)出售者應(yīng)該支付(zhf) 美元給借款人，但此時期權(quán)出售者可以以 K 美元出售自己手中的股票，從而獲得確定的 美元利潤?？梢砸院唵蔚男问接洃浧跈?quán)(q qun)出售者所采取的策略，即“借、買、賣、還”。共一百一十一頁若 ，則期權(quán)的購買者一定可以(ky)獲得無風(fēng)險利潤

29、。遠(yuǎn)期期權(quán)購買者在零時刻借一單位股票之后，以 美元出售借得的一單位股票，然后購買 美元的現(xiàn)金債券。在 T 時刻，現(xiàn)金債券變?yōu)?美元，此時遠(yuǎn)期期權(quán)購買者會以 K 美元買回一單位股票,從而獲得 美元的確定收益。 (注意，1、遠(yuǎn)期期權(quán)購買者出售的股票完全可以是自己的，2、可以簡單地記憶上述(shngsh)過程，即“借、賣、買、還”)共一百一十一頁一般的，稱 為套利價格(arbitrage price），有時也稱為(chn wi)股票的遠(yuǎn)期價格(forward price）。綜上，除非 ，否則總可以保證一方參與者獲的無風(fēng)險利潤。所以(suy)到期日為 T ，無風(fēng)險利率為 r 的遠(yuǎn)期合約的敲定價格為 。

30、共一百一十一頁例：假設(shè)某人簽署了一個標(biāo)的資產(chǎn)為6個月期限的遠(yuǎn)期合約，股票的當(dāng)前價格是30美元(miyun)，無風(fēng)險利率為12%（連續(xù)復(fù)利），計算合約的遠(yuǎn)期價格是多少？共一百一十一頁注：1、事實上，一般在簽訂合約之前，我們并不知道到期日股票的價格 是多少，只能對其進(jìn)行猜測，更嚴(yán)格點說就是確定其概率分布，有一種用途廣泛的模型是認(rèn)為股票的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，即存在常數(shù) 和 ，使得 服從均值為 ，方差為 的正態(tài)分布。但是，通過引理1.2.2，我們知道利息才是定價問題的關(guān)鍵，而不是其它別的因素，一般的，其它的模型很難與市場價格一致，包括通過期望形式得出(d ch)的公平價格。 2、在引理1.2.2 的

31、證明中，購買者可以出手不屬于自己的股票（購買者本身不用有股票），被稱為賣空，之所以有這種情況出現(xiàn)(chxin)是以因為投資者可以借股票和錢。 3、事實上，任何人都可以不擁有標(biāo)的物而出售期權(quán)。共一百一十一頁 通過(tnggu)遠(yuǎn)期合約的定義，我們很容易知道，遠(yuǎn)期合約是金融市場上一種比較特殊的金融衍生產(chǎn)品，原因是簽訂遠(yuǎn)期不需支付任何費用。 但是歐式看漲和看跌期權(quán)都要支付期權(quán)的權(quán)益金，即為了獲得未來某種支付或者轉(zhuǎn)移某種原生資產(chǎn)的權(quán)益，需繳納的費用，所以歐式期權(quán)的定價問題應(yīng)該是我們亟待解決的一個重要問題。 雖然引理 1.2.2 沒有給我們提供計算歐式期權(quán)的具體方法，但是尋找一種使得期權(quán)買賣相關(guān)雙方都不

32、能獲得無風(fēng)險利潤的價格應(yīng)該是大家都可以接受的。共一百一十一頁 注意，我們在引理 1.2.2 的證明中考慮了以一單位原生股票和現(xiàn)金債券建立的投資組合，證明了在到期日上述組合的價值恰好為遠(yuǎn)期合約(hyu)自身的價值，這種投資組合稱為完全對沖或復(fù)制投資組合。 現(xiàn)在一個很自然的想法便是： 能否利用建立投資組合的方式給出歐式看漲（或看跌）期權(quán)的定價(dng ji)呢？ 為了解決這個問題，我們來學(xué)習(xí)本章的第三節(jié)，單時段兩值模型。完全對沖的思想是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中最終該要的范例。 注意，我們在引理 1.2.2 的證明中考慮了以一單位原生股票和現(xiàn)金債券建立的投資組合，證明了在到期日上述組合的價值恰好為遠(yuǎn)期合約自身

33、的價值，這種投資組合稱為完全對沖或復(fù)制投資組合。 現(xiàn)在一個很自然的想法便是： 能否利用建立投資組合的方式給出歐式看漲（或看跌）期權(quán)的定價呢？ 為了解決這個問題，我們來學(xué)習(xí)本章的第三節(jié)，單時段兩值模型。 注意，我們在引理 1.2.2 的證明中考慮了以一單位原生股票和現(xiàn)金債券建立的投資組合，證明了在到期日上述組合的價值恰好為遠(yuǎn)期合約自身的價值，這種投資組合稱為完全對沖或復(fù)制投資組合。 現(xiàn)在一個很自然的想法便是： 能否利用建立投資組合的方式給出歐式看漲（或看跌）期權(quán)的定價呢？ 為了解決這個問題，我們來學(xué)習(xí)本章的第3節(jié)，單時段兩值模型。共一百一十一頁1.3 單時段兩值模型(mxng) 為了最后確定歐式

34、看漲期權(quán)或看跌(kn di)期權(quán)的合理價格，我們首先從一個比較簡單的市場格波動模型入手。 這個簡單的市場模型稱為單時段兩值模型。 模型要求： 1、只能在兩個時刻對市場進(jìn)行觀察，一個是合約生效日，一個是合約到期日，即單時段。 2、股票的價格在到期日只有兩種可能的取值，即兩值性。 共一百一十一頁為了具體(jt)的給出單時段兩值模型下歐式看漲期權(quán)的定價，我們先來看一個比較“簡單”的例子。例1.3.1 假設(shè)某個股票的現(xiàn)價是2500日元，一個6個月到期的歐式看漲期權(quán)，其敲定價格是3000日元。投資者相信在6個月內(nèi)股價為4000日元的概率(gil)是1/2，為2000日元的概率是1/2。因此，他計算出期權(quán)

35、(當(dāng)它到期時)的期望值是500日元.日元的無風(fēng)險利率現(xiàn)值為0.因此，投資者愿意為期權(quán)支付500日元，這是公平價格嗎?共一百一十一頁分析：通過題目的敘述容易看出該模型是一個單時段兩只模型，并且題目中給的期權(quán)價格是通過期望形式求出來(ch li)的，根據(jù)上節(jié)課的分析，我們很容易得出這個期權(quán)價格不是合理的價格，期權(quán)購買的雙方一定有一方能獲得無風(fēng)險利潤。共一百一十一頁為了正確的給出歐式看漲期權(quán)的定價，我們分三步來說明。第一步，說明期權(quán)的出售者在題目給出的條件下能獲得無風(fēng)險利潤。第二步，通過(tnggu)建立投資組合說明期權(quán)出售者能獲得無風(fēng)險利潤的下界。第三步，通過建立投資組合說明期權(quán)購買者能獲得無風(fēng)險

36、利潤的上界。最后得出歐式看漲期權(quán)的公平價格。共一百一十一頁策略: 在零時刻，他出售該期權(quán)，獲得500日元的期權(quán)收益(shuy)，他在此基礎(chǔ)之上，借入2000日元，購買一單位股票。首先，假設(shè)在到期日，股票價格上漲到4000日元（大于敲定價格(jig)3000日元），那么歐式看漲期權(quán)購買人一定會執(zhí)行合約。因此，他必須以3000日元出售股票給期權(quán)購買者。這時，他有(-2000 + 3000)日元的收入，即通過出售看漲期權(quán)他賺到了1000日元.解：500日元的期權(quán)價格不是合理的價格，在這個價格下期權(quán)出售者可獲得無風(fēng)險利潤，他可以通過如下策略獲得無風(fēng)險利潤。共一百一十一頁其次，如果在到期日股票價格下跌到

37、2000日元（小于敲定價格(jig)3000日元）， 那么歐式看漲期權(quán)持購買人一定不會執(zhí)行合約。因此，他可以在公開的市場上以2000日元出售他在期權(quán)生效日購買的股票，這時他持有的凈現(xiàn)金是(-2000 + 2000)日元，即0日元，他恰好不虧不贏。共一百一十一頁那么題目中的歐式看漲期權(quán)(q qun)合理的價格到底是多少呢?接下來，我們首先從合約(hyu)出售者的角度來考慮。假設(shè)合約出售者出售期權(quán)獲得的現(xiàn)金為 日元，合約出售者用出售期權(quán)獲得的現(xiàn)金建立一個由 日元現(xiàn)金和 份額股票構(gòu)成的投資組合，那么顯然有 共一百一十一頁如果在到期日股價上漲到4000日元，由于已經(jīng)假設(shè)無風(fēng)險利率為零，那么在 T 時刻

38、投資(tu z)組合的價值是 此時，由于（40003000）期權(quán)購買者執(zhí)行期權(quán)，他需要在市場上以4000日元購買一單位股票并且以3000日元的敲定價將股票賣給期權(quán)購買者，因此他損失了4000-3000=1000日元，所以(suy)他要求投資組合至少給他帶來1000日元的收入。共一百一十一頁所以，投資組合必須(bx)滿足：如果股票價格跌到2000日元，期權(quán)購買者不執(zhí)行期權(quán)，此時，期權(quán)出售者只希望自己不賠錢(pi qin)就可以，所以，只希望投資組合不至于賠錢(pi qin)即可，即他只要求，下面我們來分析上述由不等式給出的幾何圖形。共一百一十一頁共一百一十一頁通過分析很容易知道，在兩條直線的交點

39、處給出的資產(chǎn)組合恰好能使期權(quán)出售者獲得無風(fēng)險利潤，為了說明的方便，我們(w men)用 和 分別表示投資組合在兩條直線交點處的值。聯(lián)立方程(lin l fn chn)，解得 ，則歐式看漲期權(quán)在零時刻的值為綜上分析可得，對于任何高于250日元的期權(quán)價格，看漲期權(quán)的出售者都能獲得無風(fēng)險利潤。共一百一十一頁下面我們將說明，本題中看漲期權(quán)的價格也不能低于250日元，否則，期權(quán)購買者可以通過購買(gumi)期權(quán)并且建立投資組合的方式獲得無風(fēng)險利潤。首先假設(shè)歐式期權(quán)在合約生效日的價格，即購買期權(quán)的價格為 日元，并且(bngqi)設(shè)期權(quán)購買者建立一個資產(chǎn)投資組合使得現(xiàn)在期權(quán)購買者總的投入為：若股票價格漲到4

40、000，期權(quán)購買者執(zhí)行期權(quán)能夠獲得4000-3000=1000的收益，投資組合給他帶來的收益為此時，歐式期權(quán)的購買者要求投資組合的收益不能少于 ，即：共一百一十一頁即：若股票價格跌到2000日元(ryun)，期權(quán)購買者不執(zhí)行期權(quán)，故收益只來自投資組合，則投資組合至少也需要應(yīng)帶來 日元(ryun)的收益，即：聯(lián)立方程(lin l fn chn)求解，得到兩條直線的交點坐標(biāo)為共一百一十一頁因為(yn wi)所以(suy)又因為所以所以， 小于250日元時，期權(quán)購買者能獲得無風(fēng)險利潤。共一百一十一頁綜上，若市場無套利(to l)機(jī)會，則歐式看漲期權(quán)的合理價格應(yīng)為250日元。注：通過上述例題的分析，如

41、同確定遠(yuǎn)期合約的合理價格一樣，我們不利用對市場的波動事先設(shè)定各種可能性來達(dá)到公平的價格，我們僅僅需要簡單的投資組合就可以復(fù)制未定權(quán)益的事實，即，期權(quán)(q qun)的出售者可建議建立投資組合來對沖可能的未定權(quán)益。利用相同的辦法，我們可以證明下面的結(jié)果。共一百一十一頁引理1.3.2 假設(shè)無風(fēng)險美元利率(到某個時界 T)為 r. 用 表示某個資產(chǎn)在零時刻的(美元)價值.假設(shè)股票價格的運(yùn)動使得資產(chǎn)在T時刻的價值為 或 ,且進(jìn)一步假設(shè)，那么在到期日T具有收益 的歐式期權(quán)在零時刻的市場價格(jig)為而且,期權(quán)的出售者可以用出售期權(quán)獲得的現(xiàn)金購買零時刻的份額股票和持有的剩余債券，來構(gòu)造一個在T時刻價值 為

42、 投資組合。 共一百一十一頁1.4 三值模型(mxng)通過前面我們(w men)學(xué)習(xí)的單時段兩值模型的定義，我們(w men)不難看出單時段兩值模型有很大的局限性，具體的表現(xiàn)為：1、單時段兩值模型的只允許期權(quán)買賣的雙方在合約生效日和合約的到期日觀察市場。2、單時段兩值模型只允許相關(guān)的原生資產(chǎn)在到期日取到兩個可能的資產(chǎn)價格之一?，F(xiàn)在一個很自然的想法便是既然單時段兩值模型存在局限性，我們能否放寬其中一個條件來考慮更普遍情況下的市場模型。共一百一十一頁但是我們也不能把條件(tiojin)放的太寬泛以至于我們沒有比較好的處理方法，依據(jù)單時段兩值模型的局限性，我們一般從兩個角度來進(jìn)一步的思考金融市場可

43、能的模型，即：1、可以考慮單時段多值模型，也就是在期權(quán)到期日，我們(w men)允許原生資產(chǎn)的價格取有限多個（數(shù)目大于2）可能的值。2、可以考慮多時段，但是每一個時段上都滿足我們的單時段兩值模型。本節(jié)課，我們主要是針對單時段三值模型進(jìn)行討論，得到一些能通過簡單的投資組合進(jìn)行對沖的結(jié)果，關(guān)于多時段，并且每一個時段都是單時段兩值模型的模型，我們將在下一章進(jìn)行深入和細(xì)致的討論。共一百一十一頁現(xiàn)在我們來考慮單時段三值模型，即我們允許在到期日 與看漲期權(quán)相關(guān)的原生資產(chǎn)可以取得三個可能的值, , 同時我們可以假設(shè)期權(quán)的出售者在合約生效日建立一個由 日元和 份額的股票組成(z chn)的一個投資組合能夠復(fù)制

44、在到期日的權(quán)益實現(xiàn)對沖。我們可以重復(fù)1.3節(jié)中的分析，并且假設(shè)無風(fēng)險現(xiàn)金證券的利率(ll)為零，那么有我們有一下3個不等式：共一百一十一頁 這里 表示(biosh) 的三種可能的取值。一般情況(qngkung)下，上述三個不等式的解集，都會以下圖的形式給出。共一百一十一頁為了實現(xiàn)在到期日權(quán)益的對沖，期權(quán)出售者必須要求上述三個不等式的解集位于上圖所示的陰影區(qū)域，但是，很顯然，在一般情況下，在陰影部分的任何一個解，都會使得期權(quán)的出售者有獲得利潤的絕對可能，而不會有任何損失的風(fēng)險，在這個陰影區(qū)域外的任何點，建立任何可能的投資組合都有損失的風(fēng)險，綜上，一般情況下單時段三值模型不會存在完全復(fù)制期權(quán)權(quán)益的

45、投資組合，也就是說對看漲或者看跌期權(quán)而言不會存在唯一的公平(gng png)的價格。定義1.4.1 如果在金融市場上不存在(cnzi)完全對沖的未定權(quán)益，則稱市場是不完全(complete)的。共一百一十一頁如果在單時段三值模型下，我們通過建立原生股票、無風(fēng)險現(xiàn)金債券以及另外一種獨立的可交易的原生資產(chǎn)進(jìn)行交易，我們就會在三維空間中產(chǎn)生三個互不平行的曲面，如果可以通過建立投資(tu z)組合來實現(xiàn)未定權(quán)益，那么得到的將是三個曲面的唯一一個交點?，F(xiàn)在一個更為自然的問題便是，在一個更為復(fù)雜的金融市場模型下，何時(h sh)才存在無風(fēng)險的套利機(jī)會，何時(h sh)能夠通過建立投資組合實現(xiàn)未定權(quán)益的對沖

46、。共一百一十一頁1.5 無套利(to l)特征在1.3節(jié)的單時段兩值模型中，我們通過(tnggu)建立和求解兩個關(guān)于無風(fēng)險現(xiàn)金債券和原生股票的方程，很容易確定出歐式看漲或歐式看跌期權(quán)的價格，在1.4節(jié)中，我們討論了單時段三值模型，通過分析我們可以知道若想通過建立投資組合實現(xiàn)未定權(quán)益的對沖，我們必須允許另外一個與前幾種資產(chǎn)相互獨立的原生資產(chǎn)進(jìn)行交易。本節(jié)課，我們將考慮更復(fù)雜的市場模型，這些模型的特點是，單時段下存在足夠多的、獨立的、可交易的原生資產(chǎn)，并且它們的任何期權(quán)都具有公平價格。共一百一十一頁 假設(shè)在市場上存在N(N2)個可交易的原生金融資產(chǎn)，它們在零時刻(shk)的價格用列向量表示：注：本

47、節(jié)中對向量和矩陣應(yīng)用上標(biāo)(shn bio)“t”表示求轉(zhuǎn)置。注意：單時段模型下，市場只在零時刻下和某一個特定的未來的時間T時刻時刻觀察的。共一百一十一頁它在零時刻的市場價值為數(shù)量積 市場的不確定性可用在T時刻有限(yuxin)個可能的狀態(tài)來表示，記為j=1, 2,，n.在T時刻證券價值可用 矩陣 來表示,這里當(dāng)市場處于狀態(tài)j，系數(shù) 是在T時刻的第j個狀態(tài)的第i個證券的價值（或價格）.在這個記號中，可以(ky)認(rèn)為投資組合就是N維歐式空間中的一個向量，即：共一百一十一頁記T時刻(shk)的價值為共一百一十一頁記號(j ho)：設(shè)向量 ， ，如果對所有的 ，都有 ，則記 或 。 表示 且 。注意(

48、zh y) 并不要求它的所有的坐標(biāo)都是嚴(yán)格正的。對于 中的向量， 表示它的所有坐標(biāo)都是嚴(yán)格正的。本書中有一些記號與其它的參考資料和書籍的記法有一些表述和記法上的差別，大家要認(rèn)真的理解書中的記法，不要與其它書籍的記法混淆。1、向量內(nèi)積的計算方法。2、向量的取值的范圍的表述。共一百一十一頁在這個記號中，套利(arbitrage)是一個投資(tu z)組合 且滿足 ， 或 ， 。注：通過向量乘積的定義和矩陣乘積的定義，特別的，通過本書中關(guān)于向量大于等于零，小于等于零的規(guī)定，易知，套利等價于投資組合滿足上述(shngsh)不等式的條件。共一百一十一頁 定義1.5.1 狀態(tài)價格向量是一個(y )滿足 的

49、向量 。在單時段多值模型中，套利定價的關(guān)鍵是狀態(tài)(zhungti)價格向量的概念。共一百一十一頁定理1.5.2 對于(duy)單時段多值市場模型，市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在狀態(tài)價格向量.其中(qzhng)，共一百一十一頁1.6 風(fēng)險中性概率(gil)測度 由上一節(jié)的定理1.5.2，我們知道在多資產(chǎn)市場模型中，狀態(tài)價格向量 是套利(to l)定價的關(guān)鍵，并且注意到狀態(tài)價格向量 的所有分量嚴(yán)格是正的。 為了定義和本節(jié)課密切相關(guān)的風(fēng)險中性概率測度和第二章將要學(xué)到的鞅理論，我們將進(jìn)一步的來理解狀態(tài)價格向量。首先，我們來看一下概率論中概率向量的定義。定義：任意一個n維向量 ，如果對于任意的 ，滿足 則稱 為

50、概率向量。共一百一十一頁記 ，我們可以把看成以不同狀態(tài)(zhungti)存在的概率向量. 表示(biosh)的是多少？它在金融市場中的幾何意義是什么？設(shè) 是狀態(tài)價格向量。注：此處的概率向量可能與我們在市場觀察到的股票價格變化的概率無關(guān)。共一百一十一頁如同在單時段兩值模型中一樣，我們假設(shè)市場有正的無風(fēng)險利率，并且在這種假設(shè)情形下，我們進(jìn)一步的假設(shè)可以建立一個關(guān)于有限個可獨立交易的原生資產(chǎn)的一個投資組合 ，可以復(fù)制相應(yīng)(xingyng)的債券使得：即無論市場出于何種狀態(tài)，在期權(quán)到期日投資組合的價值都是1，利用(lyng) 是狀態(tài)價格向量的事實。我們很容易計算這樣的投資組合在零時刻的費用是共一百一十

51、一頁現(xiàn)在(xinzi)在由向量(1.4)給出的概率分布下，在T時刻第i個證券的期望值是即 代表無風(fēng)險利率(ll)的貼現(xiàn)。假設(shè)對應(yīng)資產(chǎn)價值出現(xiàn)的概率為 , 由貨幣時間價值的定義，我們可以得到下面的表達(dá)式，即：綜合上面的表達(dá)式得：共一百一十一頁也就是(jish)這說明(shumng)在概率分布(1.4)下，任何證券的價格都是它的貼現(xiàn)期望收益。定義1.6.1 稱權(quán)益C在T時刻是可達(dá)的，如果它能被對沖，即存在在T時刻價值正好為C的投資組合。注：有時為了強(qiáng)調(diào)相應(yīng)的概率測度Q時，我們用 表示期望算子。共一百一十一頁定理1.6.2 如果市場無套利，那么在T時刻的可達(dá)權(quán)益C在零時刻的惟一價格是 ，這里期望與任

52、何概率測度Q有關(guān)，而對這樣的Q而言，對于所有(suyu)i和 , 是關(guān)于無風(fēng)險利率的貼現(xiàn). 證明：若市場無套利，依據(jù)第5節(jié)的定理1.5.2(市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在價格向量(xingling)，存在狀態(tài)價格向量 使得 ,其中 。令 則我們可以很自然地定義概率向量 使得對于任意的 ,都有 。由于依題意在T時刻權(quán)益是可達(dá)的，即權(quán)益可以完全對沖，故存在投資組合 ，使得 。 共一百一十一頁通過歐式期權(quán)在零時刻下的定義以及無套利的假設(shè)，我們很容易知道，期權(quán)在零時刻下的價格恰好(qiho)是所建立的投資組合在零時刻下的費用，即：由于在無套利的情況下，只存在唯一(wi y)的無風(fēng)險概率，所以如果期望是對任何概

53、率向量Q計算的，而對這樣的Q， 那么獲得同樣的價值。 共一百一十一頁我們有必要(byo)對定理1.6.2的進(jìn)一步的分析和理解。定理1.6.2，我們可以只知道，如果能夠找到一個概率向量或概率測度使得每一個原生證券的價格都等于相應(yīng)原生證券在到期日T時刻的數(shù)學(xué)期望的貼現(xiàn)價格，那么我們就可以利用找到的概率向量計算任何可達(dá)的未定權(quán)益的貼現(xiàn)期望求出歐式期權(quán)在合約簽訂(qindng)日的價格。值得注意的是，無論權(quán)益是什么，我們都利用找到的概率向量去計算。共一百一十一頁接下來我們(w men)會給出幾個具體的例子來說明具體的如何應(yīng)用定理1.6.2，來解決實際的期權(quán)定價問題，但是在具體的給出例子之前，為了說話的

54、方便，我們先給出我們在上面給出的概率向量的一個定義。定義1.6.3 如果在期權(quán)(q qun)到期的T時刻市場處于n中可能的狀態(tài)之一，那么對每一個證券價格是它的貼現(xiàn)期望收益的概率向量 ，稱其為風(fēng)險中性概率測度或等價的鞅測度。在第5節(jié)中，資產(chǎn)定價基本原理(定理1.5.2)的簡單形式指出在一個無風(fēng)險利率為正的市場中，市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在等價的鞅測度。共一百一十一頁為了說明的方便，我們把通過計算與風(fēng)險中性概率測度有關(guān)的期望(qwng)的過程稱之為風(fēng)險中性定價過程。(risk-neutral pricing).為了使大家對利用風(fēng)險中性概率測度(c du)來計算期權(quán)的合理價格有一個直觀的認(rèn)識，我們重新考

55、慮一下第3節(jié)的例題1.3.1，我們將說明利用風(fēng)險中性定價過程，我們能很容易給出期權(quán)的套利價格。下面我們來重新看一下例1.3.1的表述。共一百一十一頁例1.3.1 假設(shè)某個股票的現(xiàn)價是2500日元，一個6個月到期的歐式看漲期權(quán)，其敲定(qio dn)價格是3000日元。投資者相信在6個月內(nèi)股價為4000日元的概率是1/2，為2000日元的概率是1/2。因此，他計算出期權(quán)(當(dāng)它到期時)的期望值是500日元.日元的無風(fēng)險利率現(xiàn)值為0.因此，投資者愿意為期權(quán)支付500日元，這是公平價格嗎?解：現(xiàn)在建立兩種原生資產(chǎn)的投資(tu z)組合，一種是一定數(shù)量的現(xiàn)金債券，一種是原生股票。在有借貸的情況下，貼現(xiàn)為

56、 ，由于我們假設(shè)了日元的無風(fēng)險利率為零，因此 。如果我們假設(shè)我們擁有的現(xiàn)金數(shù)量為A日元，則在合約簽訂日和合約到期日現(xiàn)金數(shù)量保持A日元不變。共一百一十一頁在上面假設(shè)的前提下，T時刻(shk)的證券價值的矩陣是如下形式：設(shè) 是t時刻(shk)下股票的價格，依題意， 日元， 共一百一十一頁設(shè)股票價格上升(shngshng)的風(fēng)險中性概率為P，則股票價格下降的概率為1-P，具體的圖表形式如下圖。共一百一十一頁依據(jù)(yj)定理1.6.2，零時刻股票的價格應(yīng)該等于T時刻股票價格數(shù)學(xué)期望的貼現(xiàn)價格，即由于日元(ryun)的無風(fēng)險概率為零，所以共一百一十一頁解關(guān)于(guny)無風(fēng)險概率P的一元一次方程，得P=

57、0.25.因為期權(quán)到期日股票(gpio)的敲定價格為3000日元，所以如果在期權(quán)到期日股票的價格為4000，則歐式看漲期權(quán)的收益為1000日元，否則為零。由定理1.6.2，零時刻下歐式看漲期權(quán)的價格應(yīng)該是T時刻歐式看漲期權(quán)收益期望的貼現(xiàn)價格，即有下面圖表存在：共一百一十一頁由于(yuy)日元的無風(fēng)險概率為零，所以有即有共一百一十一頁解方程得：日元(ryun)注：1、通過定理1.6.2以及第3節(jié)的例題，我們很容易看出，利用金融市場上的無風(fēng)險概率P作支持，我們通過求到期日可達(dá)權(quán)益的數(shù)學(xué)期望的貼現(xiàn)價值很容易得到歐式期權(quán)在零時刻的合理(hl)價格，從而歐式期權(quán)的定價在單時段兩值模型下變成了一個很容易解決的問題。2、特別的，在單時段兩值模型下計算歐式期權(quán)的合理價格只需先通過股票價格的變化求出無風(fēng)險中性概率，再通過到期日可達(dá)權(quán)益的數(shù)學(xué)期望的貼現(xiàn)價值求得零時刻下歐式期權(quán)的合理價格。共一百一十一頁例 假設(shè)某個股票的現(xiàn)價是2500日元，一個6個月到期的歐式看跌期權(quán)，其敲定價格(jig)是3500日元。投資者相信在6個月內(nèi)股價為4000日元的概率是1/2，為2000日元的概率是1/2。日元的無風(fēng)險利率現(xiàn)值為0。計算歐式看跌期權(quán)(當(dāng)它到期時)的公平價格。下面我們來看一下具體的如何利用(l