1、第五章 測量數(shù)據(jù)處理有效數(shù)字的取舍與運算組合測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理異常值的判斷與剔除2間接測量方程的最小二乘法求解第一節(jié) 有效數(shù)字的取舍與運算第五章 測量數(shù)據(jù)處理3一、保留原則最末一位數(shù)字不可靠，倒數(shù)第二位可靠（最末一位有效數(shù)字與測量分辨力是同一量級）對沒有小數(shù)位且以若干個零結尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)減去無效零（即僅為定位用的零）的個數(shù)。對其他十進位數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)而得到的位數(shù)，就是有效位數(shù)。舉例：35000, 3501020.0035, 0.003504二、舍入規(guī)則末位后的數(shù)字小于0.5時，則舍去，即保留的末位數(shù)字不變末位后的數(shù)字大于0.5時，則進一，即保留

2、的末位數(shù)字加1末位后的數(shù)字恰為0.5時，使末位為偶數(shù)，即末位數(shù)字為奇數(shù)則進一，為偶數(shù)則舍棄4四舍六入逢五湊偶 3.141592.717294.510503.215506.3785017.6914995.434603.1422.7174.5103.2166.3797.6915.435三、運算規(guī)則加減：以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可以相同，也可多取一位數(shù)字（安全數(shù)字），但最后結果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同；乘除：以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可以相同，也可多取一位數(shù)字（參考數(shù)字），但最后結果應與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同；乘方或開方：運算結果的有效位數(shù)應比原數(shù)據(jù)多保留一

3、位有效位數(shù)。例：1648.0+0.0082+1.632+86.62+5.135+316.34+0.545 1648.0+0.01+1.63+86.62+5.14+316.34+0.54 = 2058.28 ? 0.0121*1.36872 0.0121*1.3687 = 0.01656127 ？ 5第二節(jié) 異常值的判斷與剔除第五章 測量數(shù)據(jù)處理7異常值含有粗大誤差（或過失誤差）測量人員的主觀原因客觀外界條件的原因儀器內(nèi)部故障7測量者工作責任感不強、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗操作不當，或在測量時不小心、不耐心、不仔細等，造成錯誤的讀數(shù)或記錄測量條件意外地改變（如機械沖擊、外界振動、電磁干擾等）一、異

4、常值產(chǎn)生的原因二、異常值的判別準則 1. 萊以特準則（ 準則 ） 萊以特準則是最常用也是最簡單的判別異常值的準則，它是以測量次數(shù)充分大為前提，但通常測量次數(shù)較少，因此該準則只是一個近似的準則。 若 則可認為該數(shù)據(jù) 含有異常值，應予以剔除。890.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019+0.009-0.001-

5、0.021-0.021-0.0110.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.00420.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.

6、40123456789101112131415序號0.104 2. 羅曼諾夫斯基準則（t 檢驗準則，測量次數(shù)較少時較為合理）10 首先剔除一個可疑的測得值，然后按 t 分布檢驗被剔除的值是否是含有異常值。 測量數(shù)據(jù)： ，若認為某個測量值 為可疑數(shù)據(jù)，將其剔除后計算平均值為 求得測量數(shù)據(jù)列的實驗標準差 根據(jù)測量次數(shù) n 和選取的顯著度 ，查 t分布得檢驗系數(shù) 。 若 ，則認為測量值 確實含有異常值。二、異常值的判別準則t分布檢驗系數(shù)表11 K n0.050.01 K n0.050.01 K n0.050.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.2

7、63.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81用前面例子的測得值 解：首先懷疑第八組測得值是異常值，將其剔除。然后根據(jù)剩下的14個測量值計算平均值和標準差，得 選取顯著度 ，已知 n15，查表得則因 故第

8、八組測量值是異常值，應予剔除。然后對剩下的14個測得值進行判別，可知這些測得值不再含有異常值。 2. 羅曼諾夫斯基準則二、異常值的判別準則13 1950年格拉布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計量的某種分布規(guī)律提出一種判別異常值的準則。 為了檢驗 中是否含有異常值，按大小順序排列成順序統(tǒng)計量 取一定顯著度(一般0.05或0.01)，查表（下頁）得臨界值判據(jù)： ，可判別該測得數(shù)據(jù)中含有異常值二、異常值的判別準則 3. 格拉布斯準則142.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.592.482.502.532.562.582.602.62

9、2.642.662.742.812.872.963.17171819202122232425303540501001.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.751.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.443456789101112131415160.010.050.010.05格拉布斯臨界值15 今有兩測得值 ， 可懷疑，但由于 故應先懷疑 是否含有異常值，計算 查表得 則 故測量數(shù)據(jù)中第八個測得值 含有異常值，應予剔除。 剩下的14個數(shù)據(jù)，再重復上述步驟，判別

10、 是否是異常值。 計算 故可判別 不是異常值，而各 皆小于1.18，故可認為其余測得值也不是異常值。 3. 格拉布斯準則格拉布斯準則使用的注意事項在應用上述準判斷異常值時，若同時有兩個以上的測得值的殘差vi超出判斷界限，也只能剔除其中|vi |最大的那一個數(shù)據(jù)（如有兩個相同的數(shù)據(jù)超限，也只能剔除其中的任一個）。即，一次只能剔除一個超限的數(shù)據(jù)。之后再按剩下的（n-1）個數(shù)據(jù)重新計算算術平均值、殘差及實驗標準差，繼續(xù)判斷另一個可疑數(shù)據(jù)，直到全部數(shù)據(jù)無問題為止。注：那些在前次判斷中和被剔除的數(shù)據(jù)同時超限的次大（或同樣大）的數(shù)據(jù)，在重新計算后，其|v|可能不再超過判斷界限。16二、異常值的判別準則4.

11、 狄克松準則17設正態(tài)測量總體的一個樣本 按大小順序排列成順序統(tǒng)計量 構造檢驗高端異常值 和低端異常值 ，分以下幾種情形：選定顯著度 ，查表得到各統(tǒng)計量的臨界值 ，若統(tǒng)計值大于臨界值，則認為 x(n) 是異常值。 二、異常值的判別準則18統(tǒng)計量統(tǒng)計量0.010.050.010.053456789101112130.9880.8890.7800.6980.6370.6830.6350.5970.6790.6420.6150.3410.7650.6420.5600.5070.5540.5120.4770.5760.5460.5211415161718192021222324250.6410.616

12、0.5950.5770.5610.5470.5350.5240.5140.5050.4970.4890.5460.5250.5070.4900.4750.4620.4500.4400.4300.4210.4130.406狄克松準則（臨界值表）19 同前例測量數(shù)據(jù)，將 排成如下表順序測量。 首先判斷最大值 ，計算統(tǒng)計量 查表得： 則 ，故 不是異常值。 再判別最小值 ，計算統(tǒng)計量 因 ，故 是異常值，應予剔除。剩下14個數(shù)據(jù)，再重復上述步驟。順序號順序號順序號順序號20.3020.3920.3920.3920.4020.4020.4020.4112345678123456720.4220.422

13、0.4220.4320.4320.4320.439101112131415891011121314)15(x4.狄克松準則小結異常值的判別準則大樣本情況（ n50）用萊以特準則最簡單方便，雖然這種判別準則的可靠性不高，但它使用簡便，不需要查表，故在要求不高時經(jīng)常使用；20t 個正規(guī)方程-求解t個被測量的最佳估計值二、正規(guī)方程求解代數(shù)形式殘差方程按最小二乘法原理轉(zhuǎn)化得到的有確定解的代數(shù)方程組28例題求解步驟：1.列殘差方程 2.列正規(guī)方程 3.求解 2530404520102001.6029二、正規(guī)方程求解矩陣形式代數(shù)形式30知識補充：矩陣求導矩陣的導數(shù)有如下性質(zhì)：31最小二乘法原理式 求導不等

14、權正規(guī)方程組 正規(guī)方程組解 正規(guī)方程的矩陣表達式二、正規(guī)方程求解矩陣形式32（加權）未知量個數(shù)殘差2. 待求量 x1, x2, ，xt 的實驗標準差為直接測量量的標準差對角元素1. 直接測量值 的實驗標準差為方程個數(shù)三、標準差估計第四節(jié) 組合測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理第五章 測量數(shù)據(jù)處理34為精密測定1、2、3號電容器的電容量x1, x2, x3， 進行了等權、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得 1號電容值 l1 = 0.3 2號電容值l2 = - 0.4 1號和3號并聯(lián)電容值 l3 = 0.5 2號和3號并聯(lián)電容值 l4 = - 0.3待測值 x1, x2, x3 直接測量值l1, l2, l3,

15、l4 t=3個未知量n=4 次測量引題組合測量問題3535組合測量指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關系中，確定出各被測量的最佳估計值。 例如，為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量 測得值待解的數(shù)學模型 待求量為了獲得更可靠的結果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目一、組合測量的基本概念36【解】 列出測量殘差方程組 矩陣形式二、最小二乘法求解37正規(guī)方程組 二、最小二乘法求解38三、標準差的計算代入殘差方程組，計算 39【例】 要求檢定線紋尺 0，1，2，3 刻線間的距離。已知用組合測量法測得下圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其實驗標準偏差。 例題40計算步驟【解】列出測量殘差方程組 41解出即計算結果計算步驟42代入殘差方程組可得 估計的標準差 計算步