1、向量復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)1：兩個(gè)不為零的向量a，b平行，ab(0)如果a,b可以用直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示，那么設(shè)a(m,n),b(p,q)，那么mqnp如果a,b可以用兩個(gè)不共線的基向量c,d表示，比如說(shuō)amcnd，bpcqd，那么基向量前面的系數(shù)成比例，也就是mqnp在這里強(qiáng)調(diào)其實(shí)后面兩點(diǎn)是一樣的，因?yàn)橄蛄康淖鴺?biāo)表示法引進(jìn)前身是用直角坐標(biāo)系的兩個(gè)垂直的單位向量i,j，比如a(m,n)，也即是aminj，為了方便，我們寫成坐標(biāo)形式，而這點(diǎn)其實(shí)是的一般形式，就是講兩個(gè)基向量推廣到了不垂直的情況。用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的例題比如說(shuō)：【例一】設(shè)a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ab與(b2a)共線，則的值為【解析】要求的兩

2、個(gè)向量就是用a與b作為基底的，那么這兩個(gè)向量共線可以得到前面的系數(shù)成比例，也即是121，也即12AB2【例二】在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若ACa，BDb，則AF=（）111abab423311Cab2412Dab33【解析】比如說(shuō)運(yùn)用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)首先本題的難點(diǎn)在于F點(diǎn)的位置，其在DC中的位置比例，所以首先要確定其位置在哪里，所以，我們?cè)O(shè)DFDC那么我們就可以用一個(gè)A,E,F共線來(lái)確定的值所以我們可以用AE,AF用相同基向量表示這兩個(gè)向量，然后用系數(shù)比例的關(guān)系求出這個(gè)的值A(chǔ)E1則441111131AOADACAD(ADAB)ADAD

3、AB22424244AFADDFADDCADAB31113AFAD11AB(BOOC)(AOOB)33242121BOOCACBDab333333【例三】如圖，在ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2）、（5，2）、（3，0），點(diǎn)N在AC上，且AN2NC，AM與BN的交點(diǎn)為P，求：（1）點(diǎn)P分向量AM所成的比的值；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)【解析】這題例題也是同樣的道理，（1）主要求P點(diǎn)，假設(shè)APAM,因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線，所以BP,BN用基向量BA,BC表示，再用待定系數(shù)法求得的值。BPBMMP111BC(1)AMBC(1)(ACAB)22211BC(1)(ABBCAB)BC(1

4、)AB222BNBCCNBC1121ACBC(ABBC)BCAB33332(1)2(1)4，所以分向量AM所成的比的值為131所以2254362（2）用比例的方法可以得到P(,)55（總結(jié)方法：在圖中有未知線段的比例不知道，就可以先設(shè)其線段比例為，然后利用一個(gè)三點(diǎn)共線的兩向量平行來(lái)求解的值。）知識(shí)點(diǎn)2：重要定理（此定理在2013年高考中多省份考到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)）：假設(shè)平面上有三點(diǎn)P,Q,C,且這三點(diǎn)共線，另外有不在這條直線上的點(diǎn)O點(diǎn)，可以得到OCOPOQ,1證明這個(gè)定理：證明：可以由P,Q,C三點(diǎn)共線可以假設(shè)PCtPQ，OCOPPCOPtPQOPt(POOQ)(1t)OPtOQ也即1t,t1不難得

5、出：如果C在PQ線段之間是可以得到01,01,1如果C在PQ延長(zhǎng)線上時(shí)，1,0,1如果C在QP延長(zhǎng)線上時(shí)，1,0,1例題講解【例四】如下圖所示，兩射線OA與OB交于點(diǎn)O，下列5個(gè)向量中，3131112OAOB，OAOB，OAOB，OAOB,43452331OAOB若以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的45向量有（）個(gè)A1B2C3D4【解析】可得在BA的延長(zhǎng)線上，如何運(yùn)用上面的定理主要靠轉(zhuǎn)化成定理的形式，比如說(shuō)31311OAOB(OAOB)OB，那么43441231OAOB的終點(diǎn)在AB線段上，如圖1，那443么(OA4同理可以11OB)OB就會(huì)在如圖的陰影部分內(nèi)。412將3131OAOB轉(zhuǎn)

6、化為OAOB4345311OAOBOB44201111將OAOB轉(zhuǎn)化為OAOB23233131將OAOB轉(zhuǎn)化為OAOB4545111OAOBOB226319OAOBOB4420【例五】（2013安徽卷理9）在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿|OA|OB|OAOB2,則點(diǎn)集P|OPOAOB,|1,R所表示的區(qū)域面積是(A)22(B)23(C)42(D)43【解析】|OA|OB|OAOB2，可以得到|OA|OB|2，且兩個(gè)向量的夾角為60，如圖可以將兩個(gè)向量放到半徑為2的圓內(nèi)，如圖2。且由|1，可得0|1,01，那么當(dāng)01,01時(shí)，可知P點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)閳D中灰色區(qū)域當(dāng)01,01，將問(wèn)題

7、轉(zhuǎn)化為OPOAOBAOOB,那么P點(diǎn)形成的區(qū)域則是紫色的區(qū)域當(dāng)01,01，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為OPOAOBAOBO那么P點(diǎn)形成的區(qū)域是紅色的區(qū)域當(dāng)01,01，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為OPOAOBOABO那么P點(diǎn)形成的區(qū)域是黃色的區(qū)域所以，綜上所述可得P點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)為23，寬為2的矩形區(qū)域，即面積為43，所以答案選D。知識(shí)點(diǎn)3：向量的基本要素求解：一般求解向量的基本要素，主要分為求解向量之間的夾角和向量的模長(zhǎng)。那么要求這幾個(gè)要素必須要明白其可求解的途徑：求解模長(zhǎng)，1）如果向量a的坐標(biāo)(x,y)已知（前提是在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)）那么就可以直接選用勾股定理求解ax2y22）如果向量a的坐標(biāo)不知道，但是a用兩個(gè)已

8、知的基向量表示出來(lái)，并且已知基向量的模長(zhǎng)，基向量之間的夾角，那么可以通過(guò)對(duì)模長(zhǎng)平方來(lái)求解，比如：已知cm,dn,且cdr，如果apcqd，則a2pcqd2(pc)22pqcd(qd)2p2m22pqrq2n2一般在不知道坐標(biāo)的情況下都可以進(jìn)行平方求解。3）可以用公式求解cos夾角求解1）可以用公式求解cosmnmnmnmn2）兩向量夾角的范圍0，兩向量的夾角與三角形中角的類型的判斷有著密切的聯(lián)系：若02，則該角為銳角0cos1當(dāng)a0,b0時(shí)，ab02，則該角為直角cos0當(dāng)a0,b0時(shí)，ab0若若2，則該角為鈍角1cos0當(dāng)a0,b0，ab0知識(shí)點(diǎn)4：1）向量的點(diǎn)積ababcos，如果向量有坐

9、標(biāo)，a(x,y),b(x,y)，則1122abxxyy。12122）向量a在向量b上的投影為acos（投影可以是負(fù)的），向量在基向量上分解，平行四邊形原則。ABAC，AQABAC，【例六】如圖，設(shè)P、Qeqoac(,為)ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，AP2121553455C解，已知APABAC，AQABAC，如下eqoac(,則)ABP的面積與ABQ的面積之比為【解析】本題考查的是向量的平行四邊形法則分212134圖，設(shè)AMAB，ANAC，則APAMAN，由平2155行四邊形法則，知NPAB，SAN1S1所以ABP，同理可得ABQ，SAC5S4ABCABCANMPQB故SABPSABQ45【例七】（2013浙江卷理7）設(shè)ABC,P是邊AB上一定點(diǎn)，滿足PB1400AB上任一點(diǎn)P，恒有PBPCPBPC。則（）00AB，且對(duì)于邊A.ABC900B.BAC900C.ABACD.ACBC【解析】本題考查向量的幾何意義，也就是投影。過(guò)C點(diǎn)作CHAB，并且此處記PBPHHB,且若P點(diǎn)在HB之間時(shí)，記PH為負(fù)，P點(diǎn)在AH之間時(shí)，PH為正，所以PBPCPBPH，此處的PH與上述的PH相同，所以PBPCPBPH(PHHB)PHPH2HBPH(PHHB)2HB)222當(dāng)三角形確定以后，HB就為常數(shù)可以定下來(lái)，而PH為一個(gè)變量，所有把它看成一個(gè)函數(shù)，可知，當(dāng)PHHB時(shí)，PBPC最