1、第二節(jié) 類似矩陣 一、類似矩陣的概念 定義4.2 設(shè)A、B都是n階矩陣，假設(shè)存在非奇特矩陣P，使得 P1APB我們稱A與B類似。記為“AB；P稱為A與B類似的變換矩陣。顯然，類似矩陣有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：AA 只需取PI如AB，那么必有BA證明：由于AB，所以存在可逆矩陣P，有 P1APB所以 APBP1 即 A(P1)1 B(P1)即是 BA 如AB，BC，那么必有AC。證明: 由于AB, BC，所以存在可逆矩陣P1、P2 P11AP1B，P21BP2C所以有 P21P11AP1P2C即有 P1P21AP1P2C所以 AC 二、類似矩陣的性質(zhì) n階矩陣A與B假設(shè)類似，那么它們會(huì)有許多共同之處。 性

2、質(zhì)1.如AB，那么A與B有一樣的特征值。 證明：AB，那么存在可逆矩陣P有 P1APB 所以 |IB|IP1AP | | P1IAP| | P1|IA | P| |IA | 即A與B的特征方程一樣, A與B有一樣的特征值。 性質(zhì)2.如AB，那么A與B的秩一樣。證明：AB，那么存在可逆矩陣P有 P1APB (1)由于P可逆，可設(shè) PT1T2Ts (Ti為初等矩陣)代人1得 T1T2Ts1AT1T2TsB Ts-1Ts-1-1T2 1T1-1AT1T2TsB即A經(jīng)過2s次初等變換可變成B，所以必有 秩A秩B 性質(zhì)3.如AB，那么AB證明：AB，那么存在可逆矩陣P有 P1APB所以有 BP1AP|

3、P1|A| |P|A| 性質(zhì)4.如AB，那么A與B的奇特性一樣利用性質(zhì)3可得此結(jié)論例1. 知三階矩陣A與B類似，A的特征值為1、2、3，求矩陣B22B的特征值。解：A與B類似，那么B的特征值也為 1、2、3由上節(jié)例3知 B2 - 2B 的特征值為 1、0、3。 例2.設(shè)n階矩陣A與B類似，證明A2-A與B2-B類似。證明：A與B類似。那么存在可逆矩陣P，有 P-1APB所以 B2(P-1AP)(P-1AP)P-1A2P可得 P1 (A2 A ) PP1A2PP1APB2B因此可得 A2 A 與 B2 B 類似。矩陣與對(duì)角矩陣類似的條件 一.斷定定理.n階矩陣A與對(duì)角矩陣類似的充分必要條件是A有

4、n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。記P為A的特征向量組成的矩陣，對(duì)角矩陣是由P的列對(duì)應(yīng)的特征值組成的對(duì)角矩陣，那么有P1AP，即A.證明：i必要性假設(shè)A與對(duì)角矩陣類似，那么存在可逆矩陣P有 P1AP 可得 APP 設(shè) P(X1X2Xn) 其中,Xi為P的第i列,由于P可逆，顯然X1X2Xn線性無關(guān)。 下證Xi為特征向量再設(shè)又 AP = A (X1X2Xn) = AX1 AX2 AXn由AP = P得：AX1 AX2 AXn=1X1 2X2 nXn進(jìn)而可得：AXi = iXi ( i = 1,2, , n)所以X1X2Xn是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 (ii)充分性設(shè)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量X1X2X

5、n，它們依次對(duì)應(yīng)的特征值分別為12n，那么有AXiiXi 令 P (X1X2Xn) 那么可得 AP = A (X1X2Xn) = AX1 AX2 AXn P1X1 2X2 nXn APP P1AP 即是 A 證畢.可以得到求與A類似的對(duì)角矩陣，以及類似變換矩陣 P 的步驟： 第一步：由IA0求出特征值。 第二步：對(duì)于每個(gè)，解方程組(IA)X0求出根底解系，最后得到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量X1X2Xn。必有 P 1AP = 第三步：得到例. 矩陣求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣，使P1AP。解: 因此特征值11 2 - 2 當(dāng)1時(shí)方程組IAX0為 其根底解系為: 其根底解系為: 當(dāng)2時(shí)，方程組AX0為 有

6、P1AP 因此特征值12 24 當(dāng)2時(shí)方程組(IA)X0為 例: 矩陣斷定定理2.n階矩陣A與對(duì)角矩陣類似的充要條件是對(duì)于每一個(gè)ni重特征值i有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。即iIAX0的根底解系有ni個(gè) 其根底解系為: 所以矩陣A不與對(duì)角矩陣類似.例. 知 能對(duì)角化, 求An(n1). 解: 先求A的特征方程 由此可見A有三個(gè)特征值, 1=0, 2=3=1. 由于A可以對(duì)角化, 必需對(duì)應(yīng)于重根2=3=1有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 對(duì)于特征值= 1時(shí)AY0為對(duì)其系數(shù)矩陣作行初等變換, 可以看出假設(shè)此齊次方程要有兩個(gè)線性無關(guān)的根底解系, 就必需有兩個(gè)自在變量, y3曾經(jīng)是一個(gè)自在變量, 因此需求y2也

7、是自在變量, 這就要求上面矩陣的第二行全為零, 即x+2=0,得x=-2 此時(shí)這時(shí)候, A能對(duì)角化, 所以存在方陣 T 使 上式兩邊同時(shí)左乘 T 及右乘 T-1 可得 又 例 2 設(shè)有矩陣 (1) 問矩陣 A 能否可對(duì)角化, 假設(shè)能, 試求可逆矩陣 P 和對(duì)角矩陣 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 能否獨(dú)一，舉例闡明. 解單擊這里求特征多項(xiàng)式和特征值1 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為當(dāng)時(shí), 解方程組即所以 A 的三個(gè)特征值分別為:單擊這里開場(chǎng)求解解之得根底解系為所以是對(duì)應(yīng)于的特征向量.當(dāng)時(shí), 解方程組即解之得根底解系為所以是對(duì)應(yīng)于的特征向量.單擊這里開場(chǎng)求解當(dāng)時(shí)

8、, 解方程組即所以是對(duì)應(yīng)于的特征向量.解之得根底解系為單擊這里開場(chǎng)求解由于線性無關(guān)即三階矩陣 A 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 所以令那么單擊這里求逆矩陣 A 可對(duì)角化.此時(shí)且有 P-1AP = . 2 使 P-1AP = 成立的 P、 不獨(dú)一. 如假設(shè)取那么此時(shí)亦有 P-1AP = .單擊這里求逆例 3 斷定以下矩陣能否類似于對(duì)角矩陣, 假設(shè)類似, 那么求出可逆矩陣 P , 使 P-1AP 是對(duì)角矩陣.矩陣 A 是個(gè)對(duì)角線上的元素一樣的上三角矩陣, 留意任何對(duì)角矩陣、上下三角矩陣的特征值都是其對(duì)角線上的元素, 所以此題 A 的特征值為使 A = P-1 P, 但是 P-1 P = P-1EP

9、= E就應(yīng)有 A = E, 這顯然不對(duì), 所以說 A 不類似于對(duì)那么 A 不類似于對(duì)角矩陣,由于假設(shè) A 類似于對(duì)角矩陣 , 那么 就是單位矩陣, 且應(yīng)有可逆矩陣 P , 角矩陣.(1) 解先求特征值，A 的特征多項(xiàng)式為A 的特征值為再求特征向量單擊這里求特征值(2) 解 當(dāng)時(shí)，解方程組即得對(duì)應(yīng)于的特征向量為單擊這里求解當(dāng)時(shí)，解方程組即 得對(duì)應(yīng)于的特征向量為單擊這里求解令那么 P 可逆，且有由于 3 階矩陣 A 找到了個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以方陣 A 類似于對(duì)角矩陣. 例 4 設(shè)類似于對(duì)角矩陣, 求 x與 y 應(yīng)滿足的條件.先求特征值, A 的特征多項(xiàng)式為所以 A 的特征值為A 類似于對(duì)角矩

10、陣的充分必要條件是, A 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 解 行變換所以 x、y 應(yīng)滿足的條件為 :特征向量. 的秩為 1 , 下面把矩陣化為行最簡(jiǎn)形.應(yīng)能找到兩個(gè)線性無關(guān)的即 A 的二重特征值這時(shí)就要求矩陣即 例 5 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 求 A 和 A100 .因 3 階方陣 A 的三個(gè)特征值互不相那么 A = PP-1.等, 所以 A 可對(duì)角化, 即存在可逆方陣 P , 使解令單擊這里開場(chǎng)求逆那么且 P-1AP = 所以 由于 A = PP-1 ，所以 A100 = P100P-1,二.約當(dāng)規(guī)范形簡(jiǎn)介 1.約當(dāng)塊:約當(dāng)塊的特點(diǎn)是主對(duì)角線都為,次對(duì)角線都為1 2.約當(dāng)形矩陣 (約當(dāng)規(guī)范形) 假設(shè)一個(gè)分塊對(duì)角矩陣的一切子塊都是約當(dāng)塊,即其中J1，J2，Jn，都是約當(dāng)塊，稱 J 為約當(dāng)形矩陣，或稱為約當(dāng)規(guī)范形。 例如：以下矩陣都是約當(dāng)形矩陣 而以下矩陣不是約當(dāng)形矩陣 留意: 對(duì)角矩陣也是一種特殊的約當(dāng)形矩陣定理.對(duì)的n階方陣A，都有與之類似的約當(dāng)形矩陣。即是存在n階可逆矩陣P和約