1、維納濾波和卡爾曼濾波 5 卡爾曼(Kalman)濾波 1 引言2 維納濾波器的離散形式時(shí)域解3 離散維納濾波器的z域解4 維納預(yù)測(cè)1 引 言 觀測(cè)到的信號(hào)都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號(hào)提取出來(lái)，是信號(hào)處理基本的問(wèn)題。信號(hào)處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號(hào)。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，只考慮加性噪聲的影響，即觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)是信號(hào)s(n)與噪聲v(n)之和信號(hào)處理的目的是得到s(n)，也稱為期望信號(hào)，濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)的期望輸出為yd(n)，yd(n)應(yīng)等于s(n)；系統(tǒng)的實(shí)際輸出為y(n)，y(n)是s(n)的逼近或估計(jì)，yd(n)=s(

2、n)，y(n) = 。采用不同的最佳準(zhǔn)則，估計(jì)得到的結(jié)果可能不同對(duì)信號(hào)x(n)處理，可以看成是對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)，可以將h(n)看作是估計(jì)器，信號(hào)處理的目的是要得到信號(hào)的一個(gè)最佳估計(jì)。得到結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，并且物理概念清楚維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律（自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度）維納濾波的最大缺點(diǎn)是僅適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)以估計(jì)結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。最小均方誤差準(zhǔn)則(MMSE,Mininum Mean Square Error)2 維納濾波器的離散形式時(shí)域解 根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性

3、，可以得到濾波器的輸出y(n):n = 0, 1, 2, 設(shè)期望信號(hào)為d(n)，誤差信號(hào)及其均方值分別為: 2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法要使均方誤差為最小，須滿足 誤差的均方值是標(biāo)量，因此上式是一個(gè)標(biāo)量對(duì)復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題， 它等價(jià)于 記 j=0, 1, 2, 則上式可以寫為 展開(kāi)得 j = 0, 1, 2, 說(shuō)明：均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是正交性原理。它的重要意義在于提供了一個(gè)數(shù)學(xué)方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。 因此 輸出信號(hào)y(n)與誤差信號(hào)e(n)的互相關(guān)函數(shù) 濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)的輸出為yopt(n)此時(shí)，輸出yopt

4、(n)與期望信號(hào)d(n)的誤差為eopt(n)期望信號(hào)、估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系 當(dāng)濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，上圖中各矢量的幾何表示為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。假定輸入信號(hào)x(n)和期望信號(hào)d(n)都是零均值, 應(yīng)用正交性原理因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值y(n)的能量總是小于等于期望信號(hào)d(n)的能量。 ryx(-k) = r*xy(k)k = 0, 1, 2, 2.2 維納霍夫方程上式稱為維納-霍夫（WienerHopf）方程。k=0, 1, 2, 當(dāng)k=0時(shí)當(dāng)h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的因果序列(即系統(tǒng)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的FIR濾波器)時(shí)，

5、 維納-霍夫方程表述為 當(dāng)k=1時(shí)當(dāng)k=M-1時(shí)可以寫成矩陣的形式已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的，如果想通過(guò)增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新M基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。 假定所研究的信號(hào)都是零均值的，維納濾波器為M長(zhǎng)的FIR型，估計(jì)的均方誤差為： 2.3 估計(jì)誤差的均方值均方誤差與濾波

6、器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)h(n)為M維向量，因此均方誤差是一個(gè)M維超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。例:設(shè)y(n)=x(n)+v2(n), v2(n)是白噪聲, 方差22=0.1.期望信號(hào)x1(n)的信號(hào)模型如圖(a)所示，其中白噪聲v1(n)的方差21=0.27, b0=0.8458。x(n)的信號(hào)模型如圖(b)所示，b1=0.9458。假定v2(n)與x(n)、x1(n)不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為2的FIR濾波器。 解觀測(cè)數(shù)據(jù)為y(n)，期望信號(hào)為x1(n

7、)m = 0, 1 計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)矩陣該維納濾波達(dá)到最佳狀態(tài)時(shí)的均方誤差3 離散維納濾波器的z域解 在時(shí)域設(shè)計(jì)維納濾波器就是求解維納-霍夫方程 1)求解該方程時(shí)需要計(jì)算自相關(guān)函數(shù)矩陣Rxx的逆矩陣，使得運(yùn)算量很大。 2)濾波器的長(zhǎng)度事先不能確定，當(dāng)改變長(zhǎng)度時(shí)，所有數(shù)據(jù)就需要重新進(jìn)行計(jì)算。效率很低。 因此，維納濾波器的設(shè)計(jì)和求解，一般是在頻域和復(fù)頻域進(jìn)行。若不考慮濾波器的因果性設(shè)d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做z變換，得-k假設(shè)期望信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，則 上式表示，當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部通過(guò)；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。P

8、ss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 圖 非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性 然而實(shí)際的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非因果問(wèn)題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。j = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, 假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)的信號(hào)模型B(z)已知，求出信號(hào)模型的逆系統(tǒng)B-1(z)，將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)的輸出(n)為白噪聲?；仡櫱懊嬷v的時(shí)間序列信號(hào)模型 把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過(guò)程稱為白化

9、，對(duì)應(yīng)的濾波器稱為白化濾波器.x(n)的白化濾波器 x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型 用白噪聲作為維納濾波器G(z)的輸入，假設(shè)1/B(z)為信號(hào)x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么關(guān)于x(n)的維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)表示為 因此，維納濾波器H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解圖 維納濾波解題思路 3.1 非因果維納濾波器的求解 假設(shè)待求維納濾波器的輸入為(n)，期望信號(hào)d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號(hào) ，g(n)是G(z)的逆z變換 均方誤差為： 均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是與g(k)無(wú)關(guān)的常數(shù), 要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng) -k 因此g(k)的最佳值為 對(duì)上式兩邊同時(shí)做z變換，得 -k

10、因此，非因果維納濾波器的最佳解為 根據(jù)相關(guān)卷積定理, 得對(duì)上式兩邊做z變換，得到 非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即Es(n)v(n)=0得到信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為 下面推出在復(fù)頻域(z域)計(jì)算維納濾波器最小均方誤差E|e(n)|2min的計(jì)算方法 維納濾波器的最小均方誤差不僅與輸入信號(hào)的功率譜，而且與信號(hào)和噪聲的功率譜乘積有關(guān)，也就是說(shuō)，最小均方誤差與信號(hào)和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關(guān)維納濾波器是一個(gè)因果濾波器時(shí)，有g(shù)(n)=0 n0 則濾波器的輸出為 類似于非因果時(shí)的推導(dǎo)，可得3.2 因果維納濾波器的求解均方

11、誤差為：要使均方誤差取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng) 雙邊序列 取其因果部分 求解因果序列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解非因果序列的問(wèn)題所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為 對(duì)于非因果情況對(duì)于因果情況 非因果情況的E|e(n)|2min一定小于等于因果情況E|e(n)|2min (2)求的z反變換，取其因果部分再做z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得因果維納濾波器設(shè)計(jì)的步驟為： (1)根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解方法得到B(z)。方法為Sxx(z)=2B(z)B(z-1)，單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給B(z)，單位圓外的零極點(diǎn)分配給B(z-1)，系數(shù)分配2(3) 例 已知 信號(hào)和噪聲不相關(guān)

12、,rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲(2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E|e(n)|2min解根據(jù)白噪聲的特點(diǎn)得出Svv(z)=1, 由噪聲和信號(hào)不相關(guān)， 得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)(1) 首先分析物理可實(shí)現(xiàn)情況觀測(cè)數(shù)據(jù)的均方誤差為(2) 對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況,有 可以看出非物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實(shí)現(xiàn)情況的均方誤差。 4 維 納 預(yù) 測(cè) Sxx(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜;Sxyd(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)的傅里葉變換 4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)yd(n)=s(n)，實(shí)際的

13、輸出為 。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出信號(hào)yd(n)=s(n+N)，實(shí)際的輸出 。前面已經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為 對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器，其輸出信號(hào)y(n)和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)e(n+N)分別為 要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足 其中，hk表示h(k) 觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)和互功率譜密度Sxyd(z)分別為 非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為 從上面分析可以看出，維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。 假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪聲，當(dāng)v(n)=0，期望信號(hào)為s(n+N), N0，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。4.

14、2 純預(yù)測(cè) 假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最佳解分別為 純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為 應(yīng)用復(fù)卷積定理 b(n)是因果系統(tǒng)當(dāng)預(yù)測(cè)的距離越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)的效果越差，偏差越大，因而 越大。 解例：已知 其中-1a1， 求: (1) 最小均方誤差下的 (2) E|e(n+N)|2min 對(duì)Sxx(z)進(jìn)行功率譜分解取因果純預(yù)測(cè)維納濾波器 由Hopt(z)=aN，此時(shí)可以把純預(yù)測(cè)的維納濾波器看作是一個(gè)線性比例放大器。可以寫出x(n)所對(duì)應(yīng)的輸入輸出差分方程 根據(jù)x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型已知x(n-1), x(n-2),x(n-p),預(yù)測(cè)x(n)，假設(shè)噪聲v(n)=0，稱為一

15、步線性預(yù)測(cè)。設(shè)定系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出信號(hào)y(n)為 令apk= -h(k)，則 預(yù)測(cè)誤差 4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解其中,ap0=1要使均方誤差為最小值，要求 與維納濾波的推導(dǎo)過(guò)程類似, 可以得到正交性原理 均方預(yù)測(cè)誤差 將誤差公式代入上式 由于預(yù)測(cè)器的輸出 是輸入信號(hào)的線性組合，得 說(shuō)明誤差信號(hào)與輸入信號(hào)滿足正交性原理，預(yù)測(cè)誤差與預(yù)測(cè)的信號(hào)值同樣滿足正交性原理。預(yù)測(cè)誤差的最小均方值 將方程組寫成矩陣形式 這就是有名的Yule-Walker方程Yule-Walker方程具有以下特點(diǎn)： (1) 除了第一個(gè)方程外，其余都是齊次方程; (2) 與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測(cè)數(shù)

16、據(jù)x(n)與期望信號(hào)s(n)的互相關(guān)函數(shù)。 該方程組有p+1個(gè)方程，對(duì)應(yīng)地，可以確定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min，共計(jì)p+1個(gè)未知數(shù)，因此可用來(lái)求解AR模型參數(shù)。這就是后面要介紹的AR模型法進(jìn)行功率譜估計(jì)的原理，它再一次揭示了時(shí)間序列信號(hào)模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)描述一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的等價(jià)性。 對(duì)Sxx(z)做z反變換，得到x(n)的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)rxx(m)=0.8|m| 采用試驗(yàn)的方法確定模型階數(shù)p。先取p=2，代入Yule-Walker方程 例：已知 x(n)為AR模型，求AR模型參數(shù) 求解AR模型參數(shù)包括確定AR模型的階數(shù)p及系數(shù)ap1,ap2, ,app解計(jì)算

17、得 a1= -0.8， a2= 0, 2=0.36 取p=3，可計(jì)算出a1= -0.8, a2=a3=0, 2=0.36，說(shuō)明AR模型的階數(shù)是一階的。采用譜分解的方法，即對(duì)Sxx(z)進(jìn)行譜分解，得到的模型也是一階的，其時(shí)間序列模型和差分方程為 設(shè)計(jì)維納濾波器要求已知信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。維納濾波器最大缺點(diǎn)是僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)為了解決非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機(jī)序列的估計(jì)問(wèn)題，卡爾曼提出了遞推最優(yōu)估計(jì)理論?？柭f推法根據(jù)前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近的觀測(cè)數(shù)據(jù)，遞推估計(jì)當(dāng)前的狀態(tài)值。適合于計(jì)算機(jī)處理，可以處理多維、非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，已廣泛的應(yīng)用于很多領(lǐng)域。2.5 卡爾曼(Kalman)濾波 估計(jì)一

18、個(gè)包含測(cè)量噪聲的未知數(shù)據(jù)的均值：假設(shè)順序測(cè)得的數(shù)據(jù)為：4) 依次類推，可得均值為：1) 測(cè)得第一個(gè)數(shù)據(jù) ，存入 ，計(jì)算均值為2) 測(cè)得第二個(gè)數(shù)據(jù) ，存入 的同時(shí)，計(jì)算均值3) 測(cè)得第三個(gè)數(shù)據(jù) ，存入 的同時(shí)，計(jì)算均值隨著測(cè)量數(shù)據(jù)的增加，需要存貯的數(shù)據(jù)越來(lái)越多，計(jì)算量也越來(lái)越大。1) 測(cè)得第一個(gè)數(shù)據(jù) ，計(jì)算均值為： 存入均值 ，拋棄 ；2) 測(cè)得第二個(gè)數(shù)據(jù) ，計(jì)算均值為： 存入 ，拋棄 和 ；4) 依次類推，可得均值為：3) 測(cè)得第三個(gè)數(shù)據(jù) ，計(jì)算均值為： 存入 ，拋棄 和 ；遞推法計(jì)算過(guò)程：n時(shí)刻的估計(jì)值 可以由(n-1)時(shí)刻的估計(jì)值 和當(dāng)前的觀測(cè)值 加權(quán)確定： 顯然遞推法可以獲得同非遞推法相

19、同的精度，但遞推法不需要將過(guò)去的測(cè)量值都保存起來(lái)，只是將前一次的估值存起來(lái)，在獲得新數(shù)據(jù)后，在估計(jì)中加以考慮計(jì)算就行了。(1)算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因而適用于多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)，適用于計(jì)算機(jī)處理。卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程組成。用前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量的當(dāng)前值，并以狀態(tài)變量的估計(jì)值的形式給出結(jié)果?？柭鼮V波具有以下特點(diǎn)：(2)用遞推法計(jì)算不需要知道全部過(guò)去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。(3)卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為最小均方誤差準(zhǔn)則 假設(shè)某系統(tǒng)k時(shí)刻

20、的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測(cè)方程（也稱為輸出方程）表示為 其中，k表示時(shí)間，這里指第k步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值；輸入信號(hào)k是白噪聲，輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲vk也是白噪聲, 輸入信號(hào)到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即B=1；A表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間發(fā)生變化，用Ak表示第k步迭代時(shí)，增益矩陣的取值2.5.1 卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程C表示狀態(tài)變量與輸出信號(hào)之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間變化，第k步迭代時(shí)，取值用Ck表示，其信號(hào)模型如下圖所示。卡爾曼濾波器的信號(hào)模型 為了后面的推導(dǎo)簡(jiǎn)單，假設(shè)狀態(tài)變量的增益矩陣Ak不隨時(shí)間發(fā)生變化，k,vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk，

21、并且狀態(tài)變量的初始狀態(tài)與k,vk都不相關(guān)，r表示相關(guān)系數(shù)。即 卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的，其基本思想是先不考慮輸入信號(hào)k和觀測(cè)噪聲vk的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào)(觀測(cè)數(shù)據(jù))的估計(jì)值，再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值，使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小。因此,卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最佳值。2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法 當(dāng)不考慮觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為 顯然，由于不考慮觀測(cè)噪聲的影響，輸出信號(hào)的估計(jì)值與實(shí)際值是有誤差的，誤差用 表示 為了提高狀態(tài)估計(jì)的質(zhì)量，用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差 來(lái)校正狀態(tài)變量 Hk為增益矩陣，實(shí)質(zhì)是一加權(quán)矩陣。經(jīng)過(guò)校正后的狀

22、態(tài)變量的估計(jì)誤差及其均方值分別用 和Pk表示，把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值用 表示 卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值Pk為最小，因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到Pk與Hk的關(guān)系式，即通過(guò)選擇合適的Hk,使Pk取得最小值?？柭f推公式 初始條件Ak，Ck，Qk，Rk，yk， ，Pk-1已知，其中 , P0 = varx0, 遞推流程見(jiàn)下圖卡爾曼濾波遞推流程 例：已知 信號(hào)與噪聲不相關(guān)，yk=xk+vk,求卡爾曼信號(hào)模型中的Ak和Ck。根據(jù)Sxx(z) =2B(z)B(z-1)，得解：由yk=xk+vk 得：Ck=1對(duì)Sxx(z)進(jìn)行譜分解，確定x(n)信號(hào)模型B(z)，確定Ak

23、 上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號(hào)(n)的時(shí)間不同，因此將Sxx(z)改寫為 Ak = 0.8 卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波的; 但維納濾波是在信號(hào)進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)后的分析; 卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進(jìn)行濾波。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關(guān)系? 下面舉一例說(shuō)明。 例:已知在k=0時(shí)開(kāi)始觀察yk, yk=xk+vk，用卡爾曼過(guò)濾的計(jì)算公式求xk，并與維納過(guò)濾的方法進(jìn)行比較。解將參數(shù)矩陣Ak,Ck,Qk,Rk代入卡爾曼遞推公式，得 Kalman濾波迭代結(jié)果 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波

24、的狀態(tài)方程: 用維納濾波的方法分析yk為觀測(cè)數(shù)據(jù)，xk為期望信號(hào)非因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：可看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的 通過(guò)上面的例題，可以看出維納濾波是已知前p個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)及信號(hào)與噪聲的相關(guān)函數(shù)，通過(guò)建立模型的方法分析的?？柭鼮V波要求已知前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值 和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值yk，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程遞推得到結(jié)果。維納濾波的解以H(z)的形式給出，卡爾曼濾波的解是以狀態(tài)變量的估計(jì)值給出。它們都采用均方誤差最小的準(zhǔn)則, 但卡爾曼濾波有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，在過(guò)渡期間其結(jié)果與維納濾波不完全相同，但過(guò)渡結(jié)束達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，二者結(jié)果相同。 下面舉一個(gè)雷達(dá)跟蹤目標(biāo)物

25、的具體例子說(shuō)明卡爾曼濾波的應(yīng)用。 雷達(dá)跟蹤目標(biāo)的基本原理是通過(guò)發(fā)射脈沖，根據(jù)接收到的脈沖與發(fā)射脈沖的時(shí)間間隔，來(lái)確定目標(biāo)物的距離和速度。由于干擾的影響，接收到的脈沖波形變化很大，那么一次的測(cè)量結(jié)果可能存在很大的誤差。為了減小誤差，往往采取發(fā)射一串脈沖的方法進(jìn)行測(cè)量。 2.5.3 應(yīng)用舉例 空間目標(biāo)(飛行器)的位置需要由徑向距離和方位角來(lái)確定。發(fā)射的脈沖時(shí)間間隔為T，在時(shí)間k，徑向距離為R+(k)，在時(shí)間k+1，距離為R+(k+1)，兩者之間有T秒的延時(shí)，因此T表示空間一次掃描的時(shí)間間隔。平均距離用R表示，(k)和(k+1)表示對(duì)平均值的偏差。假定偏差是統(tǒng)計(jì)隨機(jī)的，均值為零, 那么可以寫出距離方

26、程 表示速度，u表示加速度，則可得到加速度方程 假定加速度u(k)是零均值的平穩(wěn)白噪聲，即滿足 定義x(k)表示第k個(gè)雷達(dá)回波脈沖獲得的目標(biāo)距離，z(k)表示在第k個(gè)雷達(dá)脈沖進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之后的目標(biāo)距離估計(jì)， 表示在第k個(gè)雷達(dá)脈沖進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之后的目標(biāo)速度估計(jì)。設(shè)定狀態(tài)變量為x(k)，選擇的狀態(tài)變量有4個(gè)，分別表示徑向距離、徑向速度、方位角和方位角速度： 根據(jù)狀態(tài)變量的物理含義，得到以下方程： u1(k)和u2(k)表示在區(qū)間T內(nèi)徑向速度和方位角速度的變化。將上式寫成矩陣形式 由此得到卡爾曼濾波的信號(hào)模型的狀態(tài)方程 量測(cè)方程：距離和方位角的估計(jì)值為 v1(k), v2(k)為觀測(cè)噪聲，寫成向量形式和矩陣形式為量測(cè)方程的噪聲協(xié)方差陣為觀測(cè)噪聲假定為高斯噪聲，均值為0，方差為 和其中， ,為徑向加速度在T時(shí)刻的方差； ,為角加速度在T時(shí)刻的方差。狀態(tài)方程激勵(lì)信號(hào)的協(xié)方差陣為假定在各個(gè)方向，加速度服從均勻分布，并將u的值限制在M之間,則其概率密度函數(shù)為 ，因此，