1、2008年二輪復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)方法講解：4、參數(shù)法在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生 聯(lián)系的新變量(參數(shù))，以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解 決問題的方法叫參數(shù)法是指。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù) 法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富 多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之 間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參

2、數(shù)， 溝通已知和未知之間 的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。若動(dòng)點(diǎn) P (x, y)的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直接找到，而動(dòng)點(diǎn)變化受到另一變 量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方 程.例1. 00,北京、安徽春招設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y 2聿px(p 0) 上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知 OALOB OMLAR求點(diǎn)M的烈癥彳程， 并說明它表示什么曲線.7、解法一:設(shè) A(xi,y i),B(x 2,y2),M(x,y)依題意，有2 TOC o 1-5 h z y1 =4px12V2 =4PX2y yi -y2.=1Xi -X2yi y2 y -yi-X2 X -X

3、1一得（yi y2）（y i+y2）=4p（X 1 X2） TOC o 1-5 h z 若 Xi?X2,貝u有 yi _y2 ; 4PXi -X2 yi y2 X ，得 yi2 y22=16p2XiX2代入上式有yiy2=- 16p2代入，得 =心Vi V2 y代入，得=3=一yi y2 X-Xi X -五4p所以=4p(y-y?Vi y2 4pX - y1即 4pX yi2=y(y i+y2)y； yy、代入上式，得 X2+y2 4Px=0(x # 0)當(dāng)Xi=X2時(shí)，AB!X軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為X2+y2 4Px=0(x？0)它表示以(2p,0)為圓 心，以

4、2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)M(x,y),直線AB的方程為y=kx+b由 OML AB,彳導(dǎo) k=-y由 y2=4px 及 y=kx+b,消去 y,得 k2x2+(2kb 4p)x+b2=0,2-所以 xix2=b-,消 x,得 ky 4py+4pb=0 k2所以 yiy2=4pb ,由 OAL OB 彳y yy2=xix2 k所以佗=,b=4kp k k2故 y=kx+b=k(x 4p),用 k=二代入，得 x2+y2 4Px=0(x # 0)y故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24Px=0(x#0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).例2.實(shí)數(shù)a、b、c滿足

5、a+b+ c=1,求a2 + b2+ c2的最小值?！痉治觥坑蒩+ b + c=1想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè) a=； + ti, b= 3 +12, c= 3 +t 3,代入 a2 + b2 + c2 可求。 TOC o 1-5 h z 【解】由 a + b + c=1,設(shè) a = Ht1, b=-+t2, c=-+t3,其 333中 t 1+t 2+t 3=0,a 2 + b2 + c2 = (1 +t 1) 2+ (1+t2) 2 + (j+t3)2 = J +-(t 13kp kQ =一二，4.求證：|OP|2 + |OQ|2等于定值；.求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。32

6、33331+ t 2 + t 3) + t 1 2 + t 2 2 + t32 = + t12 + t 22+t 32- 33所以a2 + b2 + c2的最小值是3。【注】由“均值換元法”引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡化，是本題此種解法的一個(gè)技巧。例3.橢圓/+黃=1上有兩點(diǎn)P、Q, O為原點(diǎn)。連OR OQ若 164【分析】 由“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè)0s 0 (橢圓參y = 2sin 0數(shù)方程)，參數(shù)8 1、8 2為P、Q兩點(diǎn)，先計(jì)算kopkoQ得出一個(gè)結(jié)論,22網(wǎng)由.卜1,設(shè)1x = 4sy = 2iS再計(jì)算|OP|2 + |OQ|2,并運(yùn)用“參數(shù)法”求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消參而

7、得。9_ .一一 _ .,P(4cos 0 1,2sin 8 1), Q(4cos9 0 2,2sin 0 2),2sinN 2sin 史貝 UkoP.kOQ=E =cos 0 1 cos 0 2 + sin 0 1 sin 8 2 = 0,即 cos ( 0 1 0 2) =0。 |OP| 2 + |OQ|2 = 16cos2 0 1 +4sin 2 0 1 + 16cos2 0 2 +4sin 2 0 2=8+ 12(cos 2 0 1 + cos2 0 2) =20+6 (cos2 0 1 + cos2 0 2) = 20 + 12cos ( 0 1+ 0 2) cos ( 0 1 -

8、0 2 ) = 20,即|OP|2 + |OQ|2等于定值20。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn) M的坐標(biāo)為jxM =2(cos1 +cos62)yM = sin sin 2所以有(2) 2 + y2 = 2 + 2(cos 0 1 cos 0 2 + sin 0 1 sin 0 2) =2,即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為x + -=1o 82【注】由橢圓方程，聯(lián)想到a2 + b2=1,于是進(jìn)行“三角換元”，通 過換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問題進(jìn)行研究。本題還要求能夠 熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 M點(diǎn)的坐標(biāo) 后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即(cos 0

9、1 + cos 0 2)2+ (sin 0 1+sin 0 2) 2,這是求點(diǎn)M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步。一般地，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程運(yùn)用“參數(shù)法”時(shí)，我們可以將點(diǎn)的x、y坐標(biāo)分別表示成為一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)，再運(yùn)用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。例4.已知正四棱錐S ABCD勺側(cè)面與底面的夾角為B ,相鄰兩側(cè)面的夾角為 ,求證：cos = =cos 2求出口、B的余弦，則在和B所在的三【分析】要證明cos = =-cos 2角形中利用有關(guān)定理求解。【解】連AC BD交于O,連SQ取BC中點(diǎn)F,連SR OF;作BESC于E,連DE則/ SFO= B , / DEB=設(shè)BC=

10、a （為參數(shù)），則SF=OF=cos 2 2cos 0SA嘉2 a 2)2 (2)2_ a2cos 0+ cos2 B2 又B-瞌=就2a2222 - 2a在 DE沖，由余弦定理有：cos a =2BE - BD1 cos -2BE22a2 -1 cos :=cos2 B 。所以 cos oc = cos【注】 設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a,只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個(gè)作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。例5 .94,上海設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O, 一個(gè)焦點(diǎn)為F(0, 1), 長軸和短軸的長度之比為t.(A)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的

11、交點(diǎn)為Q點(diǎn)P在該直線上，且10P =tdH,當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌 0Q跡方程，并說明軌跡是什么圖形.22解：(1)設(shè)所求橢圓方程為匕=1(ab0).t2a bt2 -1/a2 -b2 =1,b2由題意得伯解得t2 -1_ =t,kb所以橢圓方程為t2(t2 -1)x2 +(t2 -1)y2 =t2 .(2)設(shè)點(diǎn)P(x, 丫)0。yj解方程組 222 ,222jt (t -1)X1 +(t -1)y1 =t , =tx1，1Xi =2(t2 -1)ty122(t2 -1)|OPOq=tC和也OQXit2其中ti.消去t,得點(diǎn)p軌跡方程為y(x管 2y(x :二烏.其軌跡為拋物線x2 =四y在直線、2,一、 x = 0右側(cè)的部分和拋物線2x2=母在直線一三在側(cè)的部分.巧解練習(xí):.設(shè) 2x =3 y =5 z1 ,貝U 2x、3y、5z從小到大排列是.直線Fr-ft上與點(diǎn)A(-2,3) y = 3 、, 2t的距離等于丘的點(diǎn)的坐標(biāo)是4,三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、 4、 3,則具體積為6.橢圓強(qiáng)+ ( = 1上的點(diǎn)到直線x + 2y&=0的最大距離是OA. 3