1、PP3全面剖析三角形“四心”向量形式的充要條件及其應用在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。這就需要我們在熟悉 三角形的“四心”定理及向量的代數(shù)運算的基礎上讀懂向量的幾何意義。下面從六個方面加以闡述：1.三角形的“四心”定理的平面幾何證明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要條件及其證明；3.與三角形的“四心”有關的一些常見的其它向量關系式；4.歐拉線的4種證法；5.與三角形的“四心”有關的高考連接題及其應用；6.練習題.三角形的“四心”定理的平面幾何證明三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓 稱外1。證明： 設AR BC的中垂線交于點 O, 則有OA=OB=Q

2、C 故O也在AC的中垂線上，因為 O到三頂點的距離相等， 故點O是A ABC外接圓的圓心.因而稱為外心.三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心。證明：AD、BE、CF為A ABC三條高，過點 A、B、C分另 的平行線，相交成AA B C , AD為B C的中垂線； BE、CF也分別為 A C、A B的中垂線， 由外心定 們交于一點， 命題得證.三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。證明：（同一法）設中線BE,CF交于點G連結EF,則EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中線AD,B技于G,連結DE,則：DE/AB,且 EG:G B=DGGA=DE:AB=

3、1:2，故 G,G重合.三角形三內角平分線交于一點，這一點為三角形內切圓的心，稱內心。證明：設/A、/C的平分線相交于I,過 I 作 IDBC, IE AC, IF AE 則有 IE=IF=ID .因此I也在/ C的平分線上，即三角形三內角平分線交于一.三角形的“四心”定理的平面向量表達式及其證明M ARP2g的重心 u OR+OF2 +OF3 =0（其中 a,b,c是R耳B三邊)證明：充分性 OP+OR+OR=03O是APP2R的重心I 231 2 3若 OP+OpSO=0,則丁, 以OP1 , OP2為鄰邊作平行四邊形 OPP3 P2 ,、一一 ， K 二 n F K設OP3與PP2交于點

4、自，則已為PP2的中點，有OR +OP2 =OR ,得OP3 = OP3 ,即一 . . . _O,P3,P3, P四點共線，故RP為APP2Pl的中線，同理，PO,P2O亦為APP2P3的中線，所以，O為的重心。必要性：O是APF2F3的重心=0Pl+OF2+OR =0如圖，延長po交P2于p,則p為8Pl的中點，由重心的性質得po=21op.二 八二 八 1 ZTT 口、T?二 H F 7 OPi =2OP =2父(OP2 +OP3) = (OP2 +OP3 ) OP +OP2 +OE =0 2點0是AP1P2P5的垂心uT 1 I T T T op op, -0F2 0P3 -0P3 o

5、p證明：O 是 &PF2F3 的垂心 u OB _L PP2, OP _LP2BOR FP2 =0u OF3 (OP，OP) =0u OP3 OP，=OF3 OP同理 OP _L F2F3U OF3 OP =OR OP2故當且僅當OPOF2=OF2OP3 =OP,OP .122331點O是ARP2p的外心yOF =扇=：O?.證明：o abc勺外心匕 OA 1=1 OB 1=1 OC (或 OA 2=oB 2=Oc 2)(點O到三邊距離相等)一 T -1 f=(OA + OB ) - AB=( OB + OC )三邊垂直平分線的交點)-I - ，!BC =( OC + OA) - CA =0(

6、 O 為O是ARP2P3的內心UaOp +bOR. +c OR3 =0。(其中 a,b,c是pP2g 三邊)證明：充分性：aOP+bOH+c OR =0= O是ARP2P3的內a OR +b OR, +c OP3 =a OR +b (OR +肥)+c (OR +P)= (a+b+c) OR +b PP2 +c RP3 =0所以PO =庫+監(jiān)，而里，里分別是前，京方向上的單位向量，所 a b c c b c bPP2 RP3 二 T _以向量二十平分/P2RP3,即PO平分/P2PB,同理P2O平分zPP2P3,得到點O是 c bPEE的內心。必要性：O 是 ARBB 的內心= aOR+bOP2

7、.+c QB =0若點。為AP1P2P3的內心，延長PO交P2P3于P ,由三角形內角平分線的性質定理，有P1ORP2RP3OPP2PP3PT T Ta On (b c) OP = 0用 4 P2 P c再由=,PP3 br cOP2 +OP3（定比分點）代入前式中便得b ca OR b OP， c OP3 -0.必要性證法二：設O是AABC內任一點，以 O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立直 角坐標系。并設A(p,0), B(qcos ,qsin ： ),C(rcos ,-rsin ).其中 AOB = ：/AOC 二顯然0B,OC不共線，由平面向量基本定理，可設 OA =xOB+yOC（

8、x,y亡R）,則3 P =xqcosa +yr cosP0 =xqsinn -yr sinP解得y =psinqsin( i ；)psin.：rsin(i .-1)qrsin(一)OA =prsin OB pqsin ： OCAO B = ：, AOC= , BO C=2二一(二 ),sin BOC= sin(:)-S .BOC O A = S AOC O B S AOB O C歸 BOC O A S AOC O B S aob O C = 0(i)若O是&ABC的內心， 則 S占OC ： S&OC ： S&OB =a： b： c故 aOA bOB cOC = 0或 sinAOA sinBOB

9、 sinCOC = 0必要性得證.同時還可得到以下結論_1_Sboc = S. Aoc = S Aob - S abc(ii)若O是&ABC的重心，則3故 OA OB OC = 0(iii)若O是AABC的外心則 SaOC: SaOC: S&OB =sin/BOC:si心AOC:sin/AOB =sin2A :sin2B: sin2c故 sin2AOA sin2BOB sin2COC = 0(iv)若O是AABC (非直角三角形)的垂心,則S件OC： s掙OC： S餐OB = tanA:tanB:tanC故 tanAOA tanBOB tanCOC = 01 , L1 ,1證明：Sm0c =

10、Qb _Oc _Sin NBOC = _OB_OCsin A = -OBOC Jtan Ajcos A (A、 2-2-2一 一一O、F四點共圓)同理E、._1 _AOB = -OA_OB|_sin C = -_OA_OB_tan C_cosC一2一一一 一S.AOC =11 _-OA_OCLsin B = -jOAjOC_tan B_cos B因此只需證OBOC iosA-OA_OB_cosC =OA_OC_cosB先證第一個等式OBOC _cosA =OAjOB_cosC竺C = C0s/AOE二盟一軍二型 (E、C D、O四點共圓，/C,/AOE為/DOE的 cos A cos COE

11、OA OC OA補角；E、O F、A四點共圓,/A,/COE為/FOE的補角)所以上式成立，即第一個等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。評注：一箭四雕，需要提醒的是，這里只探求了三角形內心向量形式的必要條件，充分性并 未證明。3.與三角形的“四心”有關的一些常見的其它向量關系式設九w (0,y ),則向量設九w (0,y ),則向量設九w (0,y ),則向量,AB AC、 一一九(I +I -|)必平分/ BAC該向重必通過 ABC的內心；AB ACAB AC&(I 一 I .i)必平分/ BAC的鄰補角AB AC,AB AC 、Mj一rj十一；)必垂直于邊 BC,該向量必通過 AB

12、CAB cosB AC cosC的垂心 4ABC中AB + AC一定過BC的中點，通過 ABC的重心1T_ 一 ,PG= (PA + PB+PC) y G為4ABC的重心(P是平面上任意點).證明 PG 二PA Ag =PB Bg pc Cg =.3PG = (AG BG CG)(PA PB PC) G是ABC勺重心GA GB GC =0 Z AG BG CG =0,即 3PG =PA PB PC，一 .由此可得PG =-（PA+PB+PC）.（反之亦然（證略） 3 ABC的外心O、重心G、垂心H共線，即OG / OH證明：（詳細證明見歐拉線的證明）按重心定理 G是ABC勺重心=-z 1ZTZ

13、 xOG =(OA - OB OC) 3按垂心定理OH =OA OB OC ,1由此可得 OG=OH.3 設O為 ABC所在平面內任意一點，I為 ABC的內心,aOA bOB cOCOI 二內心a*+ bXB+ cXcI ( a+b+cayA+ by b+ cy ca+b+c證明：由I是AABC的內心+ bIB+c IC =0。（其中 a,b,c是 AABC 三邊）（見內心的充要條件的證明）一 T T TTa b c OI = aOA AIb OBBIc OCCIcCI 二 aOA b羨盛T T T T taOA bOB cOC aAI bBIaOA bOB cOCOI =a b caXA+

14、bXB+ cX cI (a+b+cayA+ by b+ cy ca+b+c4.歐拉線的4種證法三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形 的歐拉線。O G H三點共線,在4ABC中，已知。G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:且OG:GH=12 （證九點園園心在歐拉線上略，可查有關資料）歐拉線的證法1 :（平面幾何法）關于歐拉線的介紹詳見：歐拉線，下面是歐拉線的證明如圖，H、G O分別是 ABC的垂心、重心、外心，連AH,作 ABC的外接圓直徑 BOD再連 DC DA 貝U DCL BC ,DAL AB . H 為ABC垂心.AHLBC,CHLAB由、可

15、知 DC/ AH由、可知 DA/ CH故四邊形 ADCM;平行四邊形，AH=DC點O與點 M分別是BD CB的中點DC=2OM即 AH=2OM作BC邊上的中線 AM 連OM OH設OH交AM與點G. OML BC AAHGAMOG AH=DC=2OM.AG=2GM,因此 G即ABC重心 G。故ABC的垂心H重心G和外心O三點共線，直線 HGO歐拉線。評注：利用垂心 H、外心O作為已知，證中線 AM與OH的交點G為重心。歐拉線的證法 2:（平面幾何法）設H,G,O,分別為 ABC的垂心、重心、外心.AiM8D 連接AG并延長交 BC于D,則可知 D為BC中點。連接OD ,又因為 O為外心，所以

16、ODL BQ連接AH并延長交 BC于E,因H為垂心，所以AELBQ 所以 ODAE ,有/ ODA=Z EAD 由于 G 為重心，則 GA:GD=2:1。連接CG并延長交 BA于F,則可知D為BC中點。同理， OF/CM.所以有 / OFC=Z MCF連接 FD,有 FD 平行 AC,且有 DF:AC=1:2 。 FD 平行 AC,所以/ DFC=Z FCA, / FDA= /CAD 又 / OFC=Z MCF, / ODA=Z EAD,相減可得/ OFD=Z HCA,Z ODF=Z EAC,所以有 O FA HCA,所以 OD:HA=DF:AC=1:2 ;又 GA:GD=2:1 所以 HA:

17、 OD=GA:GD=2:1,又/ ODA=Z E AD,所以 OGW HGA 所以/ OGD= AGH,所以/ OGD +/ OG*180 ,所以/ AGH + Z OGA =180 。即 。G H三點共線。評注：利用重心 G 外心O作為已知，證垂心H在直線OG上。歐拉線的證法 3:(向量法)設H,G,O,分別為 ABC的垂心、重心、外心 .若O為 MBC的外心，H為垂心求證：oH =Oa OB Oco作直經(jīng) BD ,連 DA , DC ,有 OB = -OD , DA _L AB ,DC _LBC AH _L BC CH _L AB 故 CH / DAAH / DC , 故 A H C是平行

18、四邊形，T T T T T TOH =OA AH =OA DC = OA OC -OD1 4 4-OA OC OB故肅:OA OB OC若O為AABC的外心，G為重心一、1 , 一求證：OG =-(OA OB OC)T證明 OG =OA AG =OB BG =OC CG = 3OG= (AG BG CG) (OA OB OC)0 3叫少 一一 T -GA -+GB +GC = 0 = AG +BG +CG =0 ,即 3OG =OA +OB +OCr 1-T-1由此可得OG =-(OA+OB+OC).(反之亦然(證略)3由 Oh* = Oa Ob Oc,f 1 -1 * -1,由 OG = -

19、 (OA OB OC) 1 - _.OG，OH , 3OG =OH 3所以。G H三點共線.歐拉線的證法4:(向量的坐標法)在 ABC中，已知。G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： 。G H三點共線，且 QG:GH=12【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。 設A(0,0)、Bxi,0 )、 C(X2,y 2) , 口 E、F分別為AB BG AC的中點，則有：x1_ x1 x22,0)、E( 2y2x2 y2)、F( 2 ,22 2x”由題僅可僅 Q( , y 3) H (x2, y 4),2-x1 x2 y2G(,W)，,AH =(x2,y4),QF

20、33BC* = (x2 -x1,y2)=(C(發(fā),y2)y 2ExDA.AH .BC =x2(x2 -x 1) y2y4 =0X 2(x2 X1)B(xi,0)y 4 = 一y2x 2 x1 x,y2、八y 一萬)y2(-2 y3)= 0 x2(x2 -x1) y22y 2.QH =(x2x1萬,九y 3)=(2x 2fl 3x 2 (x 2 -x1) y 22y2x1 x1券-y3)=( 32x2-x1 y2 x2(x2-x1) y22y2/2x2= (-6y21 2x? -Xi)(1323x2(x2 - xi) y 22y21 -= -QH 3即QH =3QG，故Q G H三點共線，且 Q

21、G GH1 ： 2【注】：本例用平面幾何知識、向量的代數(shù)運算和幾何運算處理，都較麻煩，而借用向量的坐 標形式，將向量的運算完全化為代數(shù)運算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結合在一起，從 而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉化為熟練的代數(shù)運算的論證。5.與三角形的“四心”有關的高考連接題及其應用例1: （2003年全國高考題）O是平面上一定點，A、B C是平面上不共線的三點，動點一 一 AB ACp 滿足 op =oa+*-(W+W), 1AB AC（A）外心（B）內心九W（0, 則動點P的軌跡一定通過 ABC的（）（C）重心（D）垂心事實上如圖設ABAE = abAFAC都是單位向

22、量易知四邊形AETF是菱形故選答案B 例2 : （ 2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）O為4 ABC所在平面內一點，如果oA oB = oB oC =oC qA,則 o必為 abc的（）（A）外心（B）內心（C）重心（D）垂心事 實 上 OA OB=OB OC= （OAOC） OB = 0= CA OB = 0= ob ca故選答案D 例3:已知O為三角形ABC所在平面內一點，且滿足,.,2,.2,.,2,.,2.2,2qa +|bc| =Qb| “ca| =Qc +|ab| ,則點 o是三角形 abc的（）（A）外心（B）內心（C）重心 （D）垂心事實上由條件可推出 OA OB =OB OC

23、 =OC OA故選答案D例4：設O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點,動點P滿足OP =OA +九（ABAB cos B+ AC )Ac| cosC九w （0,依），則動點P的軌跡一定通過 ABC的()(A)外心(B)內心(C)重心(D)垂心一 AB AC , 一F-事實上 ?(;+:) .BC =九，(BC + BC) = 0AB cosB AC cosC故選答案D例5: 2005年全國（I）卷第15題“ MBC的外接圓的圓心為O ,兩條邊上的高的交點為OH =m(OA+OB+OC),則實數(shù) m =先解決該題：作直經(jīng) BD ,連 DA , DC ,有 OB = -OD , DA

24、_L AB ,DC -L BC , AH -L BC , CH _L AB ,故 CH / DA , AH / DC故AHCD 是平行四邊形，進而AH = DC,又T T DC=OC-OD OC O圖3OH =OA AH =OA DC故OH=OA OB OC 所以 m=i評注：外心的向量表示可以完善為: 若O為 MBC的外4 H為垂心，則OH = Oa + Ob+OCo其逆命題也成立。例 6.已知向量 OR , OP2 , OP3 滿足條件 0Pl +OP2+OP3 =0, | OP1 |=| OP2 |=| OPj |=1 ,求證：PiBR是正三角形.（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五 B組第

25、6題）1證明： 由已知 0Pl +OP2 =-OP3 ,兩邊平萬得 0Pl - OP2=，2h TE 1 ，.一 .問理OP2-OP3 =OP3-OPi= ,|P1P2 | = |P2P3 | = |P3P1|= 43 ,從而PP2R 是正二角形.反之，若點 O是正三角形 RP2R的中心，則顯然有0Pl + OP2 + OP3 =0且 | OP1 |=| OP2 |=| OP3 | ,即 O是 ABC所在平面內一點,OP1 +OP2 +OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=| OP31y 點 O是正 PP2R 的中心.6.練習題1 11 .已知A、B、C是平面上不共線的二點， O是

26、二角形 ABC的重心，動點 P滿足OPj(；3 2OA+1qb+2OC ),則點P一定為三角形 ABCn B)AAB邊中線的中點B AB邊中牛的不等分點1(非重心)C重心 DAB邊的中點分析：取AB邊的中點M則0A OB =20M ,由 0P =1(10A + 10B +20C )可得 3OP =30M +2MC , 3 22-* 2 一 MP=2MC ,即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心。3.在同一個平面上有 MBC及一點O滿足關系式：0A 2+BC 2=0B 2+CA2= 0C 2 +AB2,則 O 為 ABC( D )A.外心 B.內心C.重心 D.垂心t t f 4.已知 ABC勺三個頂點 A、B C及平面內一點 P滿足：PA + pB+PC=0,則P為 ABC的(C )A.外心 B.內心C.重心 D.垂心之已叫0是士圾上二定點，