1、6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器1 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。說明 :2注意1) 關(guān)鍵在于找到這種轉(zhuǎn)換關(guān)系;轉(zhuǎn)換 2) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。即S平面的左半平面 必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部。 3 3) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。4傳輸函數(shù)從 轉(zhuǎn)換到 的方法脈沖響應(yīng)不變法 2)雙線性變換法 5核心原理： 通過對(duì)連續(xù)函數(shù) 等間隔采樣得到離散序列 其中 T為采樣間隔 它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。一 脈

2、沖響應(yīng)不變法6轉(zhuǎn)換步驟71 .模擬濾波器的傳輸函數(shù)與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系模擬濾波器的傳輸函數(shù)相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)8關(guān)系9 2 與 的關(guān)系設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用 表示，10結(jié)論即,模擬信號(hào) 的拉氏變換Ha(s)在s平面上沿虛軸按照周期 延拓后得到一條條寬度為 的水平帶，再映射到z平面上,就得到 ,如圖6.3.1所示。11圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系12標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系上式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。13映射情況左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上14對(duì)標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系的分析結(jié)論： 若 因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的 仍是因果穩(wěn)定的。15注意z=esT

3、是一個(gè)周期函數(shù)；模擬低通的最高截止頻率會(huì)超過折疊頻率 ，因此標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系的周期性會(huì)造成混疊失真。16 圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象17說明 1）脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響；2）數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比，如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。 3）一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，這一點(diǎn)可用來簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。18優(yōu)缺點(diǎn)分析優(yōu)點(diǎn)1）頻率坐標(biāo)變換是線性的，即，=T 故這種方法會(huì)很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻 率特性；2) 脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的

4、單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好.19缺點(diǎn)： 有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 所以， 脈沖 響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器(例如， 衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，不適合高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。206.4 雙線性變換法21引言脈沖響應(yīng)不變法缺點(diǎn)：容易產(chǎn)生頻域混疊原因：模擬低通的最高截止頻率超過了折疊 頻率 .改進(jìn)措施: 采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 之間，再用 轉(zhuǎn)換到 平面上。22正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：一雙線性變換式中T是采樣間隔；23T是采樣間隔。當(dāng) 從 經(jīng)過0變化到時(shí)， 則由 經(jīng)過0變化到 ，實(shí)現(xiàn)了s平面上 整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的之間的轉(zhuǎn)換，因此有：24

5、(1)(2)或(1)或(2)稱為雙線性變換。通過標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系轉(zhuǎn)換到z平面上可得：25圖6.3.3 雙線性變換法的映射關(guān)系26模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系(3)(4)27缺點(diǎn)： 除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變；分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變. 1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象優(yōu)點(diǎn)：雙線性變換法優(yōu)缺點(diǎn)28 在實(shí)際設(shè)計(jì)中，如果設(shè)計(jì)指標(biāo)中邊界頻率以數(shù)字頻率的形式給出，則需要按照式(3)和(4)求出相應(yīng)的模擬濾波器的邊界頻率，這種計(jì)算方法就稱為“預(yù)畸變校正”。經(jīng)過

6、這樣的校正處理后，才能保證設(shè)計(jì)出來的Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)后仍滿足給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。預(yù)畸變校正296.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)注意:可以借助于模擬濾波器的頻率變換設(shè) 計(jì)一個(gè)所需類型的模擬濾波器,再通過 雙線形變換將其轉(zhuǎn)換為所需類型的數(shù) 字濾波器30設(shè)計(jì)步驟(數(shù)字高通) (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為31 (3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。 (4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5)將模擬低通濾波器通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成 所需類型的過渡模擬濾波器。(6)采用雙

7、線性變換法，將所需類型的過渡 模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。326.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法特點(diǎn):適合設(shè)計(jì)任意幅度特性的濾波器33 1. 零,極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)特性的影響 一. 零極點(diǎn)累試法極點(diǎn):影響幅度特性中峰值位置及其尖銳 程度 . 零點(diǎn):影響幅度特性中谷值位置及其凹陷 程度 . 342.設(shè)計(jì)方法按照零,極點(diǎn)寫成系統(tǒng)函數(shù)，畫出其幅度特性并與希望進(jìn)行比較.如不滿足要求,可通過移動(dòng)零,極點(diǎn)位置或增加(減少)零,極點(diǎn)進(jìn)行修正.35注意(1) 極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證 數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；(2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對(duì)，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。362.在頻域利用幅度平方誤差最小法設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，式中，A是常數(shù)； 是待求的系數(shù)；37方法設(shè) 是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響。在(0，)區(qū)間取 點(diǎn)數(shù)字頻率在這 點(diǎn)頻率上，比較 和38寫出兩者的幅度平方誤差E為E是有(4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù). 求出這些未知數(shù)的原則: 是使函數(shù)E的取值最小。39方法 利用偏導(dǎo)數(shù)求極值確定E的(4K+1)個(gè)未知數(shù),從而確定的系統(tǒng)函數(shù).403. 在時(shí)域直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hd(n)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)單位