1、第五章 一維單元孫 會(huì)2012.41本章內(nèi)容一、線性單元及其形函數(shù)（重點(diǎn)，熟悉）二、二次單元（重點(diǎn)，熟悉）三、三次單元（重點(diǎn)，熟悉）四、整體坐標(biāo)、局部坐標(biāo)和自然坐標(biāo)（熟悉）五、 ANSYS中一維單元舉例（重點(diǎn)，熟悉）2引子 如圖所示的等直截面散熱片，散熱片左端相連的基座溫度已知，周圍流體溫度已知，試確定散熱片沿其長(zhǎng)度方向上的溫度分布？圖5.1 恒定截面的散熱片的溫度分布 3預(yù)處理階段 1. 計(jì)算域離散化 2. 單元分析 2.1 假設(shè)描述單元行為的近似解 2.2 單元分析（直接法、最小總勢(shì)能法、加權(quán)余數(shù)法） 2.3 組裝單元，構(gòu)造K(G) （按照標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行） 2.4 施加邊界條件（約束條件、載

2、荷條件）求解階段后處理階段引子4一、線性單元預(yù)處理階段：計(jì)算域的離散化：3個(gè)單元和4個(gè)節(jié)點(diǎn)假設(shè)單元行為的近似解：采用分段線性函數(shù)近似。圖5.1 恒定截面的散熱片的溫度分布 5一、線性單元現(xiàn)以其中一個(gè)典型單元為研究對(duì)象圖5.2 單元溫度分布的線性近似 6一、線性單元l為單元的長(zhǎng)度 圖5.2 單元溫度分布的線性近似 單元的形函數(shù)：7一、線性單元 單元的溫度分布是未知變量，例如溫度、變形或速度 柱體單元的位移8二、二次單元如何希望提高計(jì)算精度怎么辦？增加分析中使用的線性單元的數(shù)目通過(guò)使用高階的插值函數(shù)采用二次函數(shù)代替原來(lái)的線性函數(shù)，此時(shí)要求使用3個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)定義1個(gè)單元，第3個(gè)點(diǎn)可取在單元的中點(diǎn)，例如圖

3、4.3中的節(jié)點(diǎn)k。 9二、二次單元圖5.3 單元溫度分布的二次近似 典型單元的溫度分布：c1、 c2、 c310二、二次單元由節(jié)點(diǎn)值表示的任何可變參數(shù)： 單元的形函數(shù)：11三、三次單元在二次單元中，采用二次函數(shù)代替線性單元中的線性函數(shù)，相應(yīng)地提供了比線性單元更為精確的結(jié)果，那么是否可以采用更高階的函數(shù)代替線性函數(shù)或二次函數(shù)呢？ 可以。如需更高的精度，可使用更高階的插值函數(shù)，例如三次多項(xiàng)式。 用三次函數(shù)代替二次函數(shù)，要求至少使用4個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)定義1個(gè)單元，單元被分成等長(zhǎng)的3段，4個(gè)節(jié)點(diǎn)的取法如圖5.4所示。12三、三次單元圖5.4 單元溫度分布的三次近似 典型單元的溫度分布：c1、c2、c3、c4

4、13三、三次單元單元的形函數(shù)：14四、整體坐標(biāo)、局部坐標(biāo)和自然坐標(biāo)在有限元建模過(guò)程中，大多數(shù)情況下可使用多個(gè)參考系。整體坐標(biāo)系：(1)表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置和每個(gè)單元的方向；(2)施加邊界條件和載荷；(3)表示計(jì)算求出的解。局部坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系：當(dāng)構(gòu)造幾何關(guān)系或計(jì)算積分時(shí)，可提供很多便利。 151、一維線性整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)對(duì)于一維單元，整體坐標(biāo)X和局部坐標(biāo)x的關(guān)系為X=Xi+x，如圖所示。相應(yīng)地，形函數(shù)可用局部坐標(biāo)表示： 圖5.5 整體坐標(biāo)X和局部坐標(biāo)x的關(guān)系 162、一維線性自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)是局部坐標(biāo)的無(wú)量綱形式，用于單元?jiǎng)偠染仃嚮騻鲗?dǎo)矩陣推導(dǎo)中的積分計(jì)算。使用自然坐標(biāo)容易在上限1和下限-1

5、間積分。若令： 其中，x是局部坐標(biāo)。相應(yīng)地，i1，j 1，如圖所示。 圖5.6 局部坐標(biāo)x和自然坐標(biāo)的關(guān)系 172、一維線性自然坐標(biāo)自然線性形函數(shù)： 183、等參單元可用形函數(shù)Si、Sj表示其他變量，如位移u： 也可通過(guò)形函數(shù)Si、Sj進(jìn)行從整體坐標(biāo)X或局部坐標(biāo)x到自然坐標(biāo)的變換，即： 193、等參單元 使用一組單一參數(shù)（例如Si、Sj）定義未知量u、T等，并使用同樣的參數(shù)（Si，Sj）表示幾何關(guān)系。 應(yīng)用這種思想的有限元方法常常稱為等參公式，以這種方式表示的單元稱為等參單元。 204、用一維自然坐標(biāo)表示二次和三次形函數(shù)二次自然形函數(shù)： 三次自然形函數(shù)：注意區(qū)分使用整體坐標(biāo)、局部坐標(biāo)和自然坐標(biāo)

6、表示形函數(shù)的差別 21五、ANSYS中一維單元舉例ANSYS提供了描述一維問(wèn)題的單軸桿單元，其中包括LINK31、LINK32、LINK34。LINK32單元：?jiǎn)屋S熱傳導(dǎo)單元，它允許通過(guò)傳導(dǎo)模式在節(jié)點(diǎn)間傳遞熱量。節(jié)點(diǎn)的自由度是溫度。該單元由2個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，其屬性由橫截面面積和材料屬性，如熱傳導(dǎo)率來(lái)定義。22五、ANSYS中一維單元舉例LINK34單元：?jiǎn)屋S對(duì)流連接單元，它允許熱量通過(guò)對(duì)流在節(jié)點(diǎn)間傳遞。該單元由2個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，其屬性由對(duì)流表面面積和對(duì)流熱傳遞系數(shù)定義。23五、ANSYS中一維單元舉例LINK31單元：能夠?qū)臻g兩點(diǎn)間的熱輻射進(jìn)行模擬。該單元由2個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，其屬性由輻射表面面積、幾何形狀因子、熱輻射系數(shù)和斯蒂芬森一玻爾茲曼(Stefan-Boltzman)常數(shù)定義。 24課堂總結(jié)一維線性單元及其形函數(shù)的概念