1、2017屆高三數(shù)學跨越一本線精品問題一：多面體與球的組合體問題縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點放在與球相關的外接與內切問題上.要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識是學生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結和方法的探討一、球與柱體的組合體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合 ，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關

2、問題1.1球與正方體如圖1所示，正方體ABCD ABiCiDi,設正方體的棱長為 a, E,F,H,G為棱的中點，0為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形 EFGH和其內切圓，則0J =旦；二是與2 一J2正萬體各棱相切的球，截面圖為正萬形 EFGH和其外接圓，則GO = R =、a ;三是球為正方體的外接球，2截面圖為長方形 ACAC1和其外接圓，則| A01 = R = 1a .通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定 好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問

3、題轉化為平面問題【例1】 棱長為1的正方體 ABCDABGD1的8個頂點都在球 0的表面上，E, F分別是棱 AA, DD1的中點，則直線EF被球0截得的線段長為（C. 1+返2【分析】本題求解關鍵是得出直線EF被球O截得的線段為球的截面圓的直徑【解析】由題意可知，球為正方體的外接球.平面AA1 DD1截面所得圓面的半徑AD1R=-, v EF u面AADD1，二直線EF被球O截得的線段為球的截面圓的直徑 2R = J2.22【小試牛刀】【2017屆廣東省深圳市高三下學期第一次調研】已知棱長為2的正方體ABCD-AiBiCiDi,球口與ACIB該正方體的各個面相切，則平面1截此球所得的截面的面

4、積為（）8Tl 5n 4n 2nA. B. * C. D. 1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為 a,b,c,其體對角線為l .當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是la2 b2 c2一樣的，故球的半徑R =上=一b221的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部【例2】在長、寬、高分別為2,2,4的長方體內有一個半徑為分的體積為（）A.10兀B.4兀C.7兀 D.3【分析】轉化為求正方體的內切球【解析】利用運動的觀點分析在小球移動的過程中，進過部分的幾何體,因半徑為1的小球恰好為校長

5、為2的正方體的內切球，敵小球經(jīng)過空間由上往下看為：半個小球、高為2的圓柱和半個小球，三部分的體積為二-xf xAx 2 + f x2=323【小試牛刀】已知正四棱柱的底邊和側棱長均為32,則該正四棱錐的外接球的表面積為1.3 球與直棱柱球與一般的直棱柱的組合體 ，常以外接形態(tài)居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構造直角三角形法.設正三棱柱ABC -AB1C1的高為h,底面邊長為a,如圖2所示，D和D1分別為上下底面的中心.根據(jù)幾何體的特點，球心必落在高 DD1的中點O, OD =h, AO = R, AD =亞a,借助直角三角形 AOD的勾股23定理，可求R=J（h）2+咚a）2 .【

6、例3】已知直三棱柱 ABC ABC的6個頂點都在球 O的球面上，若AB= 3, AC 4, ABL AC,AA= 12,則球O的半徑為（）3 ,1713A.3一B . 2回C. D , 3/10【分析】先確定球心位置，再利用R2 = r2+d2確定球的半徑【解析】如圖所示，由球心作平面 ABC勺垂線， 151 5o o 13則垂足為BC的中點 M又AM= BO2, OM= 2AA=6,所以球O的半徑R= OA= -2+62=y.【點評】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圓圓心連線的中點【小試牛刀】 直三棱柱ABC - AB1C1的六個頂點都在球 O的球面上，若AB =BC =1, /ABC =

7、1200, AA =2由，則球。的表面積為（）A. 4n B . 8n C . 16n D . 24n二、球與錐體的組合體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進,然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系2.1球與正四面體正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的 半徑與正四面體的棱長的關系 .如圖4,設正四面體S-ABC的棱長為a,內切球半徑為r,外接球的半徑為R,取AB的中點為口，為$在底面白射影，連接CD,SD,SE為正四面體的高.在截面三

8、角形SDC,作一個與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓，即為內切球的截面.因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內切球的球心同為 O.此時，CO=OS = R,OE = r , SE 必a,CE =蟲a,則有 、33， i12 _2 2 ci_2 a_ x/666 、人.“ ，e一 .R+r=Ja, R r =CE = ，解得： = 二2/=匚2.這個解法是通過利用兩心合一的思路 ，建立 33412含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題帶來極大的方便.【例4】將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，

9、這個正四面體的高的最小值為（）A. 3 2 6 B. 2+ C. 4+ 學 D. 43 263333【解析】“容器四面體”中的這四個小球，以四個小球為球心為頂點構成了一個棱長為2的“球心正四面體”，這個四面體的高是“單位正四面體”高（ 逅）的2倍即為. “球心正四面體”的底面到“容33器正四面體”的地面為小球半徑1,而“球心正四面體”頂點到“容器正四面體”的頂點的距離為3 （小球半徑的3倍），于是“容器正四面體”的高為 義6 + 3 + 1,選才i C.這個“小球半徑的3倍”是這樣想的：3做一個小球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距

10、離的 3倍.【小試牛刀】【2017屆云南曲靖一中高三上學期月考】正四面體的棱長為a,其內接球與外接球的體積比為.2.2球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱錐補形成正方體或者長方體.常見兩種形式：一是三棱錐的三條側棱互相垂直并且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖5,三棱錐A -AB1D1的外接球的球心和正方體 ABCD -ABiCiDi的外接球的球心重合.設,則可以補形為一個長方體，它的外AA = a,則R =立a .二是如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且不相等2

11、接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.R2l2, 、上一=（l為長方體的體對角線長）.4【例5】在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SGBC的中點，且AM _L MN ,若側棱SA= 2/3 ,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是【解析】 如圖6,正三棱錐對棱相互垂直，即AC _L SB,又SB/ MN,二 MN _L AC,又MN _L AM，, MN _L 平面SAC.于是 SB_L 平面SACj SB_L SASB_L SC,從而SA_L SC.此時正三棱錐 S - ABC的三條側棱互相垂直并且相等 ，故將正三棱錐補形為正方體 .球的半徑R = -SAa R=3,二 S =4R2 =36

12、工2圖6【小試牛刀】一個幾何體的三視圖如圖所示 ，其中主視圖和左視圖是腰長為 1的兩個全等的等腰直角三角形則該幾何體的外接球的表面積為（）ft憂圖上視圖 左視圖12 二,12.3 -：2.3球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑 R .這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三麴t P ABC中,PA=PB=PC=/3

13、，側PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（51C. 4 二 D.如圖7所示，過P點作底面ABC的垂線，垂足為O,設H為外接球的球心，連接AH , AO,因/PAO=60：PA=J3,故 AO =, PO =3,又4 AHO 為直角三角22形，AH =PH =r, AH2 = AO2 OH2,23 232434.r =()(-r) ,. r =1,. V =二 1 =二.2233B【小試牛刀】 已知正三棱錐 P -ABC點P, A B C都在半徑為 J3的球面上，若PA,PB,PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC勺距離為.2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合 ，

14、一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.如圖8,三棱錐SABC,滿足SA_L面ABC,AB_LBC,取SC的中點為O,由直角三角形的性質可得：SCOA = OS = OB =OC,所以O點為三棱錐S ABC的外接球的球心，則R =.2B【例7】矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B- AC-D ,則四面體ABCD的外接球的體積是（）A. 125 二 B. 125 二 C. 125 二 D. 125 二12963125【解析】由題意分析可知，四面

15、體ABCD的外接球的球心落在 AC的中點，此時滿足OA = OD = OB = OC,r-ACR【小試牛刀】【2017屆山西省臨汾一中、忻州一中、長治二中等五校高三上學期聯(lián)考已知三棱錐A-BC口內接與球。，且8匚=日口 =?？?= 2眄若三棱錐人-日匚口體積的最大值為，則球。的表面積為（）A.16 b. :“ C. ： D.一二三、球與球的組合體對個多個小球Z合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰 當?shù)奶幚硎侄危鐪蚀_確定各個小球的球心的位置關系 ，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題 求解. TOC o 1-5 h z 【例8在半彳5為R的球

16、內放入大小相等的 4個小球，則小球半徑r的最大值為（）A.（斕1）R B . （#-2）Rc. Jr D.1R HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 43【解析】要使得小球的半徑最大，需使得4個小球的球心為一個正四面體的四個頂點，如圖9所示，此時正四面體A-BCD的外接球的球心為 O,即為半徑為R的球的球心，則AO = R - r,又因O為AO1的四分點，故4AOi =(Rr) ,在 RtAABQ 中,3AB =2r,BOi = 2、3r(R-r) 42 = (2r)2 - (2.3r)2, 333.r =(、,6 -2)R.【小試牛刀】如圖，在一

17、個正方體內放入兩個半徑不相等的球O, Q,這兩個球外切，且球O與正方體共頂點 A的三個面相切，球O與正方體共頂點 B的三個面相切，則兩球在正方體的面 AACiC上的正投影是（）B跖ABCD四、球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：r =-2a.4【例9】把一個皮球放入如圖 10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與A. 10、3cmB. 10 cmC. 10.2 cmD. 30cm【解析】如圖11所示，由題意

18、球心在 AP上，球心為O,過O作BP的垂線O師足為N,ON=R,OM=F為各個棱都為 20,所以 AM=10,BP=20,BM=10,AB=10 V2，設 / BPA = a ,在 Rt& BPM , BP2 = BM 2 + PM 2 ,所以PM =10*3.在 Rt&PAM 中，PM2 =AM2 +AP2,所以 PA=10/2.在 RtABP 中，AB 10 2.2.ON R R 2-sin a =,在 RtA ONP中，sin a =,所以=,所以 OP = J2R.在BP 202OP OP OP 2RgOAW, OM 2 = AO2+AM 2,所以，R2 =(10U5 T2R)2+10

19、0，解得，R = 10 或 30 (舍)，所 以，R =10cm,故選 B.圖11五、與三視圖相結合的組合體問題本類問題一般首先給出三視圖 ，然后考查其直觀圖的相關的組合體問題.解答的一般思路是根據(jù)三視圖還原 TOC o 1-5 h z 幾何體，根據(jù)幾何體的特征選擇以上介紹的方法進行求解【例10】【2017屆吉林省吉林市普通中學高三畢業(yè)班第二次調研測試】某幾何體的三視圖如下圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為（）28n44nA. B. : C. ： D.【解析】由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，幾何體的底面是邊長為,的等邊三角形，側棱長為,三棱柱的兩個底面中心的中點與三棱

20、柱的頂點的連線就是半徑,球的表面積為27 28n4nr = 4n * =-3 ,故選B.【小試牛刀】【2017屆河北省正定中學高三上學期期中）】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為（2541tinA. 1 B. ： C. - D. ：n綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題.解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.發(fā)

21、揮好空間想象力，借助于數(shù)形結合進行轉化，問題即可得解.如果是一些特殊的幾何體如正方體、正四面體等可以借助結論直接求解，此時結論的記憶必須準確 .【遷移運用】.【2017屆河北省石家莊市高三第二次質量檢測】四棱錐P-AKD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA = PB = PC = PD ,若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是（）99A. 6 B. 5 C.: D. ,2 2017屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高三上學期期末】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm將一個球放在容器口 ，再向容器注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如不計容器的厚度，則球的表

22、面積為（50QnA.1口須 B.3 c. 5M3.12017屆云南省云南.師范大學附屬上，PA =& BC = 4, PPC = AB = A. 64n b.的 C. 66n d 4.12017屆湖南省衡陽巾高三上學期 積為（）11正視用倘*M11 一了國|4Tl2nD. 200n中學高三高考適應性月考】四面體PKBC的四個頂點都在球。的球面、匚，且平囿PBC ,平囿ABC,則球口的表向積為（）.期末考試】一個四面體的二視圖如圖所本,則該四面體的外接球的表面C.D.A. & B.5.【2017學年湖北省黃岡市黃岡中學上學期期末】在矩形4日8中，4匚=2,現(xiàn)將 ABC沿對角線AC折起,使點日到達

23、點B的位置,得到三棱錐B MS,則三棱錐B -ACD的外接球的表面積為（）A.兀B. 2n c. 4n D.大小與點B的位置有關6 .【湖北省部分重點中學 2017屆高三上學期第二次聯(lián)考】一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為（）副視圖832 二.3O在AB上，且POL平面A. 4J3nB . 3- n C310.12016屆貴州省貴陽市六中高三元月月考】表面積為60兀的球面上有四點S、A、B、C 且 AABC 是等A. ；： B. - C. J D.7.【2017屆甘肅省高臺縣第一中學高三上學期期末】已知三棱錐 P-ABC,在底面ABC TOC o 1-5 h z 中，3 = 5。，BC=g, PA,面ABC, PA=2,則此三棱錐的外接球的體積為（）8而4同A. ； B. 1 C. : D. 1ABCABG內有一個體積為V的8.12016-2017學年江西吉安一中高二上學期段考】在封閉的直三棱柱球，若 AB_L BC,AB=6,BC=8,AA =3,則V 的最大值是（）一 ,_9 二A. 4冗B . 一C. 6冗D9.12016屆河北省衡水二中高三上學期期中】已知四面體P ABC的外接球的球心ABC, 2AC = EAB,若四面體P ABC的體積為3,則該球的體積為（）2邊三角形，球心O到平面ABC的距離為J3