1、2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三數(shù)列與不等式 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】.數(shù)列在高考中，一般設(shè)計(jì)一個(gè)客觀題和一個(gè)解答題，主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識(shí)，對(duì)基本運(yùn)算能力要求較高，解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識(shí).難度較 大，尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題，又加入了邏輯推理能力的考查，成為了近幾年數(shù) 列考題的新熱點(diǎn).數(shù)列與不等式部分的重點(diǎn)為：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和；不等式的性質(zhì)、解法和兩個(gè)重要不等式的應(yīng)用；該部分重點(diǎn)考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.【典型例題】.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的

2、重點(diǎn)知識(shí)，考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差 數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,a1 =2且a1，a3,a6成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和 Sn=(21 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document n 7nr 442n 5nr HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 332n 3n r HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 24D. n2n答案：解析:設(shè)數(shù)列an的公差為d ,則根

3、據(jù)題意得(2 2d )2 =1 一2 (2+ 5d ),解得 d=或2 r n(n -1) 1 n 7n=2n -= 一 一2244d =0 （舍去），所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn例2.等比數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和為Sn,且4a，2a2, a3成等差數(shù)列.若 a=1 ,則& =()(A) 7(B) 8(3) 15(4) 16解析：: 4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，,4al+a3=4a2,即 4al +aq2 = 4a1q,q q , q 1 4,因此選C點(diǎn)評(píng)：該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式等，基礎(chǔ)性較強(qiáng)，綜合程度較小，要求具有較熟練的運(yùn)算能力.函數(shù)與不等式綜

4、合不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系， 其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)問題 之一，經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn).有不少關(guān)于最值方面的問題，通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值，考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題出現(xiàn).在應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為自變量；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；正確寫出答案.3x -y -6 0, b0)的值是例3 .設(shè)x, y滿足約束條件xy + 2之0,若目標(biāo)函數(shù)x _ 0, y _ 0最大值為12,a. 2563，-的取小值為（b,8

5、 c311D3答案：A解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分直線 ax+by= z(a0,b0)過直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=ax+by (a0, b0)取得最大 12 ,即 4a+6b=12 ,即2a+3b=6,而2+3 =(2+3)Y+(b+a)A+2 25a b a b 66 a b 66 故選A.點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地2 3回出不等式表布的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對(duì)于形如已知2a+3b=6,求一+ a b最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.例4.本公司計(jì)劃200

6、8年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為 0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是萬元.答案：70解析：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元,x + y 300,由題意得 500 x 200y 0, y 0.目標(biāo)函數(shù)為z = 3000 x+2000 y.fx + y 0 300, I二元一次不等式組等價(jià)于5x 2y 0, y 0

7、.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.如圖：作直線 l :3000 x+2000y =0,即 3x + 2y = 0.平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.x y = 30C聯(lián)立 解得x =100, 丫 = 200.二點(diǎn)吊 的坐標(biāo)為5x 2y =900.(100,200).二 Zmax =3000 x+2000y =700000 (元).點(diǎn)評(píng)：本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，找出線性約束條件， 寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)， 通過數(shù)形結(jié)合解答問題. 用線性規(guī)劃的方法解決 實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、 解決問題的能力，隨著課改的深入

8、，這類試題應(yīng)該是高考的熱 點(diǎn)題型之一.例 5.設(shè) a為實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x) =2x2+(x a)|x a|.(i)若f(0)之1,求a的取值范圍；(2)求f (x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x) = f (x),x三(a,十),直接寫出(不需給出?M算步驟)不等式h(x)之1的解2a2 .1(2)當(dāng) x Na時(shí),f(x)=3x2-2ax + a2, f(x)minf(a),a_022a2,a _0當(dāng)x Ma時(shí),22f (x) =x 2ax-a , f (x)min!f(|),a0=2 a2,a ： 0f(-a),a _0-2a2,a _ 0=4= ？，-2a2,a 0f(a),a ：二0a

9、二 0解析：（1）若f（0）之1,則a|a巨1二 綜上f (x)mm-2a2,a -02a2,a 0工3(3) xw(a,+*)時(shí)，h(x)至 1得3x2 2ax+a2 1 20 ,-： =4a2 -12(a2-1) =12-8a2時(shí)， M0, x w (a,y)；w 6 6(x當(dāng) a 0,得：)(x）之。.討論得：當(dāng)a-（時(shí)，解集為（a,二）；當(dāng)a-（時(shí)，解集為（a,-、“-、22，、.當(dāng)a匚,時(shí)，解集為22點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.3.函數(shù)與數(shù)列的綜合高考試題中經(jīng)常將函

10、數(shù)與數(shù)列綜合在一起，設(shè)計(jì)綜合性較強(qiáng)的解答題，考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及求和公式等主干知識(shí)和分析問題、解決問題的邏輯推理能力.1 32例 6.知函數(shù) f(x)= x +x -2. 3（I）設(shè)aj是正數(shù)組成的數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn ,其中a1 = 3.若點(diǎn)（an, a2十2an+）（nCN*）在函數(shù)y=f （x）的圖象上，求證：點(diǎn)（n,Sn）也在y=f （x）的圖象上;(n)求函數(shù)f (x)在區(qū)間(a_1,a)內(nèi)的極值.132_，.一 r .斛析：(I)證明： 因?yàn)閒 (x) = - x+x -2,所以f (x) = x + 2x , 3由點(diǎn)(aa；#-2an+)(ne N4)在函數(shù) y = f

11、(x)的圖象上,“-2an+=a2 +2an(an平+an)(an平-an)=2(an +an+),又 an0(nw N4),所以an書-an =2, %是21 =3,d =2的等差數(shù)列，所以 Sn =3n +n(n2-1)M2=n2 +2n,又因?yàn)?f(n) = n2+2n ,所以 Sn = f(n),故點(diǎn)(n,Sn)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上.(n)解：f (x) = x2 +2x =x(x + 2),令 f (x) =0,得 x =0或* = -2 .當(dāng)x變化時(shí)，f (x)、f (x)的變化情況如下表：x(-0,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)極大值注意到(a -1)-a|

12、 =12,從而-當(dāng)a -1-2a,即2a 4寸，f(對(duì))極大值為f(2)一，此時(shí)f (x)無極小值；當(dāng)a1 0 a,即0 a 0,b 0.若J3是3a與3b的等比中項(xiàng)，則 一+一的最小值為()a bA . 8 B . 4 C . 1 D .- 4答案：B1 11 1ba解析：因?yàn)?3a 3b = 3 ,所以 a+b = 1 ,+=(a+b)(+-)=2b-+- a ba ba b TOC o 1-5 h z b ab a1至2 +24=4,當(dāng)且僅當(dāng)一=即a = b =一時(shí)=”成立，故選擇 B.a ba b2點(diǎn)評(píng)：本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通 能力.例8

13、.設(shè)數(shù)列an滿足a0 = 0, an41 = ca3+1c,c w N，其中c為實(shí)數(shù).， 、 、一II* 、.、.，、-1(n)設(shè) 0 c一,證明:31 、1(出)設(shè)0 c n +12 ,n w N* .1 -3c解析：(1) 必要性：= a1 =0,；a2 =1c ，又 v a2 =0,1,/.01-c1 ，即c-0,1.充分性：設(shè)c0,1,對(duì)n = N用數(shù)學(xué)歸納法證明 an 0,1當(dāng) n=1 時(shí)，& =0亡0,1 .假設(shè) ak w0,1(k1)則 ak4F =ca： +1 c Mc +1 c = 1,且 ak = ca3 +1 c 之 1 c =之 0 ,* .ak+ 0,1,由數(shù)學(xué)歸納法

14、知an = 0,1對(duì)所有n=N成立.1(2)設(shè)0 c 一,當(dāng)n =1時(shí)，a =0,結(jié)論成立.3當(dāng) n時(shí)，an =ca；+1 c,： 1 an =c(1 an-)(1+an/+ a2)12一 ,八0C 一,由(1)知 anu0,1,所以 1+an+a2W3 且 1an至 0 31% M 3c(1-*) 1 -an E3c(1 -ani) .三(3c)2(1 -)-III -(3c)n，(1 -a1)= (3c)n n -1* an -1-(3c) (n N) TOC o 1-5 h z 、一122(3)設(shè)0c2-，結(jié)論成立， HYPERLINK l bookmark89 o Current Do

15、cument 31 -3c當(dāng)n之2時(shí)，由(2)知an21 _(3c)n0.a； _(1-(3c廣)2 =1-2(3c尸 (3c)2(nJ) 1-2(3c)nJ22.2222n 1 _a 1 a2111 an = a2 |ann -1 23c (3c) - | - (3c)21 -3c/ 2(1-(3c)n)(=n 1 n 11 -3c點(diǎn)評(píng)：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等，具有較高的難度，對(duì)邏輯推理能力的考查要求較高.5 .數(shù)列與概率的綜合數(shù)列與概率的綜合考查， 雖然不是經(jīng)常但很有新意， 這種命題也體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題 的指導(dǎo)思想. TOC o 1

16、-5 h z 例9.將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）.1- 1 1 一1A -B .C .D .9121518解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有6m個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè),人181小共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為 r=一，選B.6 12點(diǎn)評(píng)：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù).【模擬演練】.公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a是a3與a7的等比中項(xiàng)，0 = 32,則S10等于（）A.18 B . 24 C

17、 . 60 D . 902.等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別用 S和Tn表示，若n=_4 ,則 為 的值為Tn 3n 5 bn2 B8n -3C 6n -3D6n 28n 26n-28n 33.已知函數(shù)f(X)=3-X 1X -1x ： 0.,則不等式x + (x+1)f(x+1 )41的解集是X _ 0A. X | -1 X 2 - 1奴| X M 1)D . |-12-1x0, y0, x, a,b, y成等差數(shù)列，x, c, d, y成等比數(shù)列，則的最Cd小值是.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為s，點(diǎn)Sn )nw N*)均在函數(shù)y=3x 2的圖象上.，n則數(shù)列aj的通項(xiàng)公式為.222.命題p:頭數(shù)

18、x滿足x - 4ax+3a 0,其中a0,命題q:實(shí)數(shù)X滿足x -x -6 -2x的解集為(1 , 3 ).(l)若方程f (x)+6a =0有兩個(gè)相等的根，求 f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求 a的取值范圍.圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為 45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為 x(單位：元).(I)將y表示為x的函數(shù)：(n)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.【參考答案】解析：

19、由 aj=a3a7 得(a1+3d)2 =(a1+2d)(a1+6d)得 2a,+3d=0 ,再 由八 八 5690 , 一 一，S8 =8a1 +d =32 得：2al +7d =8則 d =2,a1 =-3，所以 G0 =10al +d =60，故選 C.22.答案：A解析：S2nA =(2n -1)a：2n二(2n 1同;T,=(2n1)bn .anS2nd4(2n -1) 8n -4 4n -2 bn - T2n- 3(2 n -1) 5 6n 2 3n 1.答案：Cx 1 ： 0 x 1 _ 0解析：依題息得或x (x 1)(-x) .1 x (x 1)x _ 1所以x ： -1x Rx - -1或-.2 -1解得：x-M-1x x2 時(shí)，an =Sn Sn工=(3n2 -2n) - 3(n -1 ) 2(n 1)=6n 5;當(dāng) n=1 時(shí)，a1 =S -3x 12-2 x 1-1-6 X1-5 .所以 an =6n -5(n w N 坤).解析：設(shè) A = & | x2 -4ax +3a2 0(a 0) = x 13a x 0 = x | x2 -x -6 2 x| x2 +2x - 8 a 0=x | -2