1、2022/8/1 前面研究的靜電場、恒定電場和恒定磁場統(tǒng)稱為靜態(tài)場，其場源和場量不隨時(shí)間變化，電場和磁場各自獨(dú)立，彼此無關(guān)，可以分開研究。 本章任務(wù)： 討論隨時(shí)間變化的電磁場，即時(shí)變場。電場和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，還是時(shí)間的函數(shù)。它們互相依存，互相轉(zhuǎn)化。時(shí)變電磁場的核心理論是麥克斯韋方程組，它高度概括了電磁場的基本特征，成為研究電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。 本章學(xué)習(xí)方法建議：在所學(xué)前四章中的基礎(chǔ)上，將電場與磁場統(tǒng)一研究。第五章 時(shí)變電磁場12022/8/1時(shí)變場知識(shí)結(jié)構(gòu)圖第五章 時(shí)變電磁場22022/8/13 靜電場與恒定磁場的源分別是靜止電荷和恒定電流，它們是相互獨(dú)立的。導(dǎo)入2022/8/14恒

2、定電磁場與時(shí)變電磁場場的比較1. 恒定場的特點(diǎn) 涉及的所有物理量僅是空間坐標(biāo)的函數(shù) 遵循的定理和定律是麥克斯韋以前的電磁學(xué)說，如庫侖定律高斯定律電荷守恒定律恒定電流連續(xù)性原理導(dǎo)入2022/8/15安培環(huán)路定律磁通連續(xù)性原理電場和磁場相互聯(lián)系成為不可分割的整體。2. 時(shí)變場的特點(diǎn)涉及的所有物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且是時(shí)間的函數(shù)；遵循麥克斯韋方程；電場和磁場可以共處于一個(gè)空間，但彼此獨(dú)立，服從各自的基本方程。 英國科學(xué)家麥克斯韋將恒定場、時(shí)變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。2022/8/162022/8/17導(dǎo)入 若空間中分布

3、的是時(shí)變的電荷和時(shí)變的電流，則隨時(shí)間變化的電場和磁場是相互聯(lián)系的，1831年法拉第發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，并建立了法拉第電場感應(yīng)定律。 在本章中，我們將看到：隨時(shí)間變化的電場和磁場彼此不能獨(dú)立，時(shí)變的電場將激勵(lì)磁場，時(shí)變的磁場也將激勵(lì)電場，時(shí)變電場與時(shí)變磁場的相互激勵(lì)將形成向遠(yuǎn)方傳播的電磁波。2022/8/182022/8/18 法拉第電磁感應(yīng)定律 位移電流 麥克斯韋方程組 時(shí)變電磁場的邊界條件 時(shí)變電磁場的能量與能流 正弦電磁場 波動(dòng)方程 時(shí)變電磁場中的位函數(shù)第五章 時(shí)變電磁場2022/8/1 85.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 圖 5-1 法拉第電磁感應(yīng)定律 表述：若通過閉合導(dǎo)體回路L所圍面積的磁通量發(fā)

4、生變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢，并引起感應(yīng)電流。感應(yīng)電動(dòng)勢的大小等于回路中磁通量對(duì)時(shí)間的變化率。方向由楞次定律決定：感應(yīng)電動(dòng)勢力圖阻止回路中磁通的變化。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中，S 是由閉合導(dǎo)體回路 L 所限定的曲面，其正側(cè)面與 L 的方向成右手螺旋關(guān)系。2022/8/19 當(dāng)回路線圈不止一匝時(shí)，例如一個(gè)N匝線圈，可以把它看成是由N個(gè)一匝線圈串聯(lián)而成的， 其感應(yīng)電動(dòng)勢為 如果定義非保守感應(yīng)場Eind沿閉合路徑l的積分為l中的感應(yīng)電動(dòng)勢，那么式(5 - 1)可改寫為 (5 - 3)2022/8/1105.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 如果空間同時(shí)還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場Ec，則總電場E為兩者之和，即

5、E=Ec+Eind。但是， 所以式(5 - 3)也可改寫為 引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化， 也可以是閉合回路l自身的運(yùn)動(dòng)(大小、形狀、 位置的變化)。 (5 - 4)2022/8/1115.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 考慮靜止回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢，式(5 - 4)變?yōu)?利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可寫為 上式對(duì)任意面積均成立，所以 2022/8/1125.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 法拉第說明了“動(dòng)磁生電”的現(xiàn)象，但并沒有說明出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢的真正原因，以及當(dāng)時(shí)變磁場附近不存在導(dǎo)體回路時(shí)會(huì)發(fā)生什么情況。麥克斯韋在對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象進(jìn)行深入分析后認(rèn)識(shí)到：導(dǎo)體

6、中的電流必然由電場引起。 這種由磁場變化激勵(lì)或者說感應(yīng)出來的電場被稱為感應(yīng)電場，其在導(dǎo)體回路上的環(huán)量就是回路上的感應(yīng)電動(dòng)勢 。不論有無導(dǎo)體回路，時(shí)變磁場都會(huì)激勵(lì)起感應(yīng)電場。 因此，電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是：時(shí)變磁場在周圍空間激勵(lì)起感應(yīng)電場，若該電場中有導(dǎo)體，就會(huì)在導(dǎo)體上引起感應(yīng)電流。2022/8/1135.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 可見，時(shí)變磁場是感應(yīng)電場的旋渦源，感應(yīng)電場是有旋場，因此又被稱為渦旋電場，其電力線是閉合曲線，并與其旋渦源時(shí)變磁場的磁力線相交鏈。 這說明感應(yīng)電場的性質(zhì)不同于靜電場(無旋場)，其原因在于兩者的激勵(lì)源不同，但它們對(duì)電荷的作用相同?？梢宰C明，對(duì)于其它方式引起的磁通變化，也可以

7、推出上面兩式。5.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 圖 5-2 磁場中的運(yùn)動(dòng)回路 考察運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的感應(yīng)電動(dòng)勢2022/8/1155.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 穿過該回路的磁通量的變化率為 式中B(t+t)是在時(shí)間t+t時(shí)刻由lb圍住的曲面Sb上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，B(t)是在t時(shí)刻由la圍住的曲面Sa上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 若把靜磁場中的磁通連續(xù)性原理SBdS=0推廣到時(shí)變場，那么在時(shí)刻t+t通過封閉面S=Sa+Sb+Sc的磁通量為零，因此 2022/8/1165.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 將B(t+t)展開成泰勒級(jí)數(shù)，有 2022/8/1175.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 由于側(cè)面積Sc上的面積元dS=dlvt, 當(dāng)t0

8、時(shí) 2022/8/1185.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 因此，l由la的位置運(yùn)動(dòng)到lb的位置時(shí)，穿過該回路的磁通量的時(shí)變率為 這樣運(yùn)動(dòng)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢可表示為 式(5 - 14)可改寫為 2022/8/1195.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 設(shè)靜止觀察者所看到的電場強(qiáng)度為E，那么E=E-vB。因此，運(yùn)動(dòng)回路中， 或 2022/8/1205.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 例：如圖所示，若半徑為 a ，平行于 z 軸的無限長圓柱體附近的磁感應(yīng)強(qiáng)為： ，求空間電場分布。解：根據(jù)題意，空間結(jié)構(gòu)和磁場分布都是關(guān)于 z 軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，因此時(shí)變磁場激勵(lì)出的感應(yīng)電場也應(yīng)關(guān)于 z 軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。取與圓柱同軸的回路 L ，在該回路

9、上 處處與回路相切且幅度處處相等。2022/8/1215.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 2022/8/1225.1 法拉第電磁感應(yīng)定律 問題的提出 法拉第電磁感應(yīng)定律提出變化的磁場產(chǎn)生電場，根據(jù)電磁之間的對(duì)偶關(guān)系，那么變化的電場是否會(huì)產(chǎn)生磁場呢？ 麥克斯韋發(fā)現(xiàn)恒定磁場中的安培環(huán)路定律用于時(shí)變電磁場時(shí)有矛盾，從而提出位移電流的概念，將此定律進(jìn)行修正和完善。安培環(huán)路定律取S1面有取S2面有線積分結(jié)果不同！圖 交變電路用安培環(huán)路定律真空電容器中通過的時(shí)變電流是什么？5.2 位 移 電 流 2022/8/123麥克斯韋認(rèn)為 電荷與電流連續(xù)性定理符合電荷守恒定律是無可懷疑的，而安培環(huán)路定律是在恒定情況下得出的

10、需加以修正。麥克斯韋的兩個(gè)假設(shè) 靜電場中的高斯定理在時(shí)變情況下仍然是正確的；全電流連續(xù)位移電流2022/8/1245.2 位 移 電 流 位移電流與傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流一樣具有磁的效應(yīng)； 在時(shí)變場中，不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。這就是麥克斯韋位移電流假說； 時(shí)變電場與時(shí)變磁場在空間相互轉(zhuǎn)化，麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的存在。結(jié)論流進(jìn)曲面S1的傳導(dǎo)電流等于流出S2的位移電流 位移電流是電流概念的擴(kuò)充，它不是帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)形成的，而是人為定義的，不能直接由實(shí)驗(yàn)測出。2022/8/1255.2 位 移 電 流 電荷守恒定律的數(shù)學(xué)描述就是電流連續(xù)性方程：式中J是電流體密度， 它的方向

11、就是它所在點(diǎn)上的正電荷流動(dòng)的方向，它的大小就是在垂直于電流流動(dòng)方向的單位面積上每單位時(shí)間內(nèi)通過的電荷量(單位是A/m2)。因此，式(5- 18)表明，每單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內(nèi)每單位時(shí)間所減少的電荷量-dQ/dt。(5 - 18)2022/8/1265.2 位 移 電 流 利用散度定理(也稱為高斯公式) 將式(5 - 18)用體積分表示， 對(duì)靜止體積有 上式對(duì)任意體積V均成立， 故有 上式是電流連續(xù)性方程的微分形式。 2022/8/1275.2 位 移 電 流 靜態(tài)場中的安培環(huán)路定律之積分形式和微分形式為 和 此外， 對(duì)于任意矢量A， 其旋度的散度恒為零， 即 20

12、22/8/1285.2 位 移 電 流 在承認(rèn) 也適用于時(shí)變場的前提下，則有 2022/8/1295.2 位 移 電 流 由于 所以位移電流 2022/8/1305.2 位 移 電 流 對(duì)任意封閉曲面S有 即 穿過任意封閉面的各類電流之和恒為零，這就是全電流連續(xù)性原理。 將其應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中，可知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號(hào)，流入的電流取負(fù)號(hào))。這就是基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)電流定律：I=0。 2022/8/1315.2 位 移 電 流 例 5-1 計(jì)算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場為E0sint，銅的電導(dǎo)率=5.8107S/m,

13、0。 解： 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 位 移 電 流 2022/8/132 例5-2 證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。 解： 根據(jù)麥克斯韋方程 可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 位 移 電 流 2022/8/133例 5 - 3 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為試求：(1) 通過半徑r=1mm的球面的電流值；(2) 在r=1mm的球面上電荷密度的增加率；(3) 在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。 2022/8/1345.2 位 移 電 流 解：(1) (2) 因?yàn)?由電流連續(xù)性方程式， 得 2022/8/1355.2 位 移 電 流 (3) 在r=1 mm的球內(nèi)

14、總電荷的增加率： 2022/8/1365.2 位 移 電 流 例 5 4 在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度 求位移電流密度Jd。 解：無源的自由空間中J=0, 式(5 - 22)變?yōu)?5.2 位 移 電 流 2022/8/137 麥克斯韋方程組 我們知道，對(duì)任意矢量場的研究需要了解其旋度和散度。前面兩節(jié)介紹的法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律適用于靜態(tài)場和時(shí)變場。它們分別給出了電場和磁場的旋度，即場與旋渦源的關(guān)系。 對(duì)于電場和磁場與各自散度源之間的關(guān)系，我們?cè)诘诙陆榻B的高斯定律和磁通連續(xù)性原理在時(shí)變場情況下至今未發(fā)現(xiàn)與它們相矛盾的事實(shí)，因此它們也適用于時(shí)變場。 5.3 麥克斯韋方程組2022/8

15、/138 這樣，我們就得到了下面的宏觀電磁場的基本方程。這些定律由麥克斯韋概括、完善和推廣，被命名為麥克斯韋方程組。全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律麥克斯韋方程組2022/8/139如果我們假設(shè)過去或?qū)砟骋粫r(shí)刻，B在空間每一點(diǎn)上都為零，則 B在任何時(shí)刻處處為零， 所以有 麥克斯韋方程組2022/8/140物理意義 麥克斯韋方程組揭示了各個(gè)場矢量與場源的關(guān)系，只要知道了這些關(guān)系就可以從場源求出電磁場分布，同時(shí)麥克斯韋方程組也體現(xiàn)了電場和磁場的性質(zhì)，從方程中可以看出： (1) 電場的散度等于電荷密度，電荷是電場的散度源；由電荷產(chǎn)生的電場是有散場，電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷

16、。 (2) 磁場的散度恒為零，磁場沒有散度源，至今沒有證實(shí)“磁荷”的存在；磁場是無散場，磁力線是無頭無尾的閉合曲線。 麥克斯韋方程組2022/8/141 (3) 渦旋電場的旋度等于磁場的負(fù)時(shí)變率，時(shí)變磁場的負(fù)時(shí)變率是渦旋電場的旋渦源；由時(shí)變磁場的負(fù)時(shí)變率產(chǎn)生的渦旋電場與電荷產(chǎn)生的無旋電場不同，它是有旋場，其電力線是閉合曲線，與磁力線相交鏈。 (4) 磁場的旋度等于傳導(dǎo)電流密度與位移電流密度之和，即全電流密度。全電流密度是磁場的旋渦源；磁場是有旋場，磁力線是閉合曲線，與全電流線相交鏈。麥克斯韋方程組2022/8/142 (5) 時(shí)變電場、時(shí)變磁場可以不斷地互相激勵(lì)，說明時(shí)變電磁場是由時(shí)變電場和時(shí)

17、變磁場組成的不可分割的統(tǒng)一體。 (6) 場源一旦激勵(lì)起了時(shí)變電場或者時(shí)變磁場，即使去掉場源，時(shí)變電場、時(shí)變磁場也會(huì)互相激勵(lì)，且閉合的電力線與閉合的磁力線相互交鏈，電磁場分布的空間逐漸增大，電磁場以波動(dòng)的形式向遠(yuǎn)處傳播。麥克斯韋方程組2022/8/143 (7) 方程中的所有場量既是空間坐標(biāo)的函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)。如果方程中的所有場量都不隨時(shí)間變化，方程中的時(shí)間偏導(dǎo)項(xiàng)均等于零，則方程退化為靜態(tài)場的方程。 (8) 在線性媒質(zhì)中，麥克斯韋方程組是線性方程組，滿足疊加原理，即多個(gè)場源各自產(chǎn)生的場可以在空間同時(shí)存在，空間任意一點(diǎn)的場均等于所有場源在該點(diǎn)產(chǎn)生的場的疊加。麥克斯韋方程組2022/8/144

18、在有媒質(zhì)存在時(shí)，上述電磁場的基本方程尚不完備，D、B和 J 都與媒質(zhì)的特性有關(guān)。因此，還需要補(bǔ)充三個(gè)描述媒質(zhì)特性的方程。一般，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為 對(duì)于均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)來說，有：輔助方程本構(gòu)關(guān)系2022/8/145 電荷(運(yùn)動(dòng)或靜止)激發(fā)電磁場，電磁場反過來對(duì)電荷有作用力。當(dāng)空間同時(shí)存在電場和磁場時(shí)，以恒速v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q所受的力為 如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場力密度為 上式稱為洛侖茲力公式。近代物理學(xué)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了洛侖茲力公式對(duì)任意運(yùn)動(dòng)速度的帶電粒子都是適應(yīng)的。 洛倫茲力2022/8/146 麥克斯韋方程組、結(jié)構(gòu)方程和洛倫茲力公式一起，完全、正確地

19、反映了宏觀電磁場的基本規(guī)律及其與其它物質(zhì)相互作用的規(guī)律，構(gòu)成了宏觀電磁理論的基礎(chǔ)。它的建立對(duì)近代電磁學(xué)的發(fā)展起到了十分巨大的推動(dòng)作用，它的正確性在大量的科學(xué)實(shí)踐中得到了證實(shí)，它的偉大之處在于它不僅可以完美地解釋過去已發(fā)現(xiàn)的電磁物理現(xiàn)象，而且還預(yù)言了電磁波的存在。麥克斯韋方程組的歷史意義2022/8/147 例5-5 證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永久的自由電荷分布。 解： 將J=E代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有 由于 例題2022/8/148例 5 6 已知在無源的自由空間中， 其中E0、為常數(shù)，求H。 解：所謂無源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷，即J=0, =0。 例題2022/

20、8/149由上式可以寫出： 例題2022/8/150 與靜態(tài)場一樣，在時(shí)變場中也往往存在兩種不同媒質(zhì)的邊界面，因此，在時(shí)變場中也必須研究它的邊界條件，研究方法與靜態(tài)場相同，即把積分形式的場方程應(yīng)用于邊界面上的閉曲面或閉曲線，就可推出時(shí)變場的邊界條件。邊界條件就是麥克斯韋方程組的積分方程在邊界面處的特殊形式。5.4 時(shí)變電磁場的邊界條件2022/8/151圖 5-3 法向分量邊界條件 5.4 時(shí)變電磁場的邊界條件2022/8/152 設(shè)n是分界面上任意點(diǎn)處的法向單位矢量；F表示該點(diǎn)的某一場矢量(例如D、B、)，它可以分解為沿n方向和垂直于n方向的兩個(gè)分量。 因?yàn)槭噶亢愕仁?所以 上式第一項(xiàng)沿n方

21、向，稱為法向分量；第二項(xiàng)垂直于n方向，切于分界面，稱為切向分量。5.4 時(shí)變電磁場的邊界條件2022/8/153一般情況 如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為 由上面兩式，得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為 一般情況2022/8/154或者如下的標(biāo)量形式： 若分界面上沒有自由面電荷， 則有 然而D=E，所以 綜上可見，如果分界面上有自由面電荷，那么電位移矢量D的法向分量Dn越過分界面時(shí)不連續(xù)，有一等于面電荷密度S的突變。 如S=0，則法向分量Dn連續(xù)；但是，分界面兩側(cè)的電場強(qiáng)度矢量的法向分量En不連續(xù)。 一般情況2022/8/155 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式

22、的邊界條件為 或者如下的標(biāo)量形式的邊界條件： 由于B=H，所以 一般情況2022/8/156圖 5-4 切向分量邊界條件將麥克斯韋方程 一般情況2022/8/157 設(shè)n(由媒質(zhì) 2 指向媒質(zhì) 1)、l分別是l中點(diǎn)處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量，b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量，三者的關(guān)系為 將麥克斯韋方程 一般情況2022/8/158因?yàn)?有限而h0，所以 如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流， 則在回路所圍的面積上， 綜合以上三式得 b是任意單位矢量，且nH與JS共面(均切于分界面)， 所以 一般情況2022/8/159如果分界面處沒有自由面電流，那么 由上式可以獲得 一般情

23、況2022/8/160一般情況2022/8/161兩種特殊情況 理想介質(zhì)=0 ，分界面上無自由面電荷，無自由面電流。其矢量形式的邊界條件為 特殊情況2022/8/162它們相應(yīng)的標(biāo)量形式為 特殊情況2022/8/163 理想導(dǎo)體是指，所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場。此外，在時(shí)變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場。故在時(shí)變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電磁場，即所有場量為零。設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導(dǎo)體外部的電磁場，那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為 特殊情況2022/8/164時(shí)變電磁場的邊界條件麥克斯韋方程組小結(jié)2022/8/165 在電磁場問題中，經(jīng)常將均勻、線性、各向同性、對(duì)電

24、磁波損耗較小的媒質(zhì)近似為理想介質(zhì)，其 均為實(shí)數(shù)， ；將導(dǎo)電性能很好的導(dǎo)體近似為理想導(dǎo)體，其 。下面分別給出兩種常見邊界面處的邊界條件。 對(duì)于兩種理想介質(zhì)的邊界面，由于理想介質(zhì)中沒有自由電荷分布，因此，邊界面處不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流，即： ， ，則邊界條件簡化為：小結(jié)2022/8/166 對(duì)于理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的邊界面，由于物質(zhì)中的電流密度總是有限的，而理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率 ，若理想導(dǎo)體中存在非零電場，則必然導(dǎo)致 ，與物理事實(shí)不符，因此理想導(dǎo)體中電場必為零，則時(shí)變磁場也為零(若有非零時(shí)變磁場，必定會(huì)感應(yīng)出電場，又出現(xiàn)矛盾)，所以理想導(dǎo)體中不存在時(shí)變電磁場。小結(jié)2022/8/167上式中， 是導(dǎo)體表

25、面外法向單位矢量。該邊界條件表明，在理想導(dǎo)體表面有面電流和面電荷分布；在邊界面處，電場矢量、電力線必然垂直于理想導(dǎo)體表面，磁場矢量、磁力線必然平行于理想導(dǎo)體表面。 對(duì)于 很大的良導(dǎo)體，當(dāng)頻率很高時(shí)，電磁場只存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為趨 (集)膚效應(yīng)，薄層的厚度稱為透入深度。 時(shí)，即理想導(dǎo)體，其透入深度為零。設(shè)理想導(dǎo)體為媒質(zhì)1，理想介質(zhì)為媒質(zhì)2，則邊界條件為：小結(jié) 例 5 - 7 設(shè)z=0 的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z0 一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場強(qiáng)度為 試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場強(qiáng)度。 解： 例題2022/8/169假設(shè)t=0 時(shí)，S=0，

26、由邊界條件nD=S以及n的方向可得 例題2022/8/170 例 5-8 證明在無初值的時(shí)變場條件下，法向分量的邊界條件已含于切向分量的邊界條件之中，即只有兩個(gè)切向分量的邊界條件是獨(dú)立的。 因此，在解電磁場邊值問題中只需代入兩個(gè)切向分量的邊界條件。 解： 在分界面兩側(cè)的媒質(zhì)中， 將矢性微分算符和場矢量都分解為切向分量和法向分量，即令 例題2022/8/171于是有 由上式可見： 對(duì)于媒質(zhì) 1 和媒質(zhì) 2 有 例題2022/8/172上面兩式相減得 代入切向分量的邊界條件： 有 例題2022/8/173從而有 如果t=0 時(shí)的初值B1、B2都為零，那么C=0。 故 同理，將式 中的場量和矢性微分

27、算符分解成切向分量和法向分量，并且展開取其中的法向分量， 有 例題2022/8/174此式對(duì)分界面兩側(cè)的媒質(zhì)區(qū)域都成立， 故有 將兩式相減并用 代入， 得 例題2022/8/175再將切向分量的邊界條件 例題2022/8/176 例 5 - 9 設(shè)區(qū)域(z0)的媒質(zhì)參數(shù)r2=5, r2=20, 2=0。區(qū)域中的電場強(qiáng)度為 區(qū)域中的電場強(qiáng)度為 試求：(1) 常數(shù)A； (2) 磁場強(qiáng)度H1和H2； (3) 證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。 例題2022/8/177解：(1) 在無耗媒質(zhì)的分界面z=0處， 有 由于E1和E2恰好為切向電場， 例題2022/8/178 (2) 根據(jù)麥克斯韋方程

28、有 所以 例題2022/8/179同理， 可得 (3) 將z=0代入(2)中得 例題2022/8/180 時(shí)變電磁場的能量密度 靜電場和恒定磁場的能量密度分別為：在得到這兩個(gè)公式時(shí)，我們并沒有對(duì)場的時(shí)變性質(zhì)作特別要求，因此它們也適用于時(shí)變場。 這樣，時(shí)變電磁場中能量密度 w 是電場能量密度 與磁場能量密度 之和，即：所以，區(qū)域 V 中的總電磁能量為：5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流坡印廷矢量和坡印廷定理 與靜態(tài)場一樣，時(shí)變電磁場也具有能量，而且還特有能量流動(dòng)現(xiàn)象。時(shí)變電磁場以電磁波的形式從場源向周圍空間傳播，因此電磁場的能量也隨之傳播，形成電磁能流。下面我們根據(jù)麥克斯韋方程組，推導(dǎo)電磁能量守恒和

29、轉(zhuǎn)化定律坡印廷定理，并引入一個(gè)描述電磁能流的物理量坡印廷矢量 S 。 根據(jù)麥克斯韋第一、第二方程： 和矢量恒等式：5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流有：則：將上式兩邊在任意體積 V 上積分，有：5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流根據(jù)散度定理，并交換積分與偏微分的次序，有：坡印廷定理上式表明，單位時(shí)間內(nèi)流入 V 的電磁能量一部分被損耗掉，另一部分就是 V 中增加的電磁能量。因此，坡印廷定理體現(xiàn)了電磁場中的能量守恒關(guān)系。單位時(shí)間內(nèi)體積 V 中損耗的焦耳熱V 中電磁能量隨時(shí)間的增長率，或者說是單位時(shí)間內(nèi) V 中增加的電磁能量單位時(shí)間內(nèi)通過邊界面 S 流入體積 V 中的電磁能量5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流

30、由于 表示通過曲面 S 流出體積 V 的功 率，所以 表示通過單位面積的功率，令S 就稱為坡印廷矢量，其方向表示電磁能量流動(dòng)的方向，大小為通過與能流方向垂直的單位面積的功率，因此，S 也稱為能流密度矢量。 坡印廷定理主要應(yīng)用于時(shí)變電磁場，也可以應(yīng)用于靜態(tài)場。在靜態(tài)場中 ，所以坡印廷定理可表示為：表明，通過閉曲面 S 流入體積 V 中的功率等于 V 內(nèi)損耗的功率。5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流例：在某無源的理想介質(zhì)區(qū)域中， 。求：(1) 坡印廷矢量；(2) 坡印廷矢量的時(shí)間平均值。解：(1) 先利用Maxwell方程組求出 H 。 由 ，得：S 只有 z 分量，所以電磁能量沿 z 軸方向流動(dòng)。(

31、2) 可以看出，S 是 t 的周期函數(shù)，所以其平均值等于它在一個(gè)周期 內(nèi)的平均值：5.5 時(shí)變電磁場的能量與能流正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法 時(shí)變電磁場的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 以電場強(qiáng)度為例， 在直角坐標(biāo)系中， 5.6 正弦電磁場式中電場強(qiáng)度的各個(gè)坐標(biāo)分量為 與電路理論中的處理相似，利用復(fù)數(shù)或相量來描述正弦電磁場場量，可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡化：對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項(xiàng)的共同時(shí)間因子e jt)。例如， 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法因此，我們也把 稱為Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost

32、+x(x, y, z)的復(fù)數(shù)形式。按照式(5 - 47)，給定函數(shù)Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)，有唯一的復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)； 反之亦然。 由于 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法 所以，采用復(fù)數(shù)表示時(shí)，正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以j，即 同理，電場強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法式中 稱為電場強(qiáng)度的復(fù)振幅矢量或復(fù)矢量， 它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)。這樣我們就把時(shí)間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即 若要得出瞬時(shí)值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejt并

33、取實(shí)部，便得到其相應(yīng)的瞬時(shí)值： 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法 例5 -12 將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場矢量變換成瞬時(shí)值，或作相反的變換。 例題例 5 13 將下列場矢量的復(fù)數(shù)形式寫為瞬時(shí)值形式。 例題麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式 在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，對(duì)復(fù)數(shù)的微分和積分運(yùn)算是分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行的，并不改變其實(shí)部和虛部的性質(zhì)，故 麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式故當(dāng)t任意時(shí)， 以及電流連續(xù)性方程的復(fù)數(shù)形式： 正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法對(duì)正弦電磁場，當(dāng)場矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)： 從而坡印廷矢量瞬時(shí)值可寫為 復(fù)坡印廷矢量它在一個(gè)周期T=2/內(nèi)的平均值為 式中： S稱為復(fù)坡印廷矢量，它與時(shí)間t無關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實(shí)部為平均功率流密度

34、(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。 注意式中的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度是復(fù)振幅值而不是有效值；E*、 H*是E、H的共扼復(fù)數(shù)，Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。 復(fù)坡印廷矢量 類似地可得到電場能量密度、磁場能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的表示式： 復(fù)坡印廷矢量 媒質(zhì)在電磁場作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場中這些參數(shù)都是實(shí)常數(shù)；而在時(shí)變電磁場作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場的時(shí)間變化有關(guān)，對(duì)正弦電磁場即與頻率有關(guān)。研究表明：一般情況下(特別在高頻場作用下)， 描述媒質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)， 且虛部總是大于零的正數(shù)，即 復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率對(duì)于具有復(fù)介電常數(shù)的導(dǎo)電媒質(zhì)，考慮到傳導(dǎo)電流J=E, 上式表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替；導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率和介電常數(shù)的總效應(yīng)可用一個(gè)等