1、1第10章 場與物質(zhì)相互作用的量子理論10.1 量子力學(xué)的三種圖像10.2 輻射場與原子的相互作用10.3 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率10.5 激光器的庫理論10. 6 激光的光子統(tǒng)計2022/7/3110.1 量子力學(xué)的三種圖象 量子力學(xué)對微觀系統(tǒng)狀態(tài)及其運動規(guī)律存在三種等價的描述方式，稱之為圖像(picture)，或表象，或繪景，它們是：1Schrdinger圖像2Heisenberg圖像3相互作用(Interaction)圖像2022/7/3123如果把力學(xué)量平均值和概率分布隨時間的演化，全都歸之為態(tài)矢隨時間的演化，而力學(xué)量算符不隨時間演化，這種描述方式就是Schrdinger圖像；反之，

2、全都歸之為力學(xué)量算符隨時間的演化而態(tài)矢保持不變，得到Heisenberg圖像；部分歸之為態(tài)矢變化，部分歸之為算符變化，則是相互作用圖像。2022/7/31410.1.1 Schrdinger圖像在該圖像中，體系的狀態(tài)矢量|(t)是隨時間t演化的，其演化的方式遵守Schrdinger方程而力學(xué)量算符 不隨時間演化： 。力學(xué)量平均值隨時間的演化由態(tài)矢來承載：10-1-210-1-12022/7/315令其中算符 把t0時刻的態(tài)|(t0)變換成t1時刻的態(tài)|(t1) ，稱為時間演化算符，它代表一個連續(xù)變換（t0和t1任意），把態(tài)矢隨時間變化而變化用一個變換算符的作用來體現(xiàn)。（10-1-3）式代入（1

3、0-1-2）式得到10-1-7哈密頓算符不顯含時間t時，可以得到：10-1-810-1-32022/7/31610.1.2 Heisenberg圖像Schrdinger圖像和Heisenberg圖像下的態(tài)矢和力學(xué)量算符分別帶有上標S和H。在Heisenberg圖像中，力學(xué)量平均值隨時間的演化，完全歸之于力學(xué)量算符隨時間的演化，而態(tài)矢保持不變。對于力學(xué)量平均值，有10-1-112022/7/317其中分別是Heisenberg圖像下的態(tài)矢和力學(xué)量算符。不顯含時間的哈密頓算符算符，在兩種圖像下是相等的，這是因為哈密頓算符與時間演化算符是對易的。10-1-910-1-142022/7/318假設(shè)力學(xué)

4、量算符不顯含t，即利用(10-1-9)式，有有利用(10-1-8)式，即10-1-122022/7/319總之，在Heisenberg圖像中，態(tài)矢不隨時間演化，而力學(xué)量算符是隨時間演化的，其演化的方式遵守Heisenberg方程。于是，我們得到在Heisenberg圖像下，力學(xué)量算符隨時間演化的Heisenberg方程。10-1-122022/7/3110當(dāng)一個量子系統(tǒng)的哈密頓算符算符可以分解成兩部分：10.1.3 相互作用圖像其主要部分 不含時間（通常是自由部分），而微擾部分 只對系統(tǒng)產(chǎn)生較小的影響（通常是相互作用部分），這時就可以采用相互作用圖像。相互作用圖像下的態(tài)矢和算符（帶上標I），可

5、由Schrdinger圖像下的態(tài)矢和算符作如下幺正變換得到：2022/7/3111其中的幺正變換算符 是由哈密頓算符的主要部分來定義的時間演化算符，它同樣滿足前面給出的演化算符的一切性質(zhì)。由(10-1015)式中的第一式有10-1-1510-1-1610-1-192022/7/3112如果哈密頓算符的主要部分和微擾部分對易，即有則相互作用圖像下的態(tài)矢又可以表達為2022/7/3113利用(10-1-15)上式式以及Schrdinger方程不難驗證，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符分別滿足以下方程（算符不顯含時間）：由定義(10-1-15) ，相互作用圖像下哈密頓算符的微擾項與自由項分別為2022/

6、7/3114因此，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符都隨時間演化，其中態(tài)矢的演化遵從Schrdinger方程，且由哈密頓算符算符中的相互作用項（微擾項）推動；算符的演化遵從Heisenberg方程，且由哈密頓算符算符中的自由項推動10-1-2010-1-212022/7/3115以上三種圖像是對同一物理內(nèi)容的不同描述方式，在物理本質(zhì)上是相互等價的。例如，在三種圖像中，算符之間的對易關(guān)系不會變，算符的平均值不會變，態(tài)矢之間的內(nèi)積不會變，測不準關(guān)系不會變，等等。如果對未微擾系統(tǒng)（ ）已經(jīng)有充分了解，加上微擾 之后，取相互作用圖像是合適的，此時算符的運動方程由未微擾系統(tǒng)的Heisenberg方程來描述，它

7、的解是熟悉的、已知的，而態(tài)矢量的運動方程只含一個影響較小的微擾算符，便于近似求解。2022/7/311610.2 輻射場與原子的相互作用10.2.1 Schrdinger圖像下的哈密頓算符EbEan|b|a(n+1)單模輻射場與二能級原子構(gòu)成的系統(tǒng)考慮由光場和原子共同組成的系統(tǒng)，其中原子是二能級的，上下能級本征態(tài)分別是|a和|b，分別對應(yīng)能量本征值Ea=a和Eb=b 。2022/7/3117上下能級的本征態(tài)矢量|a和|b滿足正交歸一和完備性關(guān)系，例如= =1, = =0。在以|a和|b作為基矢量的表象下， |a=1|a+0 |b，|b= 0|a+1 |b。將一個矢量用基矢量展開時，展開系數(shù)即是

8、該矢量的坐標，由坐標構(gòu)成的列矩陣，就是矢量的矩陣表示。 因此|a和|b在其自身表象下的矩陣表示為10-2-12022/7/3118上升算符和下降算符定義上升算符 和下降算符 如下：10-2-410-2-32022/7/3119即上升算符 把下能級本征態(tài)|b變?yōu)樯夏芗壉菊鲬B(tài)|a ，下降算符 則把上能級本征態(tài)|a變?yōu)橄履芗壉菊鲬B(tài)|b 。顯然上升算符和下降算符互為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，即互為厄米共軛。利用 和態(tài)矢的正交歸一性，易證10-2-52022/7/3120在原子的量子力學(xué)狀態(tài)|=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值與原子的密度矩陣元對應(yīng)(書上pp. 106-107)：10-2-62022/

9、7/312. 系統(tǒng)的Hamiltonian算符由單模光場和二能級原子組成的系統(tǒng)，其總的Hamiltonian算符包括自由光場的貢獻(帶下標f)、純原子的貢獻(帶下標a)，以及光場與原子之間的相互作用的貢獻(帶下標af，相互作用采用電偶極矩近似)，即有假設(shè)單模光場的頻率為，二能級原子上下能級本征態(tài)分別是|a和|b，分別對應(yīng)能量本征值Ea=a和Eb=b，則有10-2-72022/7/312122其中原子的Hamiltonian算符在它自身的表象下，還可以表達為10-2-910-2-810-2-102022/7/3123顯然有以下本征方程考慮到原子的固有電偶極矩(平均)為零，即故光場與原子之間相互作

10、用項 對應(yīng)的矩陣為2022/7/3124即其中定義光場與原子之間的耦合系數(shù)g為2022/7/3125于是10-2-142022/7/3126于是相互作用項又可以表達成考慮到上升算符和下降算符滿足即10-2-152022/7/3127在上面相互作用包含的四項中 表示原子從上能級躍遷到下能級，同時吸收光場的一個光子； 表示原子從下能級躍遷到上能級，同時吸收光場的一個光子； 表示原子從上能級躍遷到下能級，同時光場增加一個光子； 表示原子從下能級躍遷到上能級，同時光場增加一個光子。2022/7/3128我們考慮的是由光場和原子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，無外界作用，為了滿足能量守恒，相互作用項只能取為：綜上所述，

11、在全量子化理論下，由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量算符為10-2-1710-2-182022/7/312910.2.2 相互作用圖像下的相互作用能在上面得到的由光場和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總哈密頓算符中，前兩項對應(yīng)系統(tǒng)的自由項（定態(tài)哈密頓算符），第三項對應(yīng)相互作用項（微擾項），即有10-2-192022/7/3130因此，采用相互作用圖象時，變換算符為相互作用圖象下的態(tài)矢和算符可由(10-1-15)式得到10-2-2010-1-152022/7/3131我們考慮的系統(tǒng)其狀態(tài)由光場狀態(tài)和原子狀態(tài)共同決定（光場狀態(tài)用單模光子數(shù)態(tài)|n描述，原子狀態(tài)用上下能級本征態(tài)|a和|b描述）。態(tài)矢對應(yīng)概率振幅，根據(jù)同時

12、發(fā)生事件的概率相乘原理，可以用|a, n |a|n表示原子處于上能級而光場光子數(shù)為n的本征態(tài)，而用|b, n+1 |b|n+1表示原子處于下能級而光場光子數(shù)為(n+1)的本征態(tài)，顯然2022/7/3132其中展開系數(shù)Ca, n (t)和Cb, n+1(t)假定為時間的緩變函數(shù)。相互作用圖像下的相互作用能為在相互作用圖像下，利用系統(tǒng)定態(tài)哈密頓算符 的兩個本征態(tài)|a, n和|b, n+1，可把系統(tǒng)的一般態(tài)矢表示為10-2-2110-1-1510-2-172022/7/3133把(10-2-20)式代入(10-2-17)式，可得其中，0為二能級原子的共振躍遷頻率：10-2-2910-2-272022

13、/7/313410.3 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率EbEan|b|a(n+1)單模輻射場與二能級原子構(gòu)成的系統(tǒng)0=(Ea-Eb)/= a-b|n|n+12022/7/3135對于由單模輻射場與一個二能級原子構(gòu)成的相互作用系統(tǒng)，在相互作用圖像下，系統(tǒng)態(tài)矢的表達式(10-2-21)和系統(tǒng)Hamiltonian算符中的相互作用項表達式(10-2-29) ，即有（假定光場的初始光子數(shù)為n或者(n+1)）10.3.1 系統(tǒng)狀態(tài)隨時間演化的方程(10-2-21)(10-2-29)(10-2-27)2022/7/3136在相互作用圖像下，有以下方程將(10-2-21)、(10-2-29)和(10-2-27)式

14、代入上式，再利用定態(tài)能量算符本征態(tài)的正交歸一關(guān)系，可以求得(10.3.5)和(10.3.6)）。10-3-110-3-510-3-6就是系統(tǒng)處于態(tài)|a, n和|b, n+1 的幾率振幅隨時間變化的方程。2022/7/31371. 受激吸收幾率假定系統(tǒng)在初始t=0時刻處在|b, n+1 的狀態(tài)即初始時刻系統(tǒng)中的原子處于下能級而光場有(n+1)個光子。在t0時刻，由于光場與原子之間的相互作用，原子有一定的幾率躍遷到上能級而光場相應(yīng)減少一個光子，即代表該過程的幾率振幅Ca, n (t)0 for t0.2022/7/3138為了具體地求出t0時的幾率振幅Ca, n (t)，對 (10-3-5)式積分

15、，取一階微擾近似，有系統(tǒng)從|b, n+1 態(tài)躍遷到|a, n態(tài)的幾率為10-3-8系統(tǒng)受激吸收的幾率正比于光場的初始光子數(shù)( n+1)，因此若初始光子數(shù)為零，原子就不會從下能級躍遷到上能級共振吸收時，=0，幾率最大。2022/7/31392. 受激發(fā)射幾率和自發(fā)發(fā)射幾率假定系統(tǒng)在初始t=0時刻處在|a, n 的狀態(tài)，即原子處于上能級而光場有n個光子的狀態(tài)同理，對 (10-3-6)式積分，且取一階微擾近似，有2022/7/3140系統(tǒng)從|a, n 態(tài)躍遷到|b, n+1態(tài)的幾率為由于初始光場的光子數(shù)為n，故上式右端可分為跟初始光場中n個光子相關(guān)的部分和跟n個光子無關(guān)的部分，即10-3-910-3

16、-1010-3-112022/7/3141(10-3-10)中初始光場的光子數(shù)n成正比，是n個光子誘發(fā)的受激發(fā)射(stimulated emission)幾率，n=0時該幾率為0；(10-3-11)跟初始光場的光子數(shù)無關(guān)，即使初始光場處于光子數(shù)為0的真空態(tài)，該項仍然存在，故屬于自發(fā)發(fā)射 (spontaneous emission)幾率。10-3-1110-3-102022/7/3142初始光場的光子數(shù)相同的情況下，同一系統(tǒng)的受激發(fā)射幾率與受激吸收幾率相同，都是正比于初始光場的光子數(shù)自發(fā)發(fā)射幾率等于一個光子引發(fā)的受激發(fā)射幾率。自發(fā)發(fā)射在全量子理論中完全是自然出現(xiàn)的，這是因為量子場存在真空起伏，從

17、而存在零點能，零點能對處于上能級的原子產(chǎn)生干擾，使其產(chǎn)生向下能級的躍遷，這個過程中能量守恒（反之不存在“自發(fā)吸收”過程，因為違背能量守恒）。而經(jīng)典電磁場不存在零點能，不能自然地解釋自發(fā)發(fā)射共振發(fā)射時，=0，所有躍遷過程幾率最大。2022/7/31433. 自發(fā)發(fā)射(10-3-11)式表達的是一個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率。所有模式（頻率）上總的自發(fā)發(fā)射幾率，等于對各個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率求和（頻率連續(xù)分布時，對應(yīng)連續(xù)求和，即積分）。體積V內(nèi)從頻率(+d)之間的光頻范圍內(nèi)的模式數(shù)為（已考慮到兩種偏振狀態(tài)）10-3-122022/7/3144所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為10-3-132022/7/314

18、5令x=(-0)t/2，考慮到被積函數(shù)中(sinx/x)2是一個在x=0 (即=0)附近的尖峰函數(shù)，且被積函數(shù)在0的區(qū)域上積分貢獻近似為零，因此對被積函數(shù)中的2項取近共振近似=0并提出積分號之外?？紤]到上式第三個等號右端積分的下限通常滿足-0t/2|a增益損耗線性損耗，近似到二級微擾激光器的全量子理論模型2022/7/315960假設(shè)原子與輻射場在t=t0時刻開始發(fā)生耦合，由原子和輻射場構(gòu)成的系統(tǒng)的密度算符，滿足Schrdinger圖像下的運動方程：10.5.1 場與物質(zhì)密度算符的運動方程其中在Schrdinger圖像下，原子與輻射場構(gòu)成的系統(tǒng)其總Hamiltonian算符滿足(10-2-7,

19、17,18)式，即10-5-22022/7/3161將Schrdinger圖像下的密度算符方程變換到相互作用圖象下的密度算符方程，有其中相互作用圖像下的相互作用能量算符由(10-2-29)給出，即為其中是光場頻率，0=a-b是原子的中心頻率，a和b對應(yīng)原子的上下能級能量。10-5-32022/7/3162對(10-5-3)式兩邊從初始時刻t=t0開始進行關(guān)于時間的積分，便得到以下遞推關(guān)系例如，把上式的第二式代入第一式右邊，得10-5-52022/7/3163這個過程可以重復(fù)進行下去，得到這稱作“微擾級數(shù)展開”，因為只有相互作用能足夠小，相當(dāng)于在系統(tǒng)上附加的一個“微擾”時，展開的無窮級數(shù)才收斂。

20、此種求解方法只適用于微擾情形，故被稱為“微擾方法”。2022/7/3164利用密度算符，可以把力學(xué)量算符的平均值表達如下（其中tr代表求跡運算）10.5.2 輻射場的約化密度矩陣考慮原子輻射場總系統(tǒng)的密度算符，設(shè)場的能量本征態(tài)為|fn，原子的能量本征態(tài)為|am，則體系總能量本征態(tài)為這兩個態(tài)矢的并矢式：|am, fn|am|fn。以|am, fn 為基矢組，則一個只與場相關(guān)的算符平均值為10-5-62022/7/3165其中注意到與場相關(guān)的算符只作用于場的本征態(tài)，因而可以與原子的本征態(tài)互換位置。定義總系統(tǒng)的約化密度算符為10-5-710-5-810-5-92022/7/3166因此，當(dāng)只計算與場

21、相關(guān)的算符平均值時，可以先把總密度算符對原子變量求跡，得到僅與場相關(guān)的約化密度算符，使得計算簡化（形式上跟只有場存在時的計算是一樣的）。若光場和原子兩個系統(tǒng)獨立，則總系統(tǒng)的密度算符，等于兩個系統(tǒng)各自的密度算符之積：此時上述約化密度算符，就等于光場的密度算符。10-5-12022/7/31下面只考慮共振場情形（即=0=a-b）。前面已經(jīng)表明，在二能級原子的能量本征態(tài)|a、|b下，利用上升和下降算符，可把相互作用能表達為（共振時它在相互作用圖像下和在Schrdinger圖像下的表達式是一樣的，下面符號表達上已經(jīng)去掉上標I）10.5.3 總密度算符的求解10-5-102022/7/316768原子的

22、一般狀態(tài)|用它的能量本征態(tài)|a和|b展開為原子的密度算符為2022/7/3169增益原子初始時刻處于上能級，即有|(t0) =|a，因此初始時刻的密度算符為于是初始時刻場與原子整體系統(tǒng)的密度算符為10-5-1110-5-122022/7/3170于是把(10-5-10)和(10-5-12)式代入(10-5-5)式，可以求出各級近似。首先一級近似為10-5-132022/7/3171再把求得的上式繼續(xù)代入(10-5-5)式，可以求出二級近似同理，可以給出三級和四級近似，見書上p.196，方程(10.5.15)和(10.5.16)?？煽闯雠即谓频姆菍窃獮榱?，奇次近似的對角元為零。以上都是在原子

23、能量本征態(tài)下的矩陣表示。10-5-142022/7/3172實例：對于初始時刻t0泵浦到上能級|a的激活原子,假定它的壽命為，即平均來說大約經(jīng)過時間之后，原子躍遷到下能級|b，并發(fā)射一個光子到輻射場中，使得原來的輻射場獲得了增益。由于輻射場的密度算符（對應(yīng)原子輻射場總系統(tǒng)的約化密度算符）描述了光子數(shù)占有概率，因此在時間內(nèi)該密度算符的變化反映了輻射場的增益貢獻。從t=t0到t=t0+時刻，增益使得輻射場密度算符的增量2022/7/3173其中對原子輻射場系統(tǒng)的總密度算符，計算近似到四級（考慮增益飽和非線性），即取于是把上式代入(10-5-17)式，得2022/7/3174最后一式中的 （ t=t

24、0+ ）由書上p.196方程(10.5.16)給出。把書上p.196方程(10.5.13)(10.5.16)代入上式，可得從t=t0到t=t0+時刻，增益使得輻射場密度算符的增量為10-5-1710-5-182022/7/3175反之，對于庫中的損耗原子，它們在初始時刻t0處于下能級|b，即初始時刻原子輻射場系統(tǒng)的總密度算符為考慮損耗原子很多時的非飽和吸收，計算中只取二級線性近似，同理，從t= t0到t= t0 +時刻，損耗原子使得輻射場的密度算符（總系統(tǒng)的約化密度算符）變化為10-5-1910-5-2010-5-212022/7/3176(10-5-17，18)和(10-5-20，21)兩式

25、分別代表了一個增益原子和一個損耗原子所帶來的對輻射場的密度算符（即原子輻射場總系統(tǒng)的約化密度算符）的貢獻10-5-1710-5-1810-5-2010-5-212022/7/317710.5.4 相互作用圖像下約化密度算符的運動方程現(xiàn)在研究存在大量增益原子和損耗原子的情形下該密度算符的運動方程。假設(shè)a和b分別代表單位時間內(nèi)注入到相互作用區(qū)域中的增益原子和損耗原子數(shù)量。由于大量原子的平均作用，可以認為在t0t0+這段時間間隔內(nèi)，場的變化是很小的，從而取近似10-5-22，232022/7/3178令f表示輻射場開始出現(xiàn)明顯變化的時間，則在時間間隔tf內(nèi)，原子輻射場系統(tǒng)的約化密度算符（純輻射場的密

26、度算符）的平均變化率，等于增益原子與損耗原子的貢獻之和將(10-5-17，18)和(10-5-20，21)式代入上式右邊，并且利用(10-5-22)式的近似，可得10-5-242022/7/3179討論：以上計算是基于(1-05-22)式的“粗粒化近似”，即假定在時間間隔t內(nèi)輻射場基本不變化，而輻射場隨時間變化的微分，對應(yīng)它在時間間隔t表示單模輻射場的態(tài)矢，|n (n=0,1,2)表示輻射場的粒子數(shù)本征態(tài)，輻射場的密度算符（原子輻射場系統(tǒng)的約化密度算符）及其在粒子數(shù)表象下的矩陣表示為（為方便計，把下標f去掉）顯然nn代表光場有n個光子的概率10-5-272022/7/3181密度矩陣元隨時間的

27、變化為把(10-5-25)式代入上式右邊，并且利用(10-5-17，18)和(10-5-20，21)，以及10-5-282022/7/3182得到場的密度矩陣元的運動方程(10-5-30)2022/7/3183對角元nn代表輻射場中有n個光子的概率，對上面(10-5-30)式令m=n，得到對角元nn隨時間的變化為以上給出的是微擾近似解。嚴格的解析解，即非微擾的強信號解，前人也已經(jīng)給出，即(10-5-31)2022/7/3184當(dāng)nB/A1時，對(10-5-32)式取近似則(10-5-32)式變成(10-5-31)式。在下一節(jié)中我們將知道，條件nB/A上的幾率變化，它可以重新表達為或(10-5-

28、34)2022/7/3186由于nn代表場處于態(tài)|n上的幾率，(10-5-34)式右邊的正數(shù)項，讓場處于態(tài)|n的幾率增加，表示光場由其他態(tài)向態(tài)|n躍遷的過程；負數(shù)項讓場處于態(tài)|n的幾率減小，表示光場由態(tài)|n向其他態(tài)躍遷的過程 。a和b分別代表單位時間內(nèi)注入的增益原子和損耗原子數(shù)量，由(10-5-26)式知A, Ba, Cb，故含系數(shù)A、B的項跟增益原子數(shù)成正比，含系數(shù)C的項與損耗原子數(shù)成正比。有了這些準備，我們來分析(10-5-34)或(5.23)式右邊各項的物理意義。2022/7/31872022/7/3188系數(shù)A跟單位時間內(nèi)注入的增益原子數(shù)a成正比，(10-5-34)式第1項和第4項表示

29、在場的作用下，增益原子對場的線性增益作用，其中第1項表示處于態(tài)|n-1的光場，由于增益原子受激發(fā)射而躍遷到態(tài)|n，使得場處于態(tài)|n的幾率nn增加(故第1項為正)，此貢獻與場處于初態(tài)|n-1的幾率n-1,n-1成正比，這是因為增益原子受激發(fā)射幾率與外場光子數(shù)成正比；(10-5-34)2022/7/3189第4項表示處于態(tài)|n的光場，由于增益原子受激發(fā)射而躍遷到態(tài)|n+1，使得場處于初態(tài)|n的幾率nn減小(故第4項為負)，此貢獻與場處于初態(tài)|n的幾率nn成正比，這是因為原子受激發(fā)射幾率與外場光子數(shù)成正比。n=0時，第4項不等于零，表示處于真空態(tài)|0的場，由于增益原子自發(fā)發(fā)射而躍遷到態(tài)|1，因此系數(shù)

30、A是與自發(fā)發(fā)射有關(guān)的量。(10-5-34)2022/7/3190系數(shù)B跟A一樣，與增益原子數(shù)a成正比，但是跟含A的線性增益項相反， (10-5-34)式中含系數(shù)B的項是非線性損耗項（跟粒子數(shù)平方成正比），這是由原子增益飽和造成的非線性效應(yīng)。接近增益飽和時，原來處于上能級的增益原子，紛紛躍遷為處于下能級的損耗原子，所以非線性損耗與初始的增益原子數(shù)成正比。故系數(shù)B反映原子的增益飽和性質(zhì)。(10-5-34)2022/7/3191系數(shù)C跟單位時間內(nèi)注入的損耗原子數(shù)b成正比，(10-5-34)式第3項和第6項表示在場的作用下，損耗原子對場的線性損耗作用，其中第3項表示處于態(tài)|n+1的光場，由于損耗原子受

31、激吸收而躍遷到態(tài)|n，使得場處于態(tài)|n的幾率nn增加(故第3項為正)，此貢獻與場處于初態(tài)|n+1的幾率n+1,n+1成正比，這是因為損耗原子受激吸收幾率與外場光子數(shù)成正比；(10-5-34)2022/7/3192第6項表示處于態(tài)|n的光場，由于損耗原子受激吸收而躍遷到態(tài)|n-1，使得場處于態(tài)|n的幾率nn減小(故第6項為負)，此貢獻與場處于初態(tài)|n的幾率nn成正比，這是因為損耗原子受激吸收幾率與外場光子數(shù)成正比。n=0時第6項為0，即處于真空態(tài)|0的光場，其零點能不足以引起損耗原子的“自發(fā)吸收”。(10-5-34)2022/7/3193輻射場的平均光子數(shù)及其隨時間的變化為把(10-5-34)式

32、代入(10-5-36)式右端，并利用(10-5-35)式，可得(10-5-35)(10-5-36)(10-5-37)2022/7/3194在激光器中，當(dāng)泵浦速率超過閾值時，腔內(nèi)光子數(shù)急劇增加，使得遠大于，于是上式可簡化為由于光強In與平均光子數(shù)成正比，上式可與半經(jīng)典理論中得到的單模場運動方程相比較(10-5-38)(10-5-39)2022/7/3195即有可見，(A-C)與線性凈時間增益系數(shù)n對應(yīng)，B與自飽和系數(shù)n對應(yīng)，同時平均光子數(shù)運動方程比單模場運動方程多出一項正常數(shù)項A，使得=0時，腔內(nèi)光子數(shù)仍然可以隨時間增加而增加，即腔內(nèi)輻射場可以從光子數(shù)為零的場建立起來，這是自發(fā)發(fā)射導(dǎo)致的，故常數(shù)

33、A與自發(fā)發(fā)射相關(guān)。因此全量子理論能夠揭示激光器的自激振蕩性質(zhì)。2022/7/319610.6 激光的光子統(tǒng)計本節(jié)將討論激光場在閾值以下和閾值以上時的光子統(tǒng)計規(guī)律，揭示激光振蕩時輻射場從熱輻射場演變?yōu)橄喔奢椛鋱龅倪^程與性質(zhì)型2022/7/3197在穩(wěn)態(tài)振蕩的條件下，nn保持不變：dnn/dt=0(光場的平均光子數(shù)保持不變)，此時場在態(tài)|n-1和|n之間以及在態(tài)|n+1和|n之間的躍遷，分別處于動態(tài)平衡狀態(tài)，從而有(10-6-1)兩個方程其實對應(yīng)同一個方程，它們都是反映光場在兩個相鄰能態(tài)之間的幾率流量為0。從中得到以下遞推關(guān)系從而有(10-6-2)2022/7/3198利用歸一化條件(10-6-3

34、)2022/7/3199有激光光場在穩(wěn)定狀態(tài)下，處于各個光子數(shù)態(tài)|n的幾率不再隨時間變化， (10-6-3)式即為描述此時的激光光場的光子分布的。但要注意，這里只是近似到四級微擾下的解(10-6-4)(10-6-3)2022/7/31100激光振蕩在閾以下時，單位時間內(nèi)注入的增益原子少于損耗原子，即ab，此時遠未達到飽和狀態(tài)，故系數(shù)B=0，且有10.6.1 激光振蕩在閾值以下的情況此時(10-6-3)式變?yōu)橛捎贏/C1，n=0時的幾率00最大，而n時， nn， nn 隨n的變化曲線由圖(10-3)中的實線表示(10-6-5)(10-6-6)2022/7/31101圖(10-3) nn隨n的變化曲線圖實線：閾值以下；點劃線：閾值；虛線：閾值以上nnn2022/7/31102此時(10-6-4)式變?yōu)橛谑?10-6-6)式變?yōu)樯?/p>