1、7.2復數(shù)的四那么運算【知識點梳理】知識點一、復數(shù)的加減運算L復數(shù)的加法、減法運算法那么:設Z=+Z?i, z2 = c +di ( a.b,c.d e 7?),我們規(guī)定:Zj +z2 = (a +bi) + (c +di) = (a + c) + (b + d)iz? - Z =(c ci) + (d Z?)z知識點詮釋：(1)復數(shù)加法中的規(guī)定是實部與實部相加，虛部與虛部相加，減法同樣。很明顯，兩個復數(shù)的和(差)仍然是一個復數(shù)，復數(shù)的加(減)法可以推廣到多個復數(shù)相加(減)的情形.(2)復數(shù)的加減法，可模仿多項式的加減法法那么計算，不必死記公式。2 .復數(shù)的加法運算律：交換律：Z1+Z2=Z2

2、+Z1結合律:(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)知識點二、復數(shù)的加減運算的幾何意義L復數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：z a +bi ( a,b e 7?)幾何表示：坐標表示：在復平面內以點Z3,。)表示復數(shù)2 =a+沅(/尺)；uuu向量表示：以原點o為起點，點zm,)為終點的向量oz表示復數(shù)2=+次.知識點詮釋：UUU復數(shù)Z =4+初 復平面內的點Z(Q,b) 平面向量0Z2.復數(shù)加、減法的幾何意義：UUU UUU如果復數(shù)4、Z2分別對應于向量、0P.,那么以。片、。尸2為兩邊作平行四邊形。尸尸匕，對角線OSUlUlUULUI表示的向量OS就是Z1 +Z2的和所對應的向量.對角線表示的向量

3、尸2Pl就是兩個復數(shù)的差Z -Z2所對應 的向量.UUU UUUIUUU UUUIUULI設復數(shù)Z|=+A, Z2=c+di9在復平面上所對應的向量為。Z1、oz2 ,即。Z1、oz2的坐標形式為。Z1=3，uuuiuuu uuuiuuub), oz2 =(c, o以OZ1、OZ?為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，那么對角線oz對應的向量是oz,此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，訓練了實系數(shù)一元二次方程虛根的求法，考查了復數(shù)模的求法，考查了學生的計算能力，是基礎題.類型四.復數(shù)的幾何意義例21.(2020全國高一課時練習)如下圖，平行四邊形0A3C的頂點。，A,。分別對應復數(shù)0, 3 + 2/,

4、2+4i.求：(1)向量正對應的復數(shù)；(2)向量而對應的復數(shù)；(3)向量礪對應的復數(shù).【詳解】(1)因為而=-厲，所以向量其不對應的復數(shù)為一3 一2i；(2)因為亂=函一無，所以向量至對應的復數(shù)為(3 + 2i) (2+4i) = 5 2i；(3)因為礪=礪+ 3，所以向量礪對應的復數(shù)為(3+2i)+( 2+4i)= 1+6i.例22. (2021 全國高一課時練習)四邊形。4cg是復平面內的平行四邊形，。是原點，點AB分別表示 復數(shù)3 + i,2 + 4i, M是。，43的交點，如下圖，求點C表示的復數(shù).【詳解】因為方，無分別表示復數(shù)3 + i,2 + 4。所以雙= 04+而表示的復數(shù)為(3

5、 + i) +(2 + 4i) = 5+5i,即點。表示的復數(shù)為5 + 5i, 1 5 55 5又。M-OC,所以的表示的復數(shù)為三+力，即點M表示的復數(shù)為三+力22 22 2【點睛】此題考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題例23. (2021 .全國高二課時練習)證明等式z+z2+|zz2=2|z+2|z2，對任意復數(shù)4,z2都成立，并 給出這個等式的一個幾何意義.【詳解】證明：設 4 = a + bi(a,b g R), z2=c + di(c, d e R),那么 4 + z? = (a + c) + (b + d)izl - z2 =(a-c)-h(b- d)i由復數(shù)模的定義可得 Z + z2

6、 +1Z z? = (a+c)2 + (b + d)+ (a + (b d)?=2(片 +/72 +c2 +屋)2|zJ2+2|z2|2 = 2(4 +/) + 2 卜 2 +屋)= 2(/ + +/ +/)222o所以 Z + z? _ + Z _ z? _ = 2 Z 一 + 2 z2 一幾何意義：平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和.【同步練習】一、單項選擇題(2022.上海.復旦附中高二期末)復平面中有動點Z, Z所對應的復數(shù)z滿足|z-3|=|z-i|,那么動點Z的軌跡為()A.直線B.線段C.兩條射線D.圓【答案】A【分析】設出動點Z坐標為(x,y),根據(jù)題意列出方程，求出

7、結果.【詳解】設動點 Z坐標為(,y),那么 z = x+yi,所以 |x+yi-3|=|x+yi-i| ,即(_3了 + V = / +(,_，化簡得： 3工_丁_4 = 0,故動點Z的軌跡為直線.應選：A(2022新疆一模(理)復數(shù)2 = ” + 1，那么目=()A. MB. 272C6D. 2【答案】A【分析】先用復數(shù)運算公式化簡z = jL + i = -l + 3i,進而求解忖.2 1【詳解】= （-i）2+32 =Vio.= （-i）2+32 =Vio.且+ i=* U）、+ i -+ 3i, 2-i（2-i）（2 + i）z應選：A(2022.北京石景山.高三期末)i為虛數(shù)單位，

8、假設(2+i)z = i,那么復數(shù)z在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】先利用復數(shù)的除法化簡，再利用復數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】因為(2+i)z = i , TOC o 1-5 h z - i i(2-i)1 2.Z2+i(2+i)(2-i) - 5 + 51，所以復數(shù)Z在復平面內對應的點位于第一象限，應選：A(2022.廣西柳州.二模(文)假設復數(shù)z滿足z(2-i) = 2i,其中i為虛數(shù)單位，那么忖=()-B.好C. -D.步5555【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的四那么運算化簡可得復數(shù)z ,再根據(jù)模長公式可得解.【詳解】/、2i 2i

9、（2 + i） 2 4由 z（2 i） = 2i,得2 =-z =+ i, ） 1寸 2-i （2 i）（2 + i） 5 5所以5)、2275應選：D.5.(2021 廣西模擬預測(理)假設復數(shù)z滿足z(l + 2i) = 2i-(l + i)3,那么-=()A. 2 + 35 5A. 2 + 35 5B.2 4.15 5D.二二 5 5【答案】A【分析】 根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘方與除法運算法那么化簡復數(shù)z ,即可得到其共輒復數(shù);【詳解】解:由題意可知,z(l + 2i) = 2i-(1 + i)3 =2i-2i(l + i) = 2 ,所以解:由題意可知,z(l + 2i) = 2i-(1

10、+ i)3 =2i-2i(l + i) = 2 ,所以2(1-2i)二=,所55 5 m應選：A.6.(2021山東濟寧市教育科學研究院高三期末)復數(shù)z滿足z.i3=2i，那么三的虛部為()A. 1A. 1C. 2D. 2【答案】B【分析】 根據(jù)復數(shù)的運算法那么，化簡得到z = 2 + i,得出1 = 2-i，結合復數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因為z“3=l 2i，可得z =因為z“3=l 2i，可得z =i3*-1二 (1 2i)i = 2 + i,所以z = 2-i，所以z的虛部為-1 .所以z = 2-i，所以z的虛部為-1 .應選：B.7. (2021 浙江舟山中學高三階段練習)i是虛

11、數(shù)單位，假設復數(shù)Z=2z2=3 + 4i,那么生三二()A. -0.5A. -0.5C. 0.5D. -0.3 + 0.4i【答案】D【分析】 首先求出4和z2的模長，然后利用復數(shù)的除法即可求解.【詳解】3由題意可知，Z=3 + 4i, z2=- + 2i,故|4|= J32+42 =5， |z21=故|4|= J32+42 =5， |z21=(|)2+三，53-(-2i) 所以 z? 一Z2 _ 228=5(2 + 旬=一。,3 +。4,4 -z,5 (3 + 4i) 2-4i (2-4i)(2 + 4i)應選：D.應選：D.8. （2021 .全國.高三專題練習）復數(shù)z對應的點在第二象限，

12、1為z的共規(guī)復數(shù)，有以下關于z的四個命題:甲：z + z = -2; 乙：z-z = 2i；布 , -T1 V3 .內： zz = 4; J z + z =1.2 2如果只有一個假命題，那么該命題是（）A.甲B.乙C.丙D. T【答案】B【分析】設z = a +歷工=a-句，根據(jù)復數(shù)所在象限、復數(shù)加法、減法、乘法和除法，結合“只有一個假命題”進行分析，由此確定正確選項.【詳解】設 z = q + bi, z = q hi ,由于Z對應點在第二象限，所以6/0,z + z = 2a0， z-z- 2b，z-z = +/，z-z = +/，z a + b(4 + 0i)2z a-bi (a-bi)

13、(Q + bi)a2 -b2 + 2ab a2 -b2lab .=1i, cr -b1 lab 5/3. rrJ n -； 7 = , -； 7 =n b = ，3q ,/+/2 /+2由于“只有一個假命題、所以乙是假命題，人的值應為VL應選：B 二、多項選擇題 TOC o 1-5 h z ITIT9.（2021 湖北高二期中）復數(shù)z = cos6 + isin/-7。彳）（其中i為虛數(shù)單位），那么以下說法正確的 22是（）A.復數(shù)z在復平面上對應的點可能落在第四象限|z|=cos8z-z =1z +，為實數(shù) z【答案】ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，結合三角函數(shù)值的范圍判斷A,復數(shù)的模的計

14、算公式判斷B,復數(shù)的乘法判斷C；復數(shù)的加法法與除法，判斷D.【詳解】對于A,因為-所以COS。只能為正數(shù)，sin?？赡転檎龜?shù)或負數(shù)或零 22所以，復數(shù)z在復平面上對應的點（cosasin。）可能落在第四象限，所以A正確；對于 B, z = /cos2 + sin2 = 1,所以 B 不正確；對于 C, z彳=（cos夕 + isin6）（cos8-isin8） = cos2 + sin2 0-.所以 C 正確；對于 D, z + = cos9 + isin，d= cose + isine + cos8-isine = 2cos，為實數(shù)，所以 D 正確；zcos 8 + i sin 8應選：AC

15、D.（2021 .湖北.高一期末）對任意復數(shù)z = x+jd, （xR,y$R）, i為虛數(shù)單位，N是z的共輛復數(shù)，那么以下結論正確的有（）A. z-z=2yB. z2 =| z |2C. zz = X2 4- y2D. | z|x| + | y |【答案】CD【分析】利用復數(shù)的運算性質分析求解即可【詳解】對于 A,由 z = x+yi,得 z-z = (x+ yi)-(x-yi) = 2yi,所以| z-z|=|2y,所以 A 錯誤，對于 B,因為 Z? =(x+yi)2 =x2+2xyi + (yi)2 =(工2一y2)+ 2.，上二 f +,2 ,所以 72。,，所以 B 錯誤，對于 C

16、,因為 z = x+yi,所以 zz = (x+yi).(x-yi) = x2 - (if =/ + ,2 ,所以 C 正確，對于D,因為忖+ y2 +2國3 =國+3,所以D正確，應選：CD11.(2022全國.高三專題練習)設4/2是復數(shù)，那么以下命題中的真命題是()A. |zj -z2| =0,那么=彳2B.假設Z = z?,貝I4 = z2C.假設=，那么Z .吊=Z2mD.假設=卜|,那么z： = z；【答案】ABC【分析】根據(jù)|Z|-Z2|=0,得到4 =Z2,結合共較復數(shù)的定義，可判斷A正確；由共輒復數(shù)的定義與運算，可判定B正確；設4=4+始*2=生+d利用復數(shù)的運算法那么，可判

17、定C正確；令4=1/2 =i,可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由一Z21=。，可得Z|-Z2=0,所以4=Z2，所以Z=Z2，所以A正確；對于B中，由馬=馬，那么4和Z2互為共輾復數(shù)，所以=Z2,所以B正確；對于 C 中，設 Z =4 +bi,Z2 =%+怎(，4，。2也 e R),由引Z21，可得Ja；+b； =Ja；+b；,即4；+6=蠟+醫(yī)，所以ZZ =4 +： =W +； = Z2 9 Z2 f所以ZZ =Z2Z2 ,所以C正確；對于D中,假設4=1*2 =i,那么田=，而z；=l,z；=l,此時z；z；,所以D錯誤.應選：ABC.12. (2021 .全國全國.模擬預測)歐拉公式被稱

18、為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在 復分析領域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復數(shù)指數(shù)函數(shù)相關聯(lián)，即/JcosO + isin。(9gR) .根據(jù)歐拉公式，以下說法正確的選項是（）a.對任意的eR,卜的| = 1B. e%在復平面內對應的點在第二象限C.佇爭的實部為正e 2D./與e-冶互為共規(guī)復數(shù)【答案】ABD【分析】利用復數(shù)的概念、幾何意義、復數(shù)的模的概念及共輒復數(shù)的含義即得.【詳解】對于 A 選項，e1 =| cos 0 + isin01= a/cos2 + sin2 0 = 1, A 正確；對于B選項，e2i=cos2 + isin2,而cos20,故e在復平面內對應的點

19、（cos2,sin2）在第二象限,B正確；對于C選項，=cos + isin =i ,實部為-立，C錯誤；44222對于 D 選項,用 = cos6-isin6，X= cos（-） + isin（-） = cos-isin0 ,故e冶與 e也互為共復數(shù),D正確.應選：ABD.三、填空題（2022上海復旦附中高二期末）化簡：i366 +i384 4.i500 =.【答案】1【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方法那么計算可得.【詳解】解:因為 i2=l，=T，：=1,所以 i366+i334+i500 =i4x92+i4x96+i4xl25=i2+i + i = i故答案為：1（2021 上海靜安一模）假設關于

20、x的實系數(shù)一元二次方程Y-71V+ 3m 8 = 0有兩個共輒虛數(shù)根，那么根的取值范圍是.【答案】（4.8）【分析】根據(jù)關于X的實系數(shù)一元二次方程有兩個共麗虛數(shù)根，由0求解.【詳解】因為關于x的實系數(shù)一元二次方程/g+ 3m-8 = 0有兩個共粗虛數(shù)根，所以 A = （-m）2-4（3m-8） 0 ,即?212z+32v0,即（m-4）（m-8）0,解得4m 2 _ 1: + ，由此即可求出結果. 2。二 一1【詳解】 設2 = +沅(,Z?R),那么三=Q。iUUll UULI ULILIIUUUL UUUI由于OZ =OZ +oz2 =(a/) +(Gd)+c,b+d),所以OZ1和OZ?

21、的和就是與復數(shù)(+c)+S+。對應的向量知識點詮釋：要會運用復數(shù)運算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數(shù)運算去處理知識點三、復數(shù)的乘除運算.乘法運算法那么：設Z=Q+bi, z2 =c +di ( a,b,c,d w R ),我們規(guī)定：Z -z2 = (a +bi)(c +di) = (ac -bd) + (bc +ad)iz a +bi (a +bi)(c 一di)ac +bd . be - ad . IZ2c + di (c+di)(c-山)c2 +d2 c2 +d2知識點詮釋：(1)兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把換成-1,并且把實部與虛局部別合

22、并.兩 個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).(2)在進行復數(shù)除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共飄復數(shù)(分母 實數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式。.乘法運算律：交換律：2103)= 3色卜3(2)結合律：z (z +z )=zz +zz(3)分配律:z (z +z ) = z z +z z【典型例題】類型一、復數(shù)的加減運算例1. (2021海南.三亞華僑學校高二期中)復數(shù)(l-i)-(2 + i) + 3i等于()A. -1 + iB. l-iC. iD. -i【答案】A【詳解】(1i) (2 + i) + 3i = (l 2) + (i-i + 3i) = 1 + i應選：A

23、.例2.(2021嘿龍江大慶中學高三期中(理)設2(z + I) + 3(z 習=4 + 6。那么2=()A. 1-2/B. 1 + 2/C. 1 + z所以|z=a2 +/,z + z = 2a ,即 |z+(z + z)i = (/+) + 2ai工 3T =(3_i)(2-i) =5-5i乂 2 +廣(2 + i)(2-1 5所以所以+ (z + J = U)2 + ia2 +/?2 = 12a = -lb=B2， 所以z = 一22（2021 上海徐匯.高二期末）（1）解方程：x2+|x| =0（xeC）；（2）2 + 3i是方程2/ + 工+ 4 = 0 （應/?）的一個根，求實數(shù)p

24、、【答案】（1） 0,i； （2） = 8闖=26.【分析】（1 ）設X = Q +歷直接代入求解即可.（2）將_2 + 3i代入方程即可求解.【詳解】Y + |x| =0,設 X = Q + bi(6Z,Z? R),片一廿 + 2abi + 址 +/ =。，卜一b2 Ja1 +/ =0即),ah = 0 X,當=0時，/? =當。=0 時，=0；即 x = 0 或 x = i2 + 3i 是方程2/ + x + q =。的一個根, 即 2(2 + 3i) + p(2 + 3i) + q = 0 ,整理可得 H0+（3p_24）i = 0 ,3/7-24 = 0c/-2p-10 = 0解得 =

25、 8 = 26.(2021 .全國.高一專題練習)復數(shù)z滿足忖=啦，z2的虛部是2.(1)求復數(shù)z；(2)設Z、z?、z-z2在復平面上的對應點分別為A、B、C,求AH?的面積.【答案】z = l + i 或 z = 1iaAHC的面積為1【分析】(I)設2=1+w(工/?),由條件可得出關于工、y的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求得復 數(shù)Z ；(2)分z = l + i、z = -1-i兩種情況討論，求出A6C的三個頂點的坐標，利用三角形的面積公式可求得結 果.解：設2 =工+火)，那么 z? =(x+yi)2 =卜2 _/2)+ 2有，fxy = 1由題意可得 22 C，解得x = y

26、=或x = y = _i,x + y2 = 2因此,z = l + i 或 2 = I i；解：當 z = 1 + i 時，z? = 2i，z z? = 1 - i，那么點 A(l,l)、3(0,2)、C(1-1),此時4。=2,故 SABC = 5 X 2 x 1 = 1;當 z = -1i 時，z2 = 2i z z2 = 1 + i 那么 A(T,1)、8(0,-2)、C(1,1),此時|AC|=2 ,故S.Bc = Jx2x1 = 1.綜上所述，ABC的面積為1.21.(2022上海復旦附中高二期末)關于%的方程/2依+ /-4。+ 4 = ()( R)在復數(shù)范圍內的兩根 分別為、夕.

27、(1)假設該方程沒有實根，求實數(shù)的取值范圍；并在復數(shù)范圍內對工2-2改+ /一4 + 4進行因式分解；(2)假設|。| + |/?|=3,求實數(shù)的值.【答案】x - a + 2 J1 - a i) (x - q - 2 Jl - a , i)13(2) Q = 7或彳 22【分析】(1)假設該方程沒有實根，那么/vO,解之即可，由Y 一20 + 一4+ 4 = 0 ,可得(工_。Qjl a.i) =0, 即可在復數(shù)范圍內對必26+ /-4a + 4進行因式分解；(2)分ANO和1vO兩種情況討論，結合韋達定理從而可得出答案.解：假設該方程沒有實根，那么A = 464(/4 + 4)0,解得2由

28、 一20 + -4 + 4 = 0 ,得(工_) =4(_l) =(2jl_q i),月以(工一)- a .i) =0 ,即(x-a + 2川-4 i)(x-a - 2jl - 4 .i) = 0,所以在復數(shù)范圍內對 x2 2ax + 0由韋達定理可知1 0 /c2八，=2)0故a,P都是非負數(shù)，所以|a| + |/|=a + /? = 2a = 3,所以。=,；當/vO,即/3i-6i2 =8 ,z3+3z2+6z4-l = 8 + 3(-2-2V3i) + 6(-14-V3i) + l= 8-6-6gi+-6 + 6&i+l = -3故答案為：3例8. (2021 浙江浙江高一期末)假設復

29、數(shù)4滿足(z2 + i)(l + i) = l-i (i為虛數(shù)單位)，復數(shù)2的虛部為2,且Az?是實數(shù).(1)求Z1的模長；(2)求Z2.【詳解】1(1)(z2 + i)(l + i) = l - i,.Z1=+ 2 i = i + 2 i = 2 2i, 1 + z. Zi| = V4 + 4 = 2/2 ；(2)設Z2= + 2i,那么 4Z2 =(2_2i)(Q + 2i) =(2a + 4)+(4_2a)i,Z|Z2為實數(shù)，.42。= 0,解得：。=2,.、2=2 + 2，.類型三.復數(shù)代數(shù)形式的四那么運算 TOC o 1-5 h z 例9.(2021廣西模擬預測(理)假設復數(shù)z滿足z

30、(l + 2i) = 2i (l + i)3,那么彳=()24242424A. + iB.iC. 十 iD.i55555555【答案】A【詳解】22(1 2i)2-4i 2 4解：由題意可知，z(l + 2i) = 2i (l + i)3=2i 2i(l + i) = 2,所以 z = 丁下=；，所1 + 21 (1 + 21)(1 -21)55 52一 2 4.以 z = I 1 ,5 5應選：A.例10. （2021云南高三期中（理）復數(shù)z滿足（1-i）z = 3-i （i為虛數(shù)單位），那么z的虛部為（A. 1B. iC. -2D. -2i【答案】A【詳解】刀a ，口 3-i(3-i)(l

31、 + i) 4 + 2i n . TOC o 1-5 h z 解：由(1 i)z = 3 i, z = - = -= = 2 + i, l-i 22所以虛部為1.應選：A.例H.(2022新疆一模(文)復數(shù)z = 3 + i,那么目=()+ 1A. 710B. 2V2c. V5D. 2【答案】C【詳解】z = Vl2 + 22 = /5 .z = Vl2 + 22 = /5 .2i .Z=Fl =1 + i應選：C例12. （2021 .福建龍巖.高三期中）復數(shù)z滿足（3 + i）z =（2 + ai）, z = JL 那么正數(shù)”（）A. -2B. -1C. 4D. 2【答案】C【詳解】因為(

32、3 + i)z =(2 + oi),所以 z =因為(3 + i)z =(2 + oi),所以 z =2 +Qi q + 6 3a-23+i11010又因為忖=JL 所以J（誓）2+（篇工）2=行，解得正數(shù)。=4.又因為忖=JL 所以J（誓）2+（篇工）2=行，解得正數(shù)。=4.應選：C 2例13.（2021 .吉林長春市第八中學高一期中）復數(shù)z = 9且i + 2貝1J 2的虛部是（）A. 1A. 1B. iC. 2D.【答案】A【詳解】(l + 2i)2 (3 + 4i)(2 + i) 0 + 5i-z + 2(2-z)(2 + z)=-2 + i,虛部為1,應選:A例14. （2020河北

33、冀州中學高三期末（文）A. -1-1/2 2復數(shù)l-ZC. -i2 2D.【答案】C【詳解】=1,z3= Z,產=1,所以所以i2 + Z4 -i_j(l + z) I I . - 口 一 2- 2-2Z應選:例15.（2021 .山東鄒城高一期中）設復數(shù)1. 202ll-l,其中i是虛數(shù)單位，那么z的虛部是【答案】-1【答案】-1【詳解】O-O2-2i l + i-(l + i)(l-i)-l2-i2/ .2021 =(T/ .2021 =(T2021-4x505+1z的虛部是I.z的虛部是I.例16. (2021 .上海復旦附中高二期末)i為虛數(shù)單位，z = cz +初(力/?)且z-!是

34、純虛數(shù), Z(1)求|z-2|的取值范圍；1-Z1(2)假設 QWO, u=-, U=z + ,求 4u 42 的最小值.1 + zZ【詳解】i 1,.1a仆b(I ) z = a + bi= a ； - + b H； i ,za + bi+ /r I + /r J因為z-J為純虛數(shù)， zah所以7T = 0且7T,0,a -rb礦+Zr所以 a = OSwO)或/+/?2=1000),當 4 = O(Z?wO)時，z-2 = bi-2 - J/2 +4 (2, +oo),當 42+/72=1Qw0)時，z-2 = J(-2+/ = 5-4。, Q(-l,l),所以 |z 2|c(l,3),綜

35、上：z-2 G (1,4-00).(2)由(1) a = O0wO)或=ipwo),又wO,所以+=, tze(-l,O)2Vf6-9 = -l, Q + 1當且僅當時，等號成立, 所以4u 2的最小值為一1.類型四、復數(shù)方程7例17. （2021 .江蘇.揚州中學高二期中）z是復數(shù)，2i和1都是實數(shù).1-1（1）求復數(shù)z；（2）設關于的方程f+x（l + z）-（32-l）i =。有實根，求純虛數(shù)加.【詳解】（1）設 Z =。+ 齒（。,8 R）, z 2i = 一 Ai 2i = 一 (Z? + 2)i w R ,所以一(+ 2) = 0, b = -2,z a + hi (fz + /?i)(l + i) a