1、矩陣的相似變換 特征值與特征向量 二 特征值與特征向量的性質(zhì) 三 相似矩陣的相關(guān)概念 四 對稱矩陣的對角化1一 特征值與特征向量1.1 定義 設(shè)A是一個n階的方陣，若對數(shù) ，存在非零n維向量x，使Ax= x成立，則稱是A的特征值，x是A的屬于 的特征向量。注1 特征值問題是對于方陣而言的。 注2 特征向量必須是非零向量 1.2 特征值與特征向量的求法（1）若A= 為具體矩陣(即具體給出)求解步驟為：x 2第一步：求出方程 的所有根 ，即為 A的全部特征值第二步：對每個不同的 ，解其次方程組(A =0，求出一個基礎(chǔ)解系 即為A的屬于 的線形無關(guān)特征向量。 則為A的屬于 的全部特征向量。注1 稱

2、為A的特征多項式，其為 的n次多項式。 稱為A的特征方程，其在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有n個根（包括重根 ）3所以n階方陣總共有n個特征值，特征值 的重數(shù)稱為的代數(shù)重數(shù)，記做 注2 方程組 的解空間 稱為A的屬于 的特征子空間，而把 dim 稱為 的幾何重數(shù)，記作注3 特征值 的幾何重數(shù) 與代數(shù)重數(shù) 滿足1.3 設(shè)A為n階方陣，A的n個特征值 對應(yīng)的特征向量為 又設(shè)f( )為一多項式，則 f (A )的特征值為f( ), i = 1,2,3.n 且 所對應(yīng)的特征向量 xi 也同 時為f( )所對應(yīng)的特征向量。 4典型例題分析 1）特征值于特征向量的計算 例1 求A= 的全部特征值和對應(yīng)的特征向量 所以A的全

3、部特征值為 5 當(dāng)可知所以 就可寫成令 的基礎(chǔ)解 系 就是矩陣A對應(yīng)于 的特征向量，全部特征向量為當(dāng) 時 所以 可寫 6如下形式 取 得取 得 均為A的二重特征值 的特征向量，全部特征向量為 其中 不全為零 7二特征值與特征向量的性質(zhì)2.1 設(shè) 是方陣A的互不相同的特征值， 是分別與之對應(yīng)的特征向量 ， 則 線性無關(guān) 2.2 屬于同一特征值 的特征向量的任意非零組合 仍是屬于 的特征向量 2.3 設(shè)n階方陣A的n 個特征值為 ，則 8注1 若 是A的分別屬于特征值 的特征向量， ，則 不是A 的特征向量注2 若 ，u 分別是A，B的特征值，則 未必是A+B的特征值 ， 也未必是 AB的特征值

4、注3 A 與 有相同的特征值，但特征向量 未必相同注4 正交陣A的特征值只能是1或-1 9三 相似矩陣的相關(guān)概念3.1 定義：設(shè)A、B都是n階方陣，若存在n階可逆矩 陣P，使 ，則稱A相似與B。3.2 基本性質(zhì) 自反性：A與A相似； 對稱性：A相似與B，則B也相似與A； 傳遞性：A相似與B，B 相似與C，則A相似與 C 3.3 相似矩陣的性質(zhì) 10若 ，即A相似與B，則（1）(3)( 2 ) (4) 從而A與B有相同的特征值 (5) 。11四 對稱矩陣的對角化4.1 n階矩陣A可對角化的條件 (1) A可對角化的充要條件是A有n個線 性無關(guān)的特征向量 （2）若A有n個互不相等的特征值，則A 可對角化 注 這是充分而非必要條件 （3）A可對角化的條件是對A的任一特 征值，有124.2對角化的方法 （1） 求出A的所有的特征值 其 中互不相等的特征值為 (r1）重特征根 ，將求出的的基礎(chǔ)解系正交化,這樣合并后得到