1、垂直于弦的直徑一、選擇題1.如圖，AB是O的直徑，CD為弦，CDAB于點E，則下列結論中不成立的是()A.COEDOE B.CEDEC.OEBE D.eq o(BD,sup8()eq o(BC,sup8()2.如圖，在半徑為5的O中，弦AB6，OPAB，垂足為P，則OP的長為()A.3 B.2.5 C.4 D.3.53.2020濱州如圖，在O中，直徑AB15，弦DEAB于點C.若OCOB35，則DE的長為()A.6 B.9 C.12 D.154.2020廣州往直徑為52 cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB48 cm，則水的最大深度為()A.8 cm B.10 cm C

2、.16 cm D.20 cm5.如圖，著名水鄉(xiāng)烏鎮(zhèn)的一圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，水面寬AB為8 m，則拱橋的半徑OC為()A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m6.P為O內(nèi)一點，若過點P的最長的弦為8 cm，最短的弦為4 cm，則OP的長為()A.2 eq r(3) cm B.eq r(3) cm C.3 cm D.2 cm7.如圖，在半徑為5的O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且ABCD8，則OP的長為()A.3 B.4 C.3 eq r(2) D.4 eq r(2)8.如圖，在O內(nèi)有折線OABC，其中OA8，AB12，AB60，則BC的長為()A.19 B.

3、16 C.18 D.20二、填空題9.如圖，AB為O的直徑，CDAB.若AB10，CD8，則圓心O到弦CD的距離為_.10.2020湖州如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CDAB，CD8，AB10，則CD與AB之間的距離是_.11.如圖，A，B是O上的兩點，AB10，P是O上的動點(點P與A，B兩點不重合)，連接AP，PB，過點O分別作OEAP于點E，OFPB于點F，則EF_.12.2019嘉興如圖，在O中，弦AB1，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CDOC交O于點D，則CD的最大值為_.13.如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm，一場大雨過后，水面寬為

4、80 cm，則水位上升_cm.14.如圖，半徑為5的P與y軸交于點M(0，4)，N(0，10)，則圓心P的坐標為_.三、解答題15.已知：如圖所示，PAC30，在射線AC上順次截取AD3 cm，DB10 cm，以DB為直徑作O交射線AP于E，F(xiàn)兩點，求圓心O到AP的距離及EF的長.16.已知：如圖，在O中，M，N分別為弦AB，CD的中點，ABCD，AB不平行于CD.求證：AMNCNM.1.分類討論思想在RtABC中，C90，BC3，AC4，點P在以點C為圓心，5為半徑的圓上，連接PA，PB.若PB4，則PA的長為_.2.建模思想如圖為一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB80米，橋拱到水面的最

5、大高度為20米.(1)求橋拱的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬60米，船艙頂部為矩形并高出水面9米的輪船要經(jīng)過這里，這艘輪船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由.答案1.C2.C3.C4.C 如圖,過點O作OCAB于點D,交O于點C,連接OA.由題意,得OAOC26 cm,ADeq f(1,2)AB24 cm.在RtAOD中,由勾股定理可得OD10 cm,所以水深CDOCOD261016(cm).因此本題選C.5.B 如圖,連接OB.由題意可得ADBD4 m.設O的半徑OCOBx m,則OD(8x)m.在RtBOD中,由勾股定理,得x2(8x)242,解得x5.故拱橋的半徑OC為5 m.6.A 設O中過點P

6、的最長的弦為AB,最短的弦為CD,如圖所示,則CDAB于點P.根據(jù)題意,得AB8 cm,CD4 cm,OCeq f(1,2)AB4 cm.CDAB,CPeq f(1,2)CD2 cm.在RtOCP中,根據(jù)勾股定理,得OPeq r(OC2CP2)eq r(4222)2 eq r(3)(cm).7.C 如圖,過點O作OEAB,OFCD,垂足分別為E,F,連接AO.OEAB,AEeq f(1,2)AB4.在RtOAE中,OA5,由勾股定理可得OE3,同理得OF3.又ABCD,四邊形OEPF是正方形,PEOE3.在RtOPE中,由勾股定理可得OP3 eq r(2).8.D 如圖,延長AO交BC于點D,

7、過點O作OEBC于點E.AB60,DAB是等邊三角形,ADDBAB12,ADBA60,ODADOA1284.在RtODE中,DOE90ADB30,DEeq f(1,2)OD2,BEDBDE12210.由垂徑定理,知BC2BE20.9.310.3 過點O作OHCD于點H,連接OC,如圖,則CHDHeq f(1,2)CD4,OCeq f(1,2)AB5.在RtOCH中,OHeq r(OC2CH2)eq r(,5242)3,所以CD與AB之間的距離是3.11.5 OE過圓心且與AP垂直,PEEA.同理PFFB,EF是PAB的中位線,EFeq f(1,2)AB5.12.eq f(1,2) 連接OD.因

8、為CDOC,所以CDeq r(OD2OC2),根據(jù)題意可知圓的半徑一定,故當OC最小時CD最大,故當OCAB時CD最大,此時CDeq f(1,2)ABeq f(1,2).13.10或70 對于半徑為50 cm的圓而言,圓心到長為60 cm的弦的距離為40 cm,到長為80 cm的弦的距離為30 cm.當圓心在兩平行弦之外時,兩弦間的距離403010(cm);當圓心在兩平行弦之間時,兩弦間的距離403070(cm).綜上所述,水位上升10 cm或70 cm.14.(4,7) 過點P作PHMN于點H,連接PM,則MHeq f(1,2)MN3,OHOMMH7.由勾股定理,得PH4,圓心P的坐標為(4

9、,7).15.解： 如圖,過點O作OGAP于點G,連接OF.DB10 cm,ODOF5 cm,AOADOD358(cm).PAC30,OGeq f(1,2)AOeq f(1,2)84(cm).OGEF,EGGFeq f(1,2)EF.GFeq r(OF2OG2)eq r(5242)3(cm),EF2GF6 cm,圓心O到AP的距離為4 cm,EF的長為6 cm.16.證明：連接OM,ON,OA,OC,如圖所示.M,N分別為AB,CD的中點,OMAB,ONCD,AMeq f(1,2)AB,CNeq f(1,2)CD,AMOCNO90.又ABCD,AMCN.在RtAOM和RtCON中,eq blc

10、(avs4alco1(OAOC，,AMCN，)RtAOMRtCON(HL),OMON,OMNONM,AMOOMNCNOONM,即AMNCNM.素養(yǎng)提升1.3或eq r(73) 如圖,連接CP,PB的延長線交C于點P.PC5,BC3,PB4,BC2PB2PC2,CPB為直角三角形,且CBP90,即CBPB,PBPB4.ACB90,PBAC.又PBAC4,四邊形ACBP為平行四邊形.又ACB90,ACBP為矩形,PABC3.在RtAPP中,PA3,PP2BP8,PAeq r(8232)eq r(73).綜上所述,PA的長為3或eq r(73).2.解：(1)如圖,設點E是橋拱所在圓的圓心,連接AE,過點E作EFAB于點F,延長EF交eq o(AB,sup8()于點D.根據(jù)垂徑定理知F是AB的中點,D是eq o(AB,sup8()的中點,DF的長是橋拱到水面的最大高度,AFFBeq f(1,2)AB40米,EFDEDFAEDF.由勾股定理,知AE2AF2EF2AF2(AEDF)2.設橋拱的半徑為r米,則r2402(r20