1、第4講 慣性導(dǎo)航基礎(chǔ)概念21、常用坐標系2、坐標系的旋轉(zhuǎn)3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換主要內(nèi)容1、常用坐標系（1） 坐標系。 在研究慣性導(dǎo)航問題時，為了準確地描述載體的動力學(xué)運動關(guān)系，常常要涉及到多種具體的坐標系。坐標系：慣性坐標系與非慣性坐標系。慣性坐標系：太陽中心慣性坐標系和地心慣性坐標系非慣性坐標系：地球坐標系、地理坐標系、導(dǎo)航坐標系、載體坐標系等。 慣性坐標系是描述慣性空間的一種坐標系，在慣性坐標系中，牛頓定律所描述的力與運動之間的關(guān)系是完全成立的。兩個常見的慣性坐標系：太陽中心慣性坐標系和地心慣性坐標系。太陽中心慣性坐標系地心慣性坐標系地心慣性系坐標不隨地球旋轉(zhuǎn)1、常用坐標系（2）慣性坐標系（

2、i系inertial）。 地心慣性坐標系：地心慣性坐標系 的定義為: X軸指向春分點; Z軸指向天球北極; Y軸與其它兩軸構(gòu)成右手坐標系。地心慣性系坐標不隨地球旋轉(zhuǎn)慣性坐標系是慣性敏感元件測量的基準1、常用坐標系。 坐標原點位于橢球中心，Ze軸為參考橢球的短軸，Xe、Ye軸位于地球赤道平面，Xe指向零子午線，Ye軸與Xe軸垂直，構(gòu)成右手直角坐標系。地球坐標系與地球固聯(lián)隨地球旋轉(zhuǎn)1、常用坐標系（3）確定載體相對地球位置的坐標系 - 地球坐標系（簡稱e系）。 大地坐標系是用大地經(jīng)度、大地緯度L（慣性導(dǎo)航中使用的是地理緯度） 和大地高H表示地面點位的。P0 為 P點在參考橢球面上的投影點。P點到P0

3、點的高度為H，可正可負。不論是使用地球坐標系還是使用大地坐標系，都是以某種參考橢球為基準。參考橢球不同，地球上的同一點在不同大地坐標系下的經(jīng)緯度或在地球坐標系的坐標可能是不同的。1、常用坐標系（4）確定載體相對地球位置的坐標系 - 大地坐標系（經(jīng)緯高）。 地理坐標系的原點就是載體所在點，Zt軸沿當?shù)貐⒖紮E球的法線指向天頂，Xt軸與Yt軸均與Zt軸垂直，即在當?shù)厮矫鎯?nèi)，Xt軸沿當?shù)鼐暥染€指向正東，Yt軸沿當?shù)刈游缇€指向正北，按照這樣的定義，地理坐標系的Zt軸與地球赤道平面的夾角就是當?shù)氐乩砭暥?，Zt軸與Yt軸構(gòu)成的平面就是當?shù)刈游缑妗t軸與Xt軸構(gòu)成的平面就是當?shù)孛厦?。Xt軸與Yt軸構(gòu)成的

4、平面就是當?shù)厮矫妗?、常用坐標系（5）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 -地理坐標系（簡稱t系）。 地理坐標系的這種選擇我們稱為東北天坐標系，表示為ENU，此外，還可以選擇北天東、北西天、北東地等。1、常用坐標系。 當載體在地球表面運動時，載體相對地球的位置不斷發(fā)生變化，而地球上不同地點的地理坐標系相對地球的角位置是不同的。也就是說，載體的運動將引起地理坐標系相對地球坐標系轉(zhuǎn)動。如果考察地理坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度，應(yīng)當考慮兩種因素:一是地理坐標系隨載體運動時相對地球坐標系的轉(zhuǎn)動角速度;二是地球坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度。1、常用坐標系假設(shè)載體沿水平面航行(如艦船)，所在地

5、點的緯度為L，航速為v，航向為。將航速分解為沿地理坐標系北東兩個分量:航速的東向分量ve引起地理坐標系繞著極軸相對地球轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動角速度為航速的北向分量vn引起地理坐標系繞著平行于地理東西方向的地心軸相對地球轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動角速度為 。1、常用坐標系地球坐標系相對慣性參照系的轉(zhuǎn)動是由地球自轉(zhuǎn)引起的。把地球自轉(zhuǎn)角速度平移到地理坐標系的原點，并投影到地理坐標系的各軸上，可得:將角速度 和 平移到地理坐標系坐標原點，并投影到坐標系各軸上，得到t系相對e系的轉(zhuǎn)動角速度在t系下的三個坐標分量1、常用坐標系綜合考慮地球自轉(zhuǎn)和載體的航行影響，地理坐標系相對慣性參考系的轉(zhuǎn)動角速度在地理坐標系各軸上的投影表達式為如

6、果考慮載體航行高度為h，則上述公式的半徑需加上高度1、常用坐標系慣性坐標系、地球坐標系和當?shù)氐乩碜鴺讼凳疽鈭D 1、常用坐標系載體坐標系原點一般定于載體的質(zhì)心上，而坐標軸方向則有多種定義方式。a.如圖（船）：前向為x軸，右舷方向為y軸，向下為z軸，構(gòu)成右手系。b.如圖(飛機)：前向為y軸，右機翼方向為x軸，向上為z軸，構(gòu)成右手系。還有其他的定義方式1、常用坐標系（6）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 載體坐標系（簡稱b系）1、常用坐標系O為彈體質(zhì)心，x軸為彈體縱軸， y軸垂直彈翼平面， z軸由右手規(guī)則確定。在獲知當?shù)氐乩碜鴺讼档臏蚀_指向的話，根據(jù)體坐標系與地理坐標系的角度關(guān)系就可以確定載體的

7、姿態(tài)角，即航向角yaw、滾動（橫搖）角roll和俯仰（縱搖）角pitch 。載體坐標系和彈體坐標系都屬于體坐標系，簡稱b系。1、常用坐標系（7）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 彈體坐標系（簡稱b系） 在平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，描述平臺式慣導(dǎo)系統(tǒng)中平臺指向的坐標系，它與慣導(dǎo)平臺固連。如果平臺無誤差，指向正確，則這樣的平臺坐標系稱為理想平臺坐標系。 三個軸的方向要與慣性敏感器的敏感軸方向平行。1、常用坐標系（8）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 平臺坐標系（簡稱p系） 導(dǎo)航坐標系是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)求解導(dǎo)航參數(shù)時所采用的坐標系。 原則上講，上述坐標系均可作為導(dǎo)航坐標系。 比如，選當?shù)氐乩碜鴺讼底?/p>

8、為導(dǎo)航坐標系：O為載體質(zhì)心與地心連線在地球表面的交點，N為地理真北，U為地心 和O點連線向上為正，E為地理東。簡記為n系。1、常用坐標系（9）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 導(dǎo)航坐標系（簡稱n系）載體相對地球的運動會使坐標系相對地球坐標系轉(zhuǎn)動，它包括兩部分：（1）導(dǎo)航坐標系相對地球坐標系的轉(zhuǎn)動角速度；（2）地球坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度。1、常用坐標系 由于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)只能根據(jù)系統(tǒng)本身計算獲得的載體位置來描述導(dǎo)航坐標系，該坐標系必然存在著誤差，有時為了與理想的導(dǎo)航坐標系相區(qū)別，將這種根據(jù)慣導(dǎo)本身計算出的、由載體位置確定的導(dǎo)航坐標系稱作計算坐標系，在分析慣導(dǎo)誤差時要用到這種坐標系。1

9、、常用坐標系（10）與載體位置或慣導(dǎo)系統(tǒng)本身有關(guān)的坐標系 計算坐標系（簡稱c系） 經(jīng)常需要將一個坐標系變換到另一個坐標系。正交坐標系與非正交坐標系之間或兩個正交坐標系之間都可進行變換。（1）用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置（2）用歐拉角描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置（3）用四元數(shù)描述定點轉(zhuǎn)動剛體2、坐標系的旋轉(zhuǎn) 確定定點轉(zhuǎn)動剛體在空間的角位置，需要引入兩套坐標系。 一套坐標系代表所選定的參考空間，如慣性空間、當?shù)厮街副被?、儀器的基座等，這里統(tǒng)稱為參考坐標系。 另一套坐標系代表被研究的轉(zhuǎn)動剛體，如陀螺轉(zhuǎn)子，框架、平臺臺體等，這里統(tǒng)稱為剛體坐標系。因僅考慮角運動關(guān)系，故使這兩套坐標系的原點重合。2

10、、坐標系的旋轉(zhuǎn)（1）用方向余弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置取原點相同而方向不同的新坐標系（體坐標系），其正交單位矢量為 ，則 在新坐標系下XYYXZ取參考坐標系單位矢量為 ，則過原點的矢量 表示為由于 為 在 上投影2、坐標系的旋轉(zhuǎn)方程中的 等為變換系數(shù)，是方向余弦，即或兩個單位矢量夾角的余弦2、坐標系的旋轉(zhuǎn)要確定體坐標系在參考坐標系中的角位置，只需知道體坐標系三根軸 的九個方向余弦就行了。表示0系對1系的方向余弦矩陣表示1系對0系的方向余弦矩陣2、坐標系的旋轉(zhuǎn)方向余弦矩陣是正交矩陣，具有以下性質(zhì)：兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣:兩個方向余弦矩陣互為可逆矩陣:方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置陣與可逆陣相等:因而可

11、以得到矩陣等式：2、坐標系的旋轉(zhuǎn) 根據(jù)歐拉法，剛體坐標系相對參考坐標系的角位置，可以用三次獨立轉(zhuǎn)動的三個轉(zhuǎn)角來確定，這三個獨立的角度稱為歐拉角。 陀螺轉(zhuǎn)子、平臺臺體和運載體(飛機、導(dǎo)彈、艦船、航天器)在空間的角位置，就是用歐拉角來描述的。2、坐標系的旋轉(zhuǎn)（2）用歐拉角弦描述定點轉(zhuǎn)動剛體的角位置XYZ坐標系繞Z軸右手旋轉(zhuǎn)（繞Z軸正向）一個角度。XYYXZZ2、坐標系的旋轉(zhuǎn)2、坐標系的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矩陣2、坐標系的旋轉(zhuǎn)2、坐標系的旋轉(zhuǎn)假定在起始時體坐標系Oxbybzb與參考坐標系OXYZ（簡稱0系）重合，通過三次轉(zhuǎn)動后它處于圖中所示位置：第一次轉(zhuǎn)動是繞OZ軸的正向轉(zhuǎn)過 角到達OX1Y1Z（簡稱1系）位置

12、；第二次轉(zhuǎn)動是繞OY1軸的正向轉(zhuǎn)過角到達OxbY1Z1（簡稱2系）位置；第三次轉(zhuǎn)動是繞xb軸的正向轉(zhuǎn)過角到達Oxbybzb（簡稱3系）位置。2、坐標系的旋轉(zhuǎn)0系到1系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為2、坐標系的旋轉(zhuǎn)2、坐標系的旋轉(zhuǎn)1系到2系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為2系到3系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為2、坐標系的旋轉(zhuǎn)由上可知，對于定點轉(zhuǎn)動的剛體，只要給定一組歐拉角，就能唯一確定剛體坐標系三根軸的九個方向余弦，從而唯一地確定剛體在空間的角位置。2、坐標系的旋轉(zhuǎn)0系到3系的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系為1）R()為正交矩陣，即R() RT()=I2） R-1()= R(-)3）坐標轉(zhuǎn)換矩陣不能交換，多次轉(zhuǎn)動，幾個轉(zhuǎn)換矩陣的積應(yīng)從右至左完成，若旋轉(zhuǎn)角

13、全部很小時旋轉(zhuǎn)矩陣可交換；4）正旋轉(zhuǎn)的逆變換是負旋轉(zhuǎn)2、坐標系的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角的方向（遵循下面規(guī)定時為正）： 右手軸系：當繞X軸旋轉(zhuǎn)時，從X軸正端向原點O看，Y軸按反（逆）時針方向轉(zhuǎn)向Z軸；當繞Y軸旋轉(zhuǎn)時，從Y軸正端向原點O看，Z軸按反（逆）時針方向轉(zhuǎn)向X軸；當繞Z軸旋轉(zhuǎn)時，從Z軸正端向原點O看，X軸按反（逆）時針方向轉(zhuǎn)向Y軸；2、坐標系的旋轉(zhuǎn)從i到e坐標系的旋轉(zhuǎn)，是繞Z軸轉(zhuǎn)過角度iet的簡單旋轉(zhuǎn)，式中t為從導(dǎo)航開始的時間。即3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換（1）地心慣性坐標系i與地球坐標系e的關(guān)系得到 ，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為 地球坐標系系沿Z軸旋轉(zhuǎn) 設(shè)g系定義為北天東坐標系，記為OgXNYUZE，e系到g系的旋

14、轉(zhuǎn)順序為：3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換（2）當?shù)氐乩碜鴺讼礸與地球坐標系e的關(guān)系 再沿 系的 軸旋轉(zhuǎn) ，得到 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為 3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換 再沿 系的 軸旋轉(zhuǎn) ，得到 ，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為 3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換經(jīng)過三次轉(zhuǎn)動后，e系到g系的轉(zhuǎn)換矩陣表示為或3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換用 表示轉(zhuǎn)換矩陣的元素（i=1，2，3；j=1，2，3），則 確定地理坐標系和地球坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，實際上就是確定載體的位置，所以， 也叫作位置矩陣。3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換導(dǎo)航坐標系沿Z軸旋轉(zhuǎn) ，得到 ，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為注意： 與 、 處于同一平面 、 、 、 處于同一平面3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換（2）體坐

15、標系b與n系的關(guān)系注意： 與 、 、 處于同一平面 、 、 處于同一平面導(dǎo)航坐標系沿 軸旋轉(zhuǎn) ，得到 ，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換注意： 與 、 、 處于同一平面3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換導(dǎo)航坐標系沿 軸旋轉(zhuǎn) ，得到 ，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為經(jīng)過三次轉(zhuǎn)動后，導(dǎo)航坐標系到體坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣表示為或一定要注意旋轉(zhuǎn)矩陣乘積的順序3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換通常稱為姿態(tài)角通常稱為航向角確定地理坐標系和地球坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣 ，實際上就是確定載體的姿態(tài)和航向角，所以， 也叫作姿態(tài)矩陣。3、不同坐標系的轉(zhuǎn)換 在導(dǎo)航計算機中，經(jīng)常需要將經(jīng)緯度高坐標轉(zhuǎn)換為空間直角坐標或空間直角坐標轉(zhuǎn)換為經(jīng)緯度高坐標。比如，經(jīng)緯度高轉(zhuǎn)換為地球坐標系。地球坐標系與經(jīng)緯