1、2021-2022學(xué)年廣東省廣州市三校聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1若集合，則（）ABCDD【分析】根據(jù)已知條件求出集合，再利用并集的定義即可求解.【詳解】由題意可知，又，所以故選：D2設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A1B0C1D2C【分析】由復(fù)數(shù)乘法法則化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再由復(fù)數(shù)的分類求解【詳解】，它是實(shí)數(shù)，則，故選：C3已知，則的值為（）ABCDC【分析】首先將轉(zhuǎn)化為，再將未知角向已知角轉(zhuǎn)化，根據(jù)倍角公式求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.4在中，若，則（）ABCDA【分析】已知三角形中兩角和其中一角的對邊，可以用正弦定理求另一角的對邊.【詳解】在中，由

2、正弦定理得，即，解得.故選：A.5設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則C【分析】利用線面垂直的判定性質(zhì)、面面垂直的判定推理判斷A，B；舉例說明判斷C；利用線面垂直的判定性質(zhì)判斷D作答.【詳解】對于A，因，當(dāng)時(shí)，而，則，當(dāng)時(shí)，在直線上取點(diǎn)，過作直線，則，過直線的平面，如圖，由得，于是得，而，則，而，所以，A正確；對于B，若，則，又，則存在過直線的平面，使得，則有直線，即有，所以，B正確；對于C，如圖，在長方體中，平面為平面，直線為直線，平面為平面，直線為直線，滿足，而，C不正確；對于D，若，則，又，于是得，D正確.故選：C6銳角中，內(nèi)

3、角ABC的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則b的取值范圍為（）ABCDA【分析】根據(jù)即可得出，從而求出，然后即可得出，根據(jù)為銳角即可得出，然后根據(jù)正弦定理可得出，從而可求出的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，若為銳角三角形，則，所以，故選：A.7已知實(shí)數(shù)，且，則（）ABCDB【分析】對，利用換底公式等價(jià)變形，得，結(jié)合的單調(diào)性判斷，同理利用換底公式得，即，再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，結(jié)合單調(diào)性， ，繼而得解.【詳解】由，變形可知，利用換底公式等價(jià)變形，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，即，排除C，D；其次，因?yàn)?，得，即，同樣利用的單調(diào)性知，又因?yàn)椋?，即，所?故選：B.8如圖（1）所示，已知球的體積

4、為，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示則在圖（1）所示的幾何體中，下列結(jié)論中正確的是（）ACD與BE是異面直線B異面直線AB與CD所成角的大小為45C由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面面積為D球面上的點(diǎn)到底座底面DEF的最大距離為C【分析】取中點(diǎn)N，M，利用給定條件證明，推理判斷A，B；求出外接圓半徑，結(jié)合球面截面圓性質(zhì)計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】取中點(diǎn)N，M，連接，如圖，因?yàn)檎切?，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，因此，四邊形是平行四邊形，有，則直線CD與BE在同一平面內(nèi)，A不正確；由選項(xiàng)A，同理可

5、得，則異面直線AB與CD所成角等于直線DF與CD所成角，B不正確；由選項(xiàng)A知，同理可得，正外接圓半徑，由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面圓是的外接圓，此截面面積為，C正確；體積為的球半徑，由得，由選項(xiàng)C知，球心到平面的距離，由選項(xiàng)A，同理可得點(diǎn)A到平面的距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點(diǎn)到底座底面DEF的最大距離為，D不正確.故選：C二、多選題9某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說法中正確的是（）A男

6、生樣本容量為30B每個(gè)女生被抽入到樣本的概率均為C所有樣本的均值為166D所有樣本的方差為46.2ACD【分析】分層抽樣等比例性質(zhì)求男女生樣本容量，再由古典概型的概率求每個(gè)女生被抽入到樣本的概率判斷A、B；利用均值、方差公式，結(jié)合男、女的樣本的均值和方差求樣本總體均值方差判斷C、D.【詳解】A：由人，正確；B：由人，故每個(gè)女生被抽入到樣本的概率為，錯(cuò)誤；C：所有樣本的均值為，正確；D：男生方差，女生方差，所有樣本的方差，正確.故選：ACD102020年前8個(gè)月各月社會消費(fèi)品的零售總額增速如圖所示，則下列說法正確的有（）A受疫情影響，12月份社會消費(fèi)品的零售總額明顯下降B社會消費(fèi)品的零售總額前期

7、增長較快，后期增長放緩C與6月份相比，7月份社會消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度有所擴(kuò)大D與4月份相比，5月份社會消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速回升幅度有所擴(kuò)大AB【分析】根據(jù)圖象和圖中的數(shù)據(jù)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對于選項(xiàng)A：由圖可知，12月份社會消費(fèi)品的零售總額名義增速和實(shí)際增速都小于0，所以12月份社會消費(fèi)品的零售總額明顯下降，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：由圖可知，社會消費(fèi)品的零售總額前期增長較快，后期增長較緩，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：由圖可知，6月份社會消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，7月份社會消費(fèi)品的零售總額名義增速回升幅度為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由圖可知，4月份社會消費(fèi)品的

8、零售總額實(shí)際增速間升幅度為，5月份社會消費(fèi)品的零售總額實(shí)際增速回升幅度為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11如圖，在菱形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將ABM沿直線AM翻折成，連接和，N為的中點(diǎn)，則（）A平面平面AMCDB線段CN的長為定值C當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為D二面角的最大值為30ABD【分析】對于A，由已知可得ABC為等邊三角形，則，由翻折性質(zhì)知，平面，再由面面垂直的判定可得結(jié)論，對于B，取AD中點(diǎn)E，由三角形中位線定理可得，由等角定理得，然后在NEC中由余弦定理可求出CN長，對于C，由題意可知將三棱錐的頂點(diǎn)放置在長寬高分別為2，1的長方體的頂點(diǎn)處，從而可求出其外接球

9、的半徑，進(jìn)而可求出球的表面積，對于D，過作，垂足為F，過F作，垂足為D，可和即為二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，取得最大值1，從而可求出其角度【詳解】對于A，如圖所示，在菱形ABCD中，所以ABC為等邊三角形，又M是BC的中點(diǎn)，所以，由翻折性質(zhì)知，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍭MCD，所以平面平面AMCD，故A正確；對于B，如圖所示，取AD中點(diǎn)E，則，在菱形ABCD中， ，因?yàn)楹偷膬蛇叿较蛳嗤瑒t由等角定理得，在NEC中，由余弦定理可得，所以，即CN長為定值，故B正確；對于C，由題意可知當(dāng)平面平面AMD時(shí)，三棱錐的體積最大，由A項(xiàng)已證知此時(shí)平面AMD，易知，所以，故可將三棱錐的頂點(diǎn)放置在長寬高分別為

10、2，1的長方體的頂點(diǎn)處，此時(shí)三棱錐的外接球即為長方體的外接球，則長方體的外接球半徑，表面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，如圖所示，由選項(xiàng)A可知，平面平面AMCD，在平面中，過作，垂足為F，在平面AMCD中，過F作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫鍭MCD，平面平面，平面，所以平面AMCD，即為二面角的平面角，在菱形ABCD中，已知FG為定值，由平面，知，點(diǎn)的在以M為圓心的圓弧上，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，此時(shí)，因?yàn)闉殇J角，所以，故D正確，故選：ABD12如圖，正方體棱長為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A的最小值為B的最小值為C當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變D以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長

11、為BCD【分析】當(dāng)時(shí)，BP最小，結(jié)合正三角形性質(zhì)，求得B到直線的距離判斷A，將平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判斷B，由題可得平面，進(jìn)而可得三棱錐的體積不變，判斷C，根據(jù)球的截面的性質(zhì)可得以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面 的交線即為的內(nèi)切圓，即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對于B，將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)取最小值A(chǔ)C，在三角形ADC中，,，故B正確；對于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，到平面的距離為定值，又為定值，則為定值，即三棱錐的體積不變，故正確；對于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，設(shè)以為球心，為半徑的球與面

12、交線上任一點(diǎn)為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為 ，其內(nèi)切圓半徑為 ，故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，交線長為，故正確故選：BCD.三、填空題13歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為_【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式以及復(fù)數(shù)的除法化簡所求復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為.14如圖所示是利用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，已知軸，軸且，則的周長為_.或【分析】由斜二測畫法還原原圖即可求解【詳解】先由斜二測畫法得，即可求解.由題意得，且，則，則的周長為.故

13、答案為.15如圖，在中，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_.【分析】設(shè)，用、表示、，再計(jì)算的最小值【詳解】由題意，設(shè)，所以，.又，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為.四、雙空題16如圖，四棱臺上下底面都為正方形且側(cè)棱長都相等，且設(shè)E、F、G分別是棱的中點(diǎn)，過E、F、G的平面與交于點(diǎn)H，則值為_；若四棱臺的高2，體積為14，則該四棱臺外接球的表面積為_ 【分析】第一空；作輔助線，作出過E、F、G的平面與的交點(diǎn)，利用平行線性質(zhì)即可求得答案；第二空，求得棱臺的上下底面的棱長，以及側(cè)棱長，判斷外接球的球心的位置，列出等式，求得外接球半徑，即可求得其表面積.【詳解】如圖連接FE,并延長交DA延長線于M

14、,設(shè)的中點(diǎn)為P,連接GP,AC,則 ,而由題意可知 ,又 ,故 ,故平面EFG,而平面EFG,故連接PM，交 于H,H點(diǎn)即為過E、F、G的平面與的交點(diǎn)，設(shè)Q為AD中點(diǎn)，連接FQ,則 ,因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，故 ，故 ,因?yàn)?,則,所以； 設(shè)四棱臺上底面棱長為a,則下底面棱長為2a,由四棱臺的高2，體積為14，可得 ，解得 ，對于四棱臺， ,則,故得 ，即,由棱臺的性質(zhì)可知外接球球心位于對角面所在平面上，故由此可知外接球球心在棱臺的外部，即底面ABCD的外部，設(shè)球心到面ABCD的距離為，則到面的距離為，是外接球半徑為R，則 ，解得,故外接球的表面積為,故本題綜合考查了棱臺以及球的相關(guān)知識，涉及到棱臺

15、體積以及球的表面積的計(jì)算，解答時(shí)要發(fā)揮空間向想象力，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，注意空間和平面的轉(zhuǎn)化.五、解答題17在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，.(1)求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)若點(diǎn)，則三角形的面積為.計(jì)算三角形的面積.(1)；(2).【分析】（1）利用共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算分別求出，再借助復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系求解作答.（2）由（1）求出，的坐標(biāo)，再利用給定公式計(jì)算作答.【詳解】(1)依題意，即，則，因?yàn)?，所以向量對?yīng)的復(fù)數(shù)為.(2)依題意，則的面積為，由（1）知，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即有，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即有，所以的面積為.18“2021年全國城市節(jié)約用水宣傳周”已于5月9日至15日

16、舉行、成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識.為了解活動(dòng)開展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機(jī)抽取了300名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)求a的值，并估計(jì)這300名業(yè)主評分的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若先用分層抽樣的方法從評分在和的業(yè)主中抽取5人，然后再從抽出的這5位業(yè)主中任意選取2人作進(jìn)一步訪談：寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；求這2人中至少有1人的評分在概率(1)；眾數(shù)為；中位數(shù)為；(2)，；【分析】（1）由頻率分布直方圖的

17、的性質(zhì)，所有小矩形的面積之和為1，可解得的值，由中位數(shù)的定義，找到頻率之和為的點(diǎn)，眾數(shù)估計(jì)值為最高小矩形的中點(diǎn)；（2）首先根據(jù)兩個(gè)分組的人數(shù)之比，采用分層抽樣的方法，得到每個(gè)分組抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可【詳解】(1)第三組的頻率為，又第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為.前三組的頻率之和為，這名業(yè)主評分的中位數(shù)為.眾數(shù)為(2)由頻率分布直方圖，知評分在的人數(shù)與評分在的人數(shù)的比值為.采用分層抽樣法抽取人，評分在的有人，評分在有人.不妨設(shè)評分在的人分別為；評分在的人分別為，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為： ，；從人中任選人的所有可能情況有共種.其中選取的人中至少有人的評分在的

18、情況有：，共種.故這人中至少有人的評分在的概率為.19如圖，在四棱錐中，平面平面平面，E是的中點(diǎn)(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若M是線段上任意一點(diǎn)，試判斷線段上是否存在點(diǎn)N，使得平面？請說明理由(1)見解析(2)見解析(3)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面.【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理即可證明.（2）由面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）取的中點(diǎn)，連接，由線面平行的判定定理證明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理可證得平面.【詳解】(1)平面平面平面平面,所以.(2)因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?(3)取的中點(diǎn)，連接，分別為的中

19、點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?線段上存在點(diǎn)N，使得平面.20在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，求的面積.(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，即可求出；（2）先由求出，.利用余弦定理解得或.代入的面積求面積即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，所以，所?(2)因?yàn)椋裕?由余弦定理，可得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，的面積為；當(dāng)時(shí)，的面積為.21如圖，在三棱臺中，與、都垂直，已知，(1)求證：平面平面；(2)直線與底面所成的角的大小為多少時(shí)，二面角的余弦值為？(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)C到平面的距離(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）證明平面平面面面垂直，即證平面線面垂直，即證，線線垂直；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理作出，根據(jù)二面角的定義作出為二面角的平面角，根據(jù)解三角形以及，得，進(jìn)而表示出，再利用三角恒等變換公式求出；（3）點(diǎn)C到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離注意到，并結(jié)合可知，點(diǎn)C到平面的距離即點(diǎn)到平面ABC的距離，再利用第（2）問求的長即可.【詳解】(1)與、都垂直，又由棱臺的性質(zhì)，又，平面，又平面故平面平面(