1、復(fù) 習(xí) 課常微分方程 Ordinary differential equation第1頁，共30頁。第一章 緒 論第二章 一階微分方程的初等積分法第三章 一階微分方程的解的存在定理第四章 高階微分方程第五章 線性微分方程組第六章 定性理論初步第七章 一階線性偏微分方程第2頁，共30頁。第一章 緒 論 微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念 /Basic Conception/第3頁，共30頁。 1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一階與高階微分方程 3. 線性和非線性微分方程 4. 解和隱式解 5. 通解和特解 6. 積分曲線和積分曲線族 7. 微分方程的幾何解釋-方向場第4頁

2、，共30頁。定義：一個或幾個包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)（或微商）的關(guān)系式，稱之為微分方程 。 常微分方程/ODE / 在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個的微分方程 稱為常微分方程。 偏微分方程/ PDE/ 自變量的個數(shù)有兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程。第5頁，共30頁。微分方程的階/Order/ 在一個微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。 當(dāng)n=1時，稱為一階微分方程； 當(dāng)n1時，稱為高階微分方程。的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱它為線性微分方程，否則，稱它為非線性微分方程。如果方程第6頁，共30頁。若方程的解是某關(guān)系式的隱函數(shù)

3、，稱這個關(guān)系式為該方程的隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。常微分方程的解的表達(dá)式中，可能包含一個或者幾意常數(shù)，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分方程的通解。 常微分方程滿足某個初始條件的解稱為微分方程的特解。 第7頁，共30頁。初值條件/Initial Value Conditions/對于 n 階方程初值條件可表示為n階方程初值問題（Cauchy Problem）的表示一階和二階方程初值問題（Cauchy Problem）的表示第8頁，共30頁。積分曲線和積分曲線族 /Integral Curve(s)/一階微分方程的解平面的一條曲線，我們稱

4、它為微分方程的積分曲線，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲線，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線族。第9頁，共30頁。練習(xí)題編號微分方程自變量未知函數(shù)常或偏階數(shù)是否線性1234第10頁，共30頁。練習(xí)題編號函數(shù)微分方程初始條件1234第11頁，共30頁。2.1 變量分離方程與變量變換2.2 線性微分方程與常數(shù)變易法2.3 恰當(dāng)微分方程與積分因子2.4 一階隱式微分方程與參數(shù)表示第二章 一階微分方程的初等解法第12頁，共30頁。變量分離方程的求解1、形式:2、求解方法：分離變量、兩邊積分、考慮特殊情況3、方程 的解為：第13頁，共30頁。可化為變量分離方程類型的求解I. 齊次微分方程1、形式：2、求解

5、方法：作變量代換化其為變量分離方程、方程求解、變量還原第14頁，共30頁。II. 形如的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論為齊次方程,由 I 可化為變量分離方程.的情形第15頁，共30頁。且C1、C2不同時為零的情形第16頁，共30頁。2.2 線性微分方程與常數(shù)變易法第17頁，共30頁。第18頁，共30頁。形如伯努利方程：解法:的方程，關(guān)于z, x的線性微分方程第19頁，共30頁。稱微分方程是恰當(dāng)方程.1. 定義恰當(dāng)方程 2. (1)是 恰當(dāng)方程的充要條件第20頁，共30頁。3、恰當(dāng)方程的求解1). 不定積分法（ ？）第21頁，共30頁。2. 分組湊微法 采用“分項(xiàng)組合”的方法

6、, 把微分方程中本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來, 再把余項(xiàng)湊成全微分.- 應(yīng)熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分.如第22頁，共30頁。第23頁，共30頁。非恰當(dāng)方程如何求解?對一些非恰當(dāng)方程,方程兩邊乘上一個因子后, 可變?yōu)榍‘?dāng)方程.I. 積分因子的定義II. 積分因子的確定積分因子第24頁，共30頁。積分因子的確定微分方程這里第25頁，共30頁。這里第26頁，共30頁。一階隱式方程求解 采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使其變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的方程類型.主要研究以下四種類型第27頁，共30頁。第三章一階微分方程的解的存在定理 利普希茨（Lipschitz）條件 皮卡逐步逼近函數(shù)序列 第28頁，共30頁。第四章 高階微分方程一、兩類二階微分方程的解法