1、第PAGE13頁（共NUMPAGES13頁）2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1已知（其中為虛數(shù)單位），則2已知集合，集合，則3不等式的解集為 4若，則5設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則6在的展開式中，則含項的系數(shù)為 7若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實數(shù)的值為 8已知在中，則的外接圓半徑為 9用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為 （用數(shù)字作答）10在中，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為 11已知，兩點均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 12已知函數(shù)為定義域為的奇函

2、數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，則二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13下列函數(shù)定義域為的是ABCD14若，則下列不等式恒成立的是ABCD15上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為A0B2C4D1216已知等比數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是A若，則數(shù)列是遞增數(shù)列B若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D若數(shù)列是遞增數(shù)列，則三、簡答

3、題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積18（14分）已知在數(shù)列中，其前項和為（1）若是等比數(shù)列，求；（2）若是等差數(shù)列，求其公差的取值范圍19（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，為保護(hù)處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉

4、區(qū)若空線入線口為邊上的點，出線口為邊上的點，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)（計算長度精確到，計算面積精確到（1）若，求的長；（2）當(dāng)入線口在上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？20（16分）已知橢圓，、兩點分別為的左頂點、下頂點，、兩點均在直線上，且在第一象限（1）設(shè)是橢圓的右焦點，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、兩點縱坐標(biāo)分別為2、1，請判斷直線與直線的交點是否在橢圓上，并說明理由；（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點、點，若、關(guān)于原點對稱，求的最小值21（18分）已知函數(shù)的定義域為，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)（1）設(shè)，為做變換

5、后的結(jié)果，解方程：；（2）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；（3）設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1已知（其中為虛數(shù)單位），則【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解【解析】，故答案為：【試題評價】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題2已知集合，集合，則【思路分析】利用交集定義直接求解【解析】集合，集合，故答案為：【試題評價】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查

6、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題3不等式的解集為 【思路分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解【解析】由題意得，解得，故不等式的解集故答案為：【試題評價】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題4若，則【思路分析】由兩角和的正切公式直接求解即可【解析】若，則故答案為：【試題評價】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題5設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則3【思路分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值【解析】函數(shù)的反函數(shù)為，整理得；所以故答案為：3【試題評價】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題6在的展開式中，則含項

7、的系數(shù)為 66【思路分析】求出展開式的通項公式，令的次數(shù)為，求出的值即可【解析】展開式的通項公式為，由，得，得，即，即含項的系數(shù)為66，故答案為：66【試題評價】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項公式，利用的次數(shù)建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實數(shù)的值為 4【思路分析】根據(jù)題意，分析可得直線和平行，由此求出的值，即可得答案【解析】根據(jù)題意，若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則直線和重合，則有，即，解可得，當(dāng)時，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，當(dāng)時，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故故答案為：4【試題評價】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直

8、線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題8已知在中，則的外接圓半徑為 【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果【解析】在中，利用余弦定理，整理得，所以，解得故答案為：【試題評價】本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題9用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為 17（用數(shù)字作答）【思路分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計算可得答案【解析】根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時，有種情況，即有12個符合題意的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為2時，有6種情

9、況，其中最小的為2134，則有個比2134大的四位數(shù)，故有個比2134大的四位數(shù)，故答案為：17【試題評價】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10在中，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為 【思路分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，則，直線的方程為，即，點在直線上，設(shè)，的最小值為故答案為：【試題評價】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題11已知，兩點均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ，【思路分析】取的對稱點，結(jié)合，可得，然后可得漸近線夾角，代入漸近線斜率計算即

10、可求得【解析】設(shè)的對稱點，仍在雙曲線右支，由，得，即恒成立，恒為銳角，即，其中一條漸近線的斜率，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：，【試題評價】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題12已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，則2【思路分析】是周期為4的周期函數(shù)，作出圖象，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果【解析】函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時，是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，故答案為：2【試題評價】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象、極

11、限的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13下列函數(shù)定義域為的是ABCD【思路分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案【解析】，定義域為，定義域為，定義域為，定義域為定義域為的是故選：【試題評價】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題14若，則下列不等式恒成立的是ABCD【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解【解析】對于，令，滿足，但，故錯誤，對于，即，由不等式的可加性可得，故正確，對于，令，滿足，但，故錯

12、誤，對于，令，滿足，但，故錯誤故選：【試題評價】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題15上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為A0B2C4D12【思路分析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直【解析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，每天0點至12點（包含0點，不含12點），相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2，故選：【試題評價】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力，是中檔題16已知等比

13、數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是A若，則數(shù)列是遞增數(shù)列B若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【思路分析】反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項的范圍，即可判斷【解析】如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：【試題評價】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在

14、答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積【思路分析】（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解【解析】（1）因為為圓柱的母線，所以垂直于上底面，所以是直線與上底面所成角，所以（2）因為圓柱過的截面為正方形，所以，所以圓柱的體積為，圓柱的側(cè)面積為【試題評價】本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計算問題，屬于中檔題18（14分）已知在數(shù)列中，其前項和為（1）若是

15、等比數(shù)列，求；（2）若是等差數(shù)列，求其公差的取值范圍【思路分析】（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前項和，求極限得答案；（2）求出等差數(shù)列的前項和，代入，對分類分析得答案【解析】（1）在等比數(shù)列中，則，公比，則，；（2）若是等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立，綜上所述，【試題評價】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用，是中檔題19（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，為保護(hù)處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)若空線入

16、線口為邊上的點，出線口為邊上的點，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)（計算長度精確到，計算面積精確到（1）若，求的長；（2）當(dāng)入線口在上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？【思路分析】（1）作，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出，（2）設(shè)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示，然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求【解析】（1）作，垂足為，則；（2）設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，最大面積為【試題評價】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題20（16分）已知橢圓，、兩點分別為的左頂點、

17、下頂點，、兩點均在直線上，且在第一象限（1）設(shè)是橢圓的右焦點，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、兩點縱坐標(biāo)分別為2、1，請判斷直線與直線的交點是否在橢圓上，并說明理由；（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點、點，若、關(guān)于原點對稱，求的最小值【思路分析】（1）根據(jù)條件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；（2）分別表示出此時直線、直線的方程，求出其交點，驗證即可；（3）設(shè)，表示出直線、直線方程，解出、坐標(biāo)，表示出，再利用基本不等式即可求出答案【解析】（1）由題可得，因為，所以，解得，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線與直線的交點在橢圓上，由題可得此時，則直線，直線，交點為，滿足，故直線與直線的交點在橢圓上；（3），則直線，所以，則直線，所以，所以，設(shè)，則，因為，所以，則，即的最小值為6【試題評價】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題21（18分）已知函數(shù)的定義域為，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)（1）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解方程：；（2）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；（3）設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到若恒